TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

TIỂU LUẬN MÔN HỌCLÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠIĐỀ BÀI1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt).2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov.+ Điều khiển trượt.+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc.+ Tuyến tính mở rộng (Gainschudeling).+ Tuyến tính hình thức.+ Tuyến tính hóa chính xác.+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping).4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha. Bài 1:1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNGGiả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2Tín hiệu vào u(t)Tín hiệu ra y(t)2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG2.1. Xác định điểm cân bằng của hệ thốngTa có phương trình trạng thái của hệ thống:

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI ĐỀ BÀI 1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống thực càng tốt). 2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng. 3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp: + Dùng tiêu chuẩn Lyapunov. + Điều khiển trượt. + Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc. + Tuyến tính mở rộng (Gain-schudeling). + Tuyến tính hình thức. + Tuyến tính hóa chính xác. + Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping). 4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha. Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Bài 1: 1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau      = += += 1 212 2 2 11 xy uxxx xxx   Trong đó: Hai biến trạng thái x 1 , x 2 Tín hiệu vào u(t) Tín hiệu ra y(t) 2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG 2.1. Xác định điểm cân bằng của hệ thống Ta có phương trình trạng thái của hệ thống:      = += += 1 212 2 2 11 xy uxxx xxx   (2.1a) Mô hình (2.1a) khi có u(t) = 0 và trở thành )( ~ ),( 0 xfuxfx u == =  Một điểm trạng thái e x thỏa mãn tf ∀= 0)0( ~ (2.1b) được gọi là điểm cân bằng của hệ thống. Tức là, (2.1b) có nghiệm 0 = e x và nghiệm này thỏa mãn 0 = e x  Như vậy hệ (2.1a) có một điểm cân bằng là (0, 0) 2.2. Kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định tại điểm cân bằng. Lyapunov sử dụng tập các đường đồng mức của hàm xác định dương, trơn V(x) trong toàn bộ không gian trạng thái. T T x V x V x V grandV         ∂ ∂ ∂ ∂ =         ∂ ∂ ==∇ 21 , υ thì vecto Grandient gradV, luôn vuông góc đường cong v k và chỉ chiều tăng theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k. Với hàm xác định dương V(x) thì T T T x V x V x V dt xd dt xd         ∂ ∂ ∂ ∂ =         ∂ ∂ =∇=∇ 21 ,cos ϕ υ υ Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Theo tiêu chuẩn Lyapunov Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính xcy uBxAx = +=  Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1a) như sau:    = += 212 2 2 11 xxx xxx   (2.2a) - Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm, nếu nghiệm thực bằng 0 thì phải là nghiệm đơn của phương trình det(λI-A)=0.    += += uxxx xxx 212 2 2 11   (2.2b) Khai triển các hàm (2.1b) thành chuỗi Taylor tại điểm 00 ,ux như sau:        − ∂ ∂ +− ∂ ∂ += − ∂ ∂ +− ∂ ∂ += )()()()(),(),( )()()()(),(),( 01 , 1 2 01 , 1 2 00 22 01 , 1 1 01 , 1 1 00 11 0000 0000 ux u f xx x f uxfuxf ux u f xx x f uxfuxf uxux uxux                            ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⇔ 2 2 1 2 2 1 1 1 , 2 2 1 2 2 1 1 1 , 00 00 )( )( u f u f u f u f u f B x f x f x f x f x f A ux ux Thay điểm cân bằng         = 0 0 0 x dựa vào ma trận Jacobi ta được hệ tuyến tính trong lân cận điểm làm việc. ux xx x x         +         = 1 0 12 12 1  Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau: uxx         +         == 1 0 00 10  (2.2c) Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Nếu tồn tại V(x) xác định dương và )(xV  xác định âm thì hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng đó. Nếu chọn hàm 2 2 2 1 )( bxaxxV += Suy ra 2211 22)( xbxxaxxV   += cùng với mô hình (2.2a) ta có )(222)( 2 2 2 11 2 21 3 1 bxaxxxbxaxxV +=+=  Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và )(xV  xác định âm tức là a>0, b>0, x 1 <0. Vậy, nếu như giá trị x 1 không thỏa mãn thì ta có hệ không ổn định. Ngoài ra ta thấy trong lân cận điểm cân bằng của hệ phi tuyến tương dương với hệ tuyến tính (2.2c) Mô hình tuyến tính này có hai giá trị riêng λ 1 = λ 2 = 0, không có nghiệm nằm bên trái trục ảo nên hệ chưa cân bằng mà giá trị riêng chỉ nằm biên trục ảo. 2.3. Kiểm tra tính điều khiển được Mô hình toán học được tuyến tính hóa lân cận điểm cân bằng như sau: uxx         +         = 1 0 00 10  Hệ có         = 10 1 τ τ A e         − =⇒ − 10 1 )( τ τ T e TA ∫ −−− =⇒ T TATTA T deBBeQ T 0 )()( τ ττ ( )             =         − −− =         −                 − = ∫ ∫ T T TT d T TT d T T T T 2 23 1 )( 1 01 10 1 0 10 1 2 2 2 0 2 0 τ τ ττ τ τ τ 0 12 )det( 4 ≠= T Q T với T>0 Vậy hệ có thể điều khiển được 3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp cuốn chiếu (Backstepping)) Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại    += += uxxx xxx 212 2 2 11   (3.2a) Mô hình (3.2a) có thể viết lại khi thay x 2 = z, x 1 = x    += += uxzz zxx   2 (3.2b) Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta có ngay hệ con thứ nhất của đối tượng: zxx += 2  (3.2c) Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có 2 1 ))(( 2 1 )(),( xzxVzxV υ −+= (3.2d) 2 1 2 1 )( xxV = )(.)( 2 1 zxxxxxV +==   (3.2e) Để hệ con (3.2c) ổn định thì (3.2d) xác định âm, gán (3.2d) giá trị là:–x 2 xzx xzxx −=+⇔ −=+ 2 22 )( Như vậy, phép biến đổi z = υ(x) = -x-x 2 Thay vào (3.2d) ta có 222 )( 2 1 2 1 ),( xxzxzxV +++= (3.2f) )23)(()( )2)((.),( 32222 2 xzxxzuxxzxxxzx xxxzxxzxxzxV ++++++++++−= +++++=     )23)(( 3222 xzxxzuxxxzx ++++++++−= Để )(xV  xác định âm chọn )23()( 322 xzxxzuxxxz +++++=++− đồng thời thay u bởi r(x,z) ta có r(x,z) Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái: 322 23)(),( xzxxzxxxzzxr −−−−−++−= Thay x bởi x 1 , và z bởi x 2 2121 2 1 3 1 3 12 2 1211 2 11221 3)(2 23)(),( xxxxxx xxxxxxxxxxxr −+++−= −−−−−++−= Vậy hệ sau khi có bộ điều khiển là Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại      ++++−= += )(2 2121 2 1 3 12 2 2 11 xxxxxxx xxx   4. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA 4.1. Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:      = += += 1 212 2 2 11 xy uxxx xxx   Khi biểu diễn điểm )( 0 tx khi t=t 0 trong không gian vecto n chiều (hai chiều x 1 , x 2 ) và sau đó cho t 0 = chạy từ 0 đến ∞ ta thu được một đường cong biểu diễn nghiệm )(tx ứng với u(t) dã cho. Đường cong này gọi là quỹ đạo trạng thái của hệ thống. Hình 4.1a: Sơ đồ khối quỹ đạo pha của hệ thống Ta thấy với giá trị đầu vào dương thì hệ sẽ không xác định tại thời điểm 1,9s hệ sẽ có giá trị nhảy vọt và đưa hệ ra khỏi vĩ đạo trạng thái: Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Còn với gí trị vào kích thích u<0 thì cho ta hệ tiệm cận ổn định 4.2. Quỹ đạo trạng thái sử dụng phương pháp cuốn chiếu Cùng một mô hình đối tượng ta xây dựng sơ đồ khối theo mô hình toán học sau khi đã thiết kế bộ điều khiển theo phương pháp back stepping (cuốn chiếu).      ++++−= += )(2 2121 2 1 3 12 2 2 11 xxxxxxx xxx   Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Kết quả mô phỏng sau khi xây dựng sơ đồ khối và sau 3s trạng thái của quỹ đạo được đưa về vị trí cân bằng Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Bài 2: 1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG Thiết kế bộ điều khiển Gain-Scheduling cho hệ có mô hình trạng thái sau: (2.1)      −= += • • 2 21 2 21 xxx uxx Viết lại hệ dưới dạng: ),( uxfx = • Trong đó:       = 2 1 x x x ,       − + = 2 21 2 xx ux f 2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình 0 = • x ứng với u 0 = 0. Suy ra: 0| 0 , = ux e f ⇔    =− = 0 0 2 21 2 ee e xx x ⇔    = = 0 0 1 2 e e x x Khai triển Taylor của hàm ),( uxf xung quanh điểm cân bằng ),( 0 ux e ta có thể mô tả hệ thống bằng mô hình tuyến tính tương đương: ~~ ~ uBxA dt xd += Trong đó e xxx −= ~ , e uuu −= ~ Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi: 0 1 2 1 2 11 12 21 22 2 2 1 2 , e x u f f x x a a A a a f f x x ∂ ∂    ÷ ∂ ∂    ÷ = =  ÷  ÷ ∂ ∂    ÷ ∂ ∂   0 0 , 1 1 11 = ∂ ∂ = ux e x f a , 1 0 , 2 1 12 = ∂ ∂ = ux e x f a 1 0 , 1 2 21 = ∂ ∂ = ux e x f a , 02 2 , 2 2 22 0 =−= ∂ ∂ = e ux x x f a e Vậy ma trận hệ thống A là: Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) [...]... 4 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA a- Mô hình ban đầu của hệ thống Hình 2.3 –Sơ đồ cấu trúc của hệ thống Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Hình 2.4 –Mô phỏng hệ thống trên Simulink Hình 2.5 –Quỹ đạo pha của hệ thống b- Mô hình hệ thống có bộ điều khiển Hình 2.6 –Cấu trúc bộ điều khiển phi tuyến với nhiều khâu xử lý từng phần Học Viên:... lý từng phần Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái x1 Hình 2.8 – Đáp ứng biến trạng thái x2 Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại Hình 2.9 – Quỹ đạo trạng thái từ điểm ban đầu Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) .. .Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại 0 1  A=  1 0  Ta có đa thức đặc tính của hệ thống : det(sI - A) = s2 – 1 = (s+1)(s-1) Đa thức đặc tính của hệ thống có 2 nghiệm là s 1 = -1 và s2 = 1 trong đó nghiệm s2 nằm bên phải trục ảo, do đó hệ thống không ổn định tại điểm cân bằng 3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN ( Phương pháp tuyến tính mở rộng (Gain-scheduling))... 0 u 1 − 2 v    3- Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho đối tượng thông qua mô hình tuyến tính tương đương: Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại ω % u • ~ ~ ~ x = A(v).x + B (v) u % x R1 (v ) Hình 2.1 –Mô hình tuyến tính tương đương với bộ điều khiển phản hồi trạng thái Giả sử các điểm cực của hệ kín (tại điểm làm việc) đã chọn... ta được: Học Viên: Dương Tấn Quốc Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại   x   v   −2   1 ÷−  ÷ − v   x2   v      1  ⇔ u (t ) = ω −  ( x1 − v) − 2( x2 − v ) ÷− v  v   1 ⇒ u (t ) = ω −   v u (t ) = ω − Do sử dụng bộ điều khiển phản điểm cực chứ không giải quyết được x1 x2 hồi trạng thái mới chỉ gán được nhứng vấn đề khác như độ quá điều chỉnh,... (T9/20011 – 2013) Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại s + 2 v  ⇒ ( sI − A + BR1 ) =  1 (s + )( s + 2 v ) − 3  −3  v 1 −1 s + 2 v ⇒ G(s) = (1, 0)   −3 1 (s + )( s + 2 v ) − 3   v 1 ⇒ R2 (v ) = 1 = lim G ( s ) s →0 1 s+2 v lim −1   1  s+ v  −1  s+2 v   1 1   ÷= s+  0  ( s + 1 )( s + 2 v ) − 3 v  v 1 =− 2 v 1 )( s + 2 v ) − 3 v Vậy ta có được bộ điều khiển tiền xử lý là: s →0 (s... 2 v + r1 = 2  r1 = ⇒ ⇒ v 1 + r2 + 2r1 v = 1  r = −2    2 Vậy bộ điều khiển R1 phụ thuộc vào tham số v như sau:  1  R1 =  , −2 ÷  v  4 - Từ bộ điều khiển R1 cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều khiển cho mô hình trạng thái phi tuyến ( bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến hay gọi là bộ điều khiển Gain-Scheduling) như sau: Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết... bộ điều khiển tiền xử lý R2 , vì đối tượng (1) có môt tín hiệu vào nên R2 là một đại lượng vô hướng (giống một khâu khuyếch đại) % % u = R2 (v)ω − R1 (v).x Trong bài toán này không cho giá trị đầu ra y nên giả sử ta chọn y = x1 để đánh giá sai lệch tỉnh theo sơ đồ cấu trúc hình 2.2 ω ′ % R2 (v ) ω u • ~ ~ ~ x = A(v).x + B(v) u (1, 0) { CT R1 (v) Hình 2.2 –Mô hình tuyến tính tương đương với bộ điều khiển. .. và khâu tiền xử lý Lúc này ta có hệ: ~ •  x = ( A − BR1 ) x + Bω '  ~ ~  y = (1,0).x  ⇔ G ( s ) = C T ( sI − A + BR1 ) −1 B Từ đó ta có hàm truyền đạt khi có R2 như sau: G ′( s ) = G ( s ).R2 (v) Hệ không có sai lệch tĩnh khi: 1 lim G′( s ) = 1 ⇒ R2 (v) = s →0 lim G ( s ) s→0  1 − Tính A − BR1 =  v  1  1   3  s+  v  ⇒ sI − A + BR1 =   −1 −2 v       s + 2 v  −3 Học Viên: Dương... hệ kín (tại điểm làm việc) đã chọn trước là s1 = s2 = −1 Sở dĩ ta chọn điểm cực trên vì một số lý do sau đây: - Điểm cực không nằm trên trục ảo - Điểm cực nằm bên trái trục ảo thì hàm truyền đạt là hàm bền, khi đó hệ ổn định Sử dụng phương pháp gán điểm cực, do đối tượng có hai biến trạng thái nên bộ điều khiển R1 = ( r1 , r2 ) R1 là một ma trận hàng hai cột 1 0 ⇒ A − BR =   1 −2  1 ÷−  ÷ ( r1