skkn(dương}

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG HỆ THỨC VI - ÉT TRONG GIẢI TOÁN Giáo viên: Nguyễn Duy Dương Tổ: Toán - Lý - Tin - CN Đơn vị: Trường THCS Kỳ Sơn Năm học: 2010 - 2011 SNG KIN KINH NGHIM P DNG H THC VI-ẫT TRONG GII TON A ) Lý do chọn đề tài Hệ thức Vi ét là phơng tiện giỳp học sinh có th tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 m khụng cn giải phơng trình . Ngoi ra hệ thức Vi ét còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khụng cn biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu . Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Trong loi toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm, của phơng trình . Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi - ét khỏ đa dạng v có mặt trong nhiều cỏc kỳ thi quan trọng nh thi kscl học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10, Trong bài viết này , tôi xin a ra mt số kinh nghiệm ó ỳc rỳt c trong quỏ trỡnh ging dy, hy vọng vic giỏo viờn vn dng tt sỏng kin ny s góp phn hớng dẫn học sinh giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét. B ) Nội dung đề tài I) Kiến thức cơ bản : 1) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = 1 2 b x x a + = và P = 1 2 . c x x a = 2 ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm là 1 2 1, c x x a = = b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm là 1 2 1, c x x a = = 3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai : 2 0x Sx P + = II ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển 1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của ph ơng trình mà không giải ph ơng trình Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) 2 13 40 0x x + = b) 2 5 7 1 0x x + + = c) 2 3 5 1 0x x + = Giải a) Theo hệ thức Vi ét có S = 1 2 13 b x x a + = = ; P = 1 2 . 40 c x x a = = Vì P > 0 nên 2 nghiệm x 1 và x 2 cùng dấu S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng b) Theo hệ thức Vi ét có P = 1 2 1 . 0 5 c x x a = = > nên 2 nghiệm cùng dấu S = 1 2 7 0 5 b x x a + = = < nên 2 nghiệm cùng dấu âm c) P = 1 2 1 . 0 3 c x x a = = < nên 2 nghiệm trái dấu Bài tập 2 : Cho phơng trình 2 2 10 0x x m = (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Giải Ta có a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 với mọi m 0 Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = 2 1 2 ,x x m = < 0 . Do đó 1 x và 2 x trái dấu Bài tập 3: Cho phơng trình 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m Giải : a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc 2 4 0 1 4.( 4) 17 0 x x = = = > Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 17 2 1 17 2 x x + = = b)Xét 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1 2 4 4 2 4 ac m m m m m m m = + = + = + + = + Có 2 2 1 1 3 3 3 0 1 1 1 0 2 2 4 4 4 m m P P m + < ữ ữ Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m 2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: a ) Ta có a = 1 > 0 2 2 2 2 2 ( 2) 1 7 ( ) 4 4 1 7 7 ( ) 0 2 4 4 c m m m m m m m = + = + = + + = < a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P = 2 1 2 . 2 0 c x x m m a = = + < do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có 2 2 ( 1) 2( 2)m m m = + = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = + 2 2 4 5 2 4 11 3 3( 2 ) 3 3 3 9 9 m m m m = + = + + ữ 2 2 11 11 3( ) 3 3 3 m= + Vậy Min ( ) 2 2 1 2 11 3 x x + = khi m = 2 3 Bài tập 5: Cho phơng trình 2 2 2 ( 2) 7 0x m x m + + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x + = + Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Giải : Ta có a = 2 > 0 Phng trình có 2 nghiệm trái dấu 2 7 0 7 7m m + < < < Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có 2 2 2 1 1 2 2 1 7 1 ( ) 1 7 2 5 5 2 m x x x m m m x + = = = = = = Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện 7 7m < < ) Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia . Bài tập 6: Cho phơng trình 2 2( 1) 0x m x m + + = ( m là tham số) Chứng minh phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m Giải: Ta cú: [ ] 2 , ( 1)m m = + 2 2 ( 1) 2 1 m m m m m = + = + + 2 2 1 1 1 3 2. . 