SỐ PHỨC 1.Số i: 1 2 −=i 2.Định nghĩa số phức: *Biểu thức dạng a + bi , 1;, 2 −=∈ iRba được gọi là một số phức. Đơn vị số phức z = a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là C: Ví dụ :z = 2 + 3i z = 1+ (- 3 i) = 1 - 3 i Chú ý: z =a+bi=a+ib 3:Số phức bằng nhau: Định nghĩa:( SGK) a +bi = c +di ⇔ = = db ca Ví dụ:tìm số thực x,y sao cho: 2x+1 + (3y-2)i=x+2+(y+4)i = = ⇔ = = ⇔ +=− +=+ 3 1 62 1 423 212 y x y x yy xx *Các trường hợp đặc biệt của số phức: +Số a là số phức có phần ảo bằng 0, a=a+0i +Số thực cũng là số phức +Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i 4.Biểu diển hình học của số phức Định nghĩa : (SGK) Ví dụ : +Điểm A (3;-1): được biểu diển số phức 3-i +Điểm B(-2;2): được biểu diển số phức-2+2i . 5. Mô đun của hai số phức : Định nghĩa: (SGK) Cho z = a+bi. 22 babiaz +=+= Ví dụ: 13)2(323 22 =−+=− i 6. Số phức liên hợp: Cho z = a+bi. Số phức liên hợp của z là: biaz −= Ví dụ : 1. iziz +=⇒−= 44 2. iziz 7575 −−=⇒+−= Nhận xét: * zz = * zz = PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1/Tổng và tích của 2 số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi và z = a – bi . Ta có z + z = 2a và z. z = a 2 + b 2 Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực 2/ Phép chia hai số phức.: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp với số phức dưới mẫu Ví dụ Tính z 1 = 3 1 i i + − Giải * z 1 = 2 ( 3 )(1 ) 1 i i i + + − = ( 3 1) ( 3 1) 2 i+ + + => a = b = 3 1 2 + Một số bài tập có giải Bài 1 a/ 2 3 2 i i + − = 4 7 13 13 i+ b/ 1 2 2 3 i i + + = 2 6 2 2 3 7 7 i + − + c/ 5 2 3 i i− = 15 10 13 13 i− + Bài 2 a/ 1 1 2i+ = 1 2 5 5 i− b/ 1 2 3 2 9 2 3 i i + = + − = 2 3 11 11 i+ c/ 1 1 i i i − = = − d/ 1 5 3 25 3 5 3 i i − = + + = 5 3 28 28 i− Bài 3 a/ 2i(3+i)(2+4i) = 2i(2+14i) = - 28 +4i b/ 2 3 (1 ) (2 ) 2 ( 8 ) 2 2 i i i i i i + − = − + − + = 16( 2 ) 32 16 5 5 5 i i − − = − − c/ 3+2i+(6+i)(5+i) = 3+2i +29+11i = 32+13i d/ 4-3i+ 5 4 3 6 i i + + = 4-3i + (5 4 )(3 6 ) 45 i i+ − = 4-3i + 39 18 219 153 45 45 45 45 i i− = − Bài 4 a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i (3-2i)z=3 – 2i z = 3 2 3 2 i i − − =1 b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z (-1+2i)z=(2+5i) z= 2 5 8 9 1 2 5 5 i i i + = − − + c/ (2 3 ) 5 2 3 (3 )(4 3 ) 15 5 4 3 4 3 z z i i i z i i z i i i + − = − ⇔ = + ⇔ = + − ⇔ = − − − Bài tập làm thêm 1/ Tính a) 2 3 5 i i + − b) 1 3 2i+ c) 1 3 1 3 i i + − d) 2 3 2 i i − 2/ Cho số phức z = a+ bi , a,b ∈ R . Tìm phần thực và ảo các số phức sau a/ z 2 – 2z +4i b/ 1 z i iz + − 3/ Thực hiện phép tính a) 2 2i + 1 2 i+ b) 3 (1 )(1 2 ) i i i + + − 4/ Thực hiện phép tính 1 z z ÷ biết z = 4+3i và z 1 = 2i – 3 5/ Tìm phần thực và ảo các số phức sau 1 3 2 z iz + + với z = 3+i 6/ Tìm a,b ∈ R sao cho (a – 2bi) (2a+bi) = 2+ 3 2 i 7/ Cho z 1 = 9y 2 – 4 – 10xi 3 và z 2 = 8y 2 +20i 19 . Tìm x,y ∈ R sao cho z 1 = z 2 1.Căn bậc 2 của số thực âm Với a < 0 có 2 căn bậc 2 của a là ± i Ví dụ :-4 có 2 căn bậc 2 là ±2i 2. Phương trình bậc 2 + Δ > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = + Δ = 0: pt có nghiệm kép x 1 = x 2 = + Δ < 0: pt có hai nghiệm phức x 1,2 = Ví dụ a/ -3z² + 2z – 1 = 0 Δ΄= -2 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = b/ 7z² + 3z + 2 = 0 Δ= - 47 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = c/ 5z² - 7z + 11 = 0 Δ = -171 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z 1,2 = 3a/ z 4 + z² - 6 = 0 z² = -3 → z = ±i z² = 2→ z = ± 3b/ z 4 + 7z 2 + 10 = 0 z 2 = -5 → z = ±i z² = - 2 → z = ± i Bài 1: Giải pt sau trên tập số phức: a/ z 2 – z + 5 = 0 b/ z 4 – 1 = 0 c/ z 4 – z 2 – 6 = 0 Bài 2 Giải các pt sau trong tập hợp số phức a).x² + 4 = 0 b) x² + 2x – 5 = 0 c). x 4 – 3x 2 – 4 = 0 d). x 4 – 9 = 0 Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, tính môđun số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, tính môđun số phức 1) 2 3 1 i z i − = − 2) 3 2 1 i z i i − = + + 3) ( ) 2 2 3 1 3 1 i z i − − = − 4) ( ) 2 1 3 1 i z i − = − 5) ( ) 3 2 3 1z i i= + + − 6) 2 2 3 1 3 4 3 i i z i i − − = − ÷ − Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 1i z i z i− + − = − 2) ( ) 5 3 2 5z i z i+ − = − 3) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 3 1i z i z i+ + − = − 4) ( ) ( ) 2 1 1 3 i z i i − = − − 5) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 2i z i i− + − = − 6) 2z z i− + với ( ) ( ) 2 1 3 1i z i− = − Bài 3: Tìm số phức z biết 5z = và phần thức bằng hai lần phần ảo Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết phần thực là nghiệm của phương trình x 2 – 6x +9 = 0 và 10z = Bài 5: Tìm số phức z biết 4z z+ = và 2 10z = Bài 6: Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức : a. 2 9 0x + = ; b. 2 4 5 0x x+ + = ; c. 2 2 5 4 0x x− + = ; d. 2 2 3 5 0x z− + − = ; e. 4 2 5 4 0x x+ + = ; f. 3 2 2 10 0x x x− + = ; g. 3 1 0x + = ; h. ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0x x x − + + = . Bài 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. z 2 + 5 = 0 b. z 2 + 2z + 2 = 0 c. z 2 + 4z + 10 = 0 d. z 2 - 5z + 9 = 0 e. -2z 2 + 3z - 1 = 0 g. 3z 2 - 2z + 3 = 0 Bài 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. (z + i)(z 2 - 2z + 2) = 0 b. (z 2 + 2z) - 6(z 2 + 2z) - 16 = 0 c. (z + 5i)(z - 3)(z 2 + z + 3) = 0 d. z 3 - (1 + i)z 2 + (3 + i)z - 3i = 0 Bài 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. (z + 2i) 2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b. 2 4z i 4z i 5 6 0 z i z i + + − + = ÷ − − Bài 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. z 2 + z + 2 = 0 b. z 2 = z + 2 c. (z + z )(z - z ) = 0 d. 2z + 3 z = 2 + 3i Dạng 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng Oxy Phương pháp: * Gọi M(x,y) biểu diễn cho số phức z = x + yi * Thay z = x + yi vào điều kiện của bài toán * Chuyển điều kiện của bài toán từ z sang x và y * Nhận dạng phương trình với x và y (có thể là đường thẳng, đường tròn, …) Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tập hợp các số phức z sao cho: a) 1z = b) 2 2 1z z+ = c) 1 z z = Giải: a) Với z = x + yi ta có 2 2 1 1x yi x y+ = ⇔ + = ⇒ Tập hợp các số phức là đường tròn tâm O bán kính R = 1 b) Với z = x + yi ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1x yi x yi x y x y+ + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ Tập hợp các số phức là đường hyperbol với 2 2 1 1 2 2 ,a b = = ÷ c) Với z = x + yi ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x yi x yi x yi x yi x y x y x y x y x y x y − + = ⇔ + = + + ⇔ + = + ⇔ + = ÷ ÷ + + Vậy tập ợp điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R=1 Bài 2: (TT) a) 2 1z − = b) 2 1z i− = c) 3 2z + = d) 2 3 4z i+ − = d) 1 2 4z i z+ + = − e) 3 2z i− = f) 2 1z i− + = Giải: d) Với z = x + yi ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4 10 4 11 0 x yi i x yi x y x y x y + + + = + − ⇔ + + + = − + ⇔ + − = Bài 3: Biểu diễn hình học số phức z a) 2 3z = b) 1z i+ < c) 1 2 3z i + > d) 1 2z z + = Bi 4: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. z 3 1+ = b. z i z 2 3i+ = c. z + 2i là số thực d. z - 2 + i là số thuần ảo e. z z 9. = f. z 3i 1 z i = + là số thực S PHC TRONG CC THI TH H 1. Tỡm s phc nghch o ca s phc 1 1 i z i = + 2. Tỡm modun v argumem ca s phc z = 1+ i 3. Vit kt qu phộp tớnh di dng i s 2 3 2 3 2 4 3 i z i + = 4. Vit di dng lng giỏc s phc 3 3z i= 5. Trong mp phc cho im M biu din s phc z = x + yi. Ta gi ( ) ( ) 1z z i = . Tỡm tp hp im M : a) l s thc b) l s thun o 6. Tỡm cn bc hai ca s phc z = 3 + 4i 7. Trong mp phc tỡm cỏc im biu din cho s phc z tha món: 1 1z i < 8. Vit di dng lng giỏc s phc 1 3z i= 9. Tỡm modun ca s phc z = 4 3i + (1 i) 3 10. Gii phng trỡnh: z 2 + z + 1 = 0 11. Tỡm cỏc im z C sao cho ( ) 3 arg z = 12. Gii phng trỡnh: ( ) 2 3 2 7 17 0z i z i+ + + = S phc trong cỏc i hc Cõu VII.a (1 im) Tỡm s phc z tho món : z (2 i) 10 v z.z 25 + = = Cõu VII.a. t z = x + yi vi x, y R thỡ z 2 i = x 2 + (y 1)i z (2 + i)= 10 v z.z 25= 2 2 2 2 (x 2) (y 1) 10 x y 25 + = + = { 2 2 4x 2y 20 x y 25 + = + = { 2 y 10 2x x 8x 15 0 = + = { x 3 y 4 = = hay { x 5 y 0 = = Vy z = 3 + 4i hay z = 5 Cõu VII.a (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, tỡm tp hp im biu din cỏc s phc z tha món iu kin z (3 4i)= 2. Cõu VII.a. Gi z = x + yi. Ta cú z (3 4i) = x 3 + (y + 4)i Vy z (3 4i) = 2 2 2 (x 3) (y 4) 2 + + = (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 4 Do ú tp hp biu din cỏc s phc z trong mp Oxy l ng trũn tõm I (3; -4) v bỏn kớnh R = 2. Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3 . Câu VII. a Phương trình: z 2 + 2z + 10 = 0 Ta có: '∆ = (-1) 2 – 10 = -9 = (3i) 2 nên phương trình có hai nghiệm là: z 1 = -1 – 3i và z 2 = -1 + 3i Suy ra 2 2 2 1 2 2 2 2 z = (-1) + (-3) = 10 z = (-1) + (3) = 10 Vậy A = 2 1 z + 2 2 z 10 10 20= + = Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 + i) 2 (2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z. Tìm phần thực và phần ảo của z. Câu VII. a. ( ) ( ) 2 1 2 8 (1 2 )i i z i i z+ - = + + + ( ) ( ) 2 2 (1 2 ) 8i i z i z iÛ - - + = + 4 2 1 2 8z i i i é ù Û + - - = + ê ú ë û ( ) ( ) 8 1 2 8 8 15 2 10 15 2 3 1 2 5 5 5 i i i i i z i i + - + - + - Û = = = = = - + Phần thực của z là 2. Phần ảo của z là – 3. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức : 4z 3 7i z 2i z i − − = − − Câu VII.b. 4z 3 7i z 2i z i − − = − − ⇔ 4z – 3 – 7i = z 2 – 3iz – 2 ⇔ z 2 – (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 ∆ = (4 + 3i) 2 – 4(1 + 7i) = 3 – 4i = (2 – i) 2 Vậy 4 3i 2 i z 3 i 2 + + − = = + hay z = 4 3i 2 i 1 2i 2 + − + = + . . biệt của số phức: +Số a là số phức có phần ảo bằng 0, a=a+0i +Số thực cũng là số phức +Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i 4.Biểu diển hình học của số phức Định nghĩa : (SGK) Ví. SỐ PHỨC 1 .Số i: 1 2 −=i 2.Định nghĩa số phức: *Biểu thức dạng a + bi , 1;, 2 −=∈ iRba được gọi là một số phức. Đơn vị số phức z = a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo Tập. biểu diển số phức 3-i +Điểm B(-2;2): được biểu diển số phức- 2+2i . 5. Mô đun của hai số phức : Định nghĩa: (SGK) Cho z = a+bi. 22 babiaz +=+= Ví dụ: 13)2(323 22 =−+=− i 6. Số phức liên hợp: Cho