0

Đề tài phương pháp tứ giác nội tiếp SKKN hình học 9

19 2,955 10
  • Đề tài phương pháp tứ giác nội tiếp SKKN hình học 9

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/09/2014, 07:47

Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Mục lục Nội dung Trang A. Đặt vấn đề 2 I. Lý do chọn đề tài 2 1. Cơ sở lý luận 2 2. Cơ sở thực tiễn 2 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Nhiệm vụ đề tài 3 IV. Giới hạn đề tài 3 B. Giải quyết vấn đề 4 I. Phương pháp nghiên cứu 4 II. Nội dung cụ thể 5 1. Kiến thức cơ bản 5 2. Bài tập minh hoạ 6 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6 Phương pháp 1 6 Phương pháp 2 7 Phương pháp 3 7 Phương pháp 4 8 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11 Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16 III. Kết quả thu được 18 IV. Bài học kinh nghiệm 18 C. Kết luận 20 - 1 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp A - Đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức. 2. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phương - 2 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp pháp tứ giác nội tiếp” II.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó như sau: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn”. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập minh họa. IV. Giới hạn đề tài Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9. - 3 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp B – Giải quyết vấn đề I – Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu như: - Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II) - Sách bài tập Toán 9 (tập II) - Tóan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 – NXB Giáo dục. - Các bài tóan hay và khó về đường tròn – NXB Đà Nẵng. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn. Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trường THCS Đại Đồng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trường. 3. Phương pháp đánh giá. Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em. - 4 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp II – Nội dung cụ thể 1 – Kiến thức cơ bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. O C B D A Hình 1 1.2.Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o . * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. 1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α . 1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. - 5 - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180 0 hoặc ∠B + ∠D = 180 0 Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp 2 - Bài tập minh hoạ 2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. O C' B' B C A Chứng minh: Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC. Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 90 0 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ OB’ = OB = OC = r (1) Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 90 0 (GT) Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r) ⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 90 0 . CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 90 0 . ⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông ⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC. - 6 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Phương pháp 2: Dựa vào định lý Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’. a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp. I O C' B' B A C D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180 0 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) ⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 180 0 ⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn. Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài toán 3: Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN. Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp. B 1 1 O 2 C M N A Chứng minh: Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC - 7 - Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180 0 hoặc ∠B + ∠D = 180 0 Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp ⇒ ∠ A 1 = ∠ A 2 ∆AOC cân tại O (vì OA = OC) ⇒ ∠A 2 = ∠C 1 nên ∠A 1 = ∠A 2 = ∠C 1 Mà ∠A 1 + ∠OAM = 180 0 và ∠C 1 + ∠OCN= 180 0 . ⇒ ∠AOM = ∠OCN Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN ⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c) ⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO ⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc). Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. A E P C O B D M Chứng minh: Ta có : ∠ MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O) · » ¼ ®(AD ) MEP 2 s MB+ ⇒ = Mà · ¼ = ®DM 2 s DCP (góc nội tiếp) Hay · » ¼ + = ®(AD ) 2 s MA DCP Lại có : ¼ ¼ =AM MB Nên : · MEP = · DCP Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn. - 8 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) Cho hình vẽ: Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại G; OH ⊥AD tại H. Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên. F H E G O A C B D Chứng minh: * Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO) ∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) ⇒ ∠EAC = ∠ BFE. Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự. * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180 0 Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH) ∠OAH = ∠HOD (vì cùng phụ với ∠AOH) ∠HOD = ∠HGD ( vì cùng chắn cung HD) ⇒ ∠ OEH =∠HGD Chứng minh tương tự ta được : ∠OEF = ∠FGC Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC ⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGC Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 180 0 ⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 180 0 ( điều phải chứng minh) 2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. - 9 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp a. Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler) Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba chân của các đường cao, ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở trên một đường tròn. l O N P M H L K I D F E B C A Chứng minh: Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC ND là đường trung bình của ∆BHC ⇒ ME = ND = HC/2 ⇒ tứ giác MNDE là hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB) Mà CH ⊥ AB (GT) ⇒ ME ⊥ MN (2) Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM) Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM) - 10 - [...]... chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức bằng cách tự học - 18 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp C Kết luận Trên đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. .. trùng với C b Bài tập: 1 Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi M là một điểm trên cung ABC Vẽ MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn nhất - 17 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp III – Kết quả thu được Sau chuyên đề Phương pháp tứ giác nội tiếp tôi đã tiến hành dạy cho các đối tượng học sinh, đã thu được kết quả như sau: 1 Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trường THCS Đại Đồng... trong hình vuông - 15 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Phần đảo: Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN Thật vậy, Vì ∠ DHC =90 0 ; ∠ DOC = 90 0 nên ◊ HOCD nội tiếp ⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 450 Mặt khác ∠ DKM = 450 nên ∠ DHM = ∠ DKM ⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 90 0... trung điểm của AD Tứ giác AEDF có : ∠ AED + ∠ AFD = 90 0 + 90 0 = 1800 - 16 - F M D C Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp ⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA) Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF Đặt ∠ BAC = a Ta có : ∠ EOM = ∠ EOF: 2 = ∠ BAC = a Xét ∆ MOE có ∠ OME = 90 0 ⇒ EM = OE sin a ⇒ EF = 2 OE sin a ⇒ EF = AD sin a (*) ( vì AD = 2OE) a/ Do a không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ AD ⊥ BC ⇔ D là hình chiếu của... ∆ ABC - 14 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Bài tóan 4 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm a Các bước giải bài toán quỹ tích: Bước1: Chứng minh phần thuận Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H + Giới hạn quỹ tích Bước 2: chứng minh phần đảo Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho Bước 3: Kết luận b Ví dụ 1 : Cho hình vuông ABCD,... chuyên đề của 5 học sinh Phương :9 Hoa : 8,5 Tiền : 8,5 Huyền :6 Đức :7 2 Đối với học sinh lớp 9A Sĩ số : 42 Số lượng bài làm : 42 Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21 Điểm 5 – 6 : 9 Điểm 1 – 4 :1 IV – bài học kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi có lấy ý kiến của học sinh Thấy được: + Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp + Học sinh... Chứng minh các hệ thức hình học - Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi * Định lý Ptô - lê – mê Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối - 13 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Chứng minh: Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng.. .Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Vì ∠ MID = 90 0 ⇒ I ∈ (O; OM) Vì ∠ FLP = 90 0 ; ∠ NKE = 90 0 ⇒ L; K ∈ (O; OM) Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM) (Điều phải chứng minh) c.Bài tập: 1 Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E... tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm giữa B và C Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F Khi điểm D di động trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A Chứng minh: Ta có : B E O A D C F ∠ EBO = 90 0 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B) - 12 - B Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp ∠ EDO = 90 0 (GT) ⇒ hai đỉnh... qua một điểm cố định, Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Từ đó suy ra điều phải chứng minh Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định b Ví dụ 1: - 11 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp Cho đường tròn tâm O đường E kính AB, điểm C cố định trên đường kính ấy (C khác O) Điểm . tiếp pháp tứ giác nội tiếp II.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. niệm tứ giác nội tiếp * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. O C B D A Hình 1 1.2.Định. họa. IV. Giới hạn đề tài Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9. - 3 - Đề tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp B – Giải quyết vấn đề I – Phương pháp nghiên
- Xem thêm -

Xem thêm: Đề tài phương pháp tứ giác nội tiếp SKKN hình học 9, Đề tài phương pháp tứ giác nội tiếp SKKN hình học 9, Đề tài phương pháp tứ giác nội tiếp SKKN hình học 9

Từ khóa liên quan