2 4 4 m m m m = + + = + + + 2 1 3 ( ) 2 4 m = + + Vì 2 1 ( ) 0 2 m + nên 2 1 3 3 ( ) 2 4 4 m + + > 0 m Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m Bài tập 7 : Xét phuơng trình mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = Giải Điều kiện để (1) có 2 nghiệm 0 0 m Xét 2 (2 1) 4 ( 2)m m m = 2 2 4 4 1 4 8 4 1 1 0 4 1 0 4 m m m m m m m + + = + + Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m 0 và m 1 4 Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có 1 2 1 2b m S x x a m = + = = ; 1 2 2 . c m P x x a m = = = Gọi 2 2 1 2 1 2 A x x x x = + 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 3 x x x x x x x x x x = + = + áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK: 0 1 4 m m ) 2 1 2 2 ( ) 3 4 m m m m = 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 3 6 4 1 4 4 3 6 4 3 2 1 0 3 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m + = + + = + + = = Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m 1 = 1 ( thoả mãn điều kiện m 0 và m 1 4 ) m 2 = 1 3 ( không thoả mãn điều kiện m 0 và m 1 4 ) Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = 3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài tập 8 : Tìm hai số x y biết a) x + y = 11 và xy = 28 b) x y = 5 và xy = 66 Giải : a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phơng trình x 2 - 11x + 28 = 0 2 4b ac = = 121 112 = 9 > 0 3 = Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 11 3 11 3 7; 2 2 x x + = = = = 4 Vậy x = 7 thì y = 4 x = 4 thì y = 7 b) Ta có 5 ( ) 5 6 ( ) 66 x y x y xy x y = + = = = có x , y là nghiệm của phơng trình x 2 - 5x - 66 = 0 2 4b ac = = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 5 17 5 17 11; 6 2 2 x x + = = = = Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11 Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết x 2 + y 2 = 25 và xy = 12 Giải : Ta có x 2 + y 2 = 25 <=> (x + y ) 2 - 2xy = 25 <=> (x + y ) 2 - 2.12 = 25 (x + y ) 2 = 49 <=> x +y = 7 * Trờng hợp x + y = 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 - 7x +12 = 0 2 4b ac = = 49 4.12 = 1 1 2 7 1 7 1 4; 3 2 2 x x + = = = = * Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 +7x +12 = 0 Giải phơng trình ta đợc x 3 = -3 ; x 4 = - 4 các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 10 : Cho phơng trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 1 2 ,x x Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 3 3x x M x x x x + = + Giải a) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ( ) 2 1 3( 1) ( ) ( ) x x x x x x M x x x x x x x x + + = = + + Theo hệ thức Vi ét có 1 2 1 2 ; . 1S x x a P x x a = + = = = Vậy [ ] 2 3 2( 1) 1 3 ( 1)( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) a a a a a M a a a a + = = 2 2 3( 1) 3( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a = = = (ĐK : 0, 1a a ) III ) Các bài tập t ơng tự Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) x 2 - 6x +8 = 0 b) 11 x 2 +13x -24 =0 c) 2 x 2 - 6x + 7 = 0 Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình a) 7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu b) 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu c) x 2 - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh a) mx 2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0 b) (m -1) x 2 + 3m + 2m + 1 = 0 c) (1 2m) x 2 + (2m +1)x -2 = 0 Bài tập 4 : Cho phơng trình x 2 - 2m + m - 4 = 0 a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng Bài tập 5 : Cho phơng trình x 2 - mx +1 = 0 ( m là tham số ) a) Giải phơng trình trên khi m = 5 b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là 1 2 ,x x Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 5 3x x x x A x x x x + + = + Hớng dẫn giải: a) Với m = 5 phơng trình trở thành x 2 -5x +1 = 0 = 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 (5 21) 2 x + = , 2 5 21 2 x = b)Với m = 5 , ta có phơng trình bậc hai : 2 5 1 0x x + = Theo hệ thức Vi ét : 1 2 5S x x = + = và 1 2 . 1P x x = = 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 5 3x x x x A x x x x + + = + 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3( 2 ) ( 2 ) 2 3( ) ( ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + + = + Thay S và P vào A ta đợc : 14 3 A = Bài tập 6 :Cho phơng trình bậc 2 ẩn x : 2 2 2( 1) 2 3 1 0x m x m m + + = (1) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 1m Hớng dẫn giải: Phơng trình (1) có nghiệm <=> , 2 2 ( 1) (2 3 1) 0m m m = + 2 0 ( 1) 0 0m m m m m hoặc 1 0m 0 1m C ) Ph ơng pháp tiến hành Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này . Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp . Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng v hc ụn bui 2 giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập tơng tự v mt s bi tp nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh vo lp 10 ca nhng nm trc . Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình .Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh bit cách giải các bài tập phức tạp hơn . Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tơng tự . D ) Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu Học sinh khối lớp 9 trờng THCS K Sn E ) Tổng kết và rút kinh nghiệm Bằng phơng pháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra h- ớng giải cho từng bài tập . Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh .