PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu I 1) Giải hệ phương trình =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 2) Giải phương trình .183124312 32 ++=+−++ xxxx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. ( ) n nn nn = + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 30=ACB . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức 4 9 )1)(1( =++ ba , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 44 11 baP +++= . Hết HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 3) Giải hệ phương trình =+ =++ .2 231283 22 22 yx xyyx 4) Gii phng trỡnh .183124312 32 ++=+++ xxxx H ớng dẫn 1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc (2x+3y) 2 =25 Ta có hai hệ =+ =+ 2 532 22 yx yx Và =+ =+ 2 532 22 yx yx Giai ra ta đợc PT có 4 nghiệm 1,-1; 13 7 ; 13 7 2) ĐKXĐ 2 1 x Đặt )0(124);0(12 2 >=+=+ bbxxaax Ta có (1-b)(a-3) =0 b=1 thì 2 1 ;0 21 == xx ;a=3 thì 4 3 =x Cõu II 3) Tỡm tt c cỏc s nguyờn khụng õm (x, y) tho món ng thc ( )( ) ( )( ) .2512411 22 =++++++ xyyxxyyx 4) Vi mi s thc a, ta gi phn nguyờn ca s a l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ a v ký hiu l [a]. Chng minh rng vi mi n nguyờn dng ta luụn cú. ( ) n nn nn = + ++ ++ 1 1 3.2 7 2.1 3 2 H ớng dẫn 1)Phá ngoặc ( )( ) ( )( ) ( )( ) 25)1)(1(25)1( 25)(12)1(.2512411 22 2222 =++=+++ =++++++=++++++ yxyxxy yxxyyxxyxyyxxyyx vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0) 2) xét )( 1 1 1 1 1 )1()1( 1 )1()1( 1 22 Nk kkkk k kk k kk k kk kk + + =+ + = + + + + = + ++ Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có ( ) n n n n n n nn nn = + += + += + ++ ++ 11 1 1 1 1 3.2 7 2.1 3 2 (đpcm) Cõu III Cho ng trũn (O) vi ng kớnh AB = 2R. Trờn ng thng tip xỳc vi ng trũn (O) ti A ta ly im C sao cho gúc 0 30=ACB . Gi H l giao im th hai ca ng thng BC vi ng trũn (O). 3) Tớnh di ng thng AC, BC v khong cỏch t A n ng thng BC theo R. 4) Vi mi im M trờn on thng AC, ng thng BM ct ng trũn (O ti im N (khỏc B). Chng minh rng bn im C, M, N, H nm trờn cựng mt ng trũn v tõm ng trũn ú luụn chy trờn mt ng thng c nh khi M thay i trờn on thng AC. H ớng dẫn j N C H O A B M 1)BC=4R;AC= R32 ;AH= 3R 2) Ta có 0 30 == HABHNA nên 0 180=+ NHCC nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định Cõu IV Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc 4 9 )1)(1( =++ ba , hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 44 11 baP +++= . H ớng dẫn áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy 1; 2 a và 1; 4 ta có 2 1 ":");1( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ aDau a aaa 1; 2 b và 1; 4 ta có 2 1 ":");1( 17 4 1)4()1(17 2 4224 == + +++ bDau b bbb Từ (1)&(2) ta có (*) 17 8 22 ++ ba P Mặt khác Từ GT ta có 4 5 =++ abba Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có 2 1 ":"; 2 1 4 5 )( 2 1 )( 2 3 2 4 1 4 1 2222 22 2 2 ===+=++++ + + + baDaubaabbaba ab ba bb aa Thay Vµo (*) ta cã 2 17 17 8 2 1 = + ≥P V©y 2 1 2 17 )( ==⇔= baPMin PTC_1011QĐ_02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu I 1) Giải phương trình 4133 =+++ xx 2) Giải hệ phương trình ( )( ) =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 +n là số chính phương. 2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1=++ zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 , ,, aaa , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là 2,1,4,4 5432 =−==−= aaaa ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. Hết HD giải đề thi MễN TON (Vũng 2) Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Cõu I 5) Gii phng trỡnh 4133 =+++ xx 6) Gii h phng trỡnh ( )( ) =++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx H ớng dẫn 1) x=1 xét x< 1 VT<4; x>1 VT>4 2) ( )( ) =+ =++ =+ =++ =++ =++ )2(222246 )1(26225 1123 26225 .1123 26225 22 22 22 22 22 yxyxx xyyx yxyxx xyyx yxyxx xyyx Cộng (1) và (2) ta có PT 0)2)(83(01623 2 =+=+ xxxx Với 3 8 =x thay vào PT(1) vô nghiệm Với 2=x thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3 Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3) Cõu II 5) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n 391 2 +n l s chớnh phng. 6) Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin 1=++ zyx . Chng minh rng .1 1 22 22 + +++ xy yxzxy H ớng dẫn 1)ta có 391 2 +n là số chính phơng nên 22 391 kn =+ )( Nk 391))((391 22 =+=+ knknkn mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23) Ta có n-k<n+k nên n-k -391 -1 -23 -17 n+k 1 391 17 23 n -195( loại) 195 -3(loai) 3 Vậy n =3 hoặc n=195 2) xyyxzxy xy yxzxy ++++ + +++ 122.1 1 22 22 22 áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có yxyxyxyx ++++ )(2)()(2 22222 Nên yxzxyyxzxy ++++++ 22 22 ta phải chứng minh )(22122 111 22 dungxyyxxyzxyzzzxyxyzzzxy xyzzxyxyzzxyxyyxzxy ++++ +++++++++ Dờu = xảy ra khi 2 1 z yx == Cõu III Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l hỡnh chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc ng thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng. 3) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC. 4) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip. H ớng dẫn P Q E F M H B C A 1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên EPBEHB = (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên EPBMPQ = (2). Vì t giác MQHP nội tiếp nên MHQMPQ = (3) Ta có MHC vuông tại H có MCHQ suy ra MHQMCH = (4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có MCHEHB = ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà (*)ABCMABHE Tơng tự (**)ACBM từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC 2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có 00 90;90 == AFHAEH nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên AHEAFE = ( nội tiếp chắn cung AE) mà AHEEBH = ( cùng phụ BHE ) Vậy EBHAFE = mà 00 180180 =+=+ EFCEBHEFCAFE Nên tứ giác BEFC nội tiếp Cõu IV Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t 201021 , ,, aaa , ta ỏnh du tt c cỏc s õm v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt số s liờn tip lin ngay sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc s c ỏnh du l 2,1,4,4 5432 ==== aaaa ). Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt c cỏc s c ỏnh du l mt s dng. H ớng dẫn Xét các số đợc đánh dấu a 1 ;a 2 ;a 3 a n (n )2010; < nN -Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm -Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số dơng suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu suy ra tổng luôn là só dơng PTC_1011Q_03 B GIO DC V O TO TRNG HSP H NI K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN Nm hc 2010- 2011 Mụn thi: TON- Vũng I Cõu 1: 4 3 2 4 2 7 6 2 3 1 (4 1) 4 29 78 2 1 6 6 3 12 36 x x x x x x A x x x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + + + 1. Rỳt gn biu thc A 2. Tỡm tt cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc A cú giỏ tr nguyờn Cõu 2: Cho hai ng thng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m 1 (d2): y = m 2 x + m 2 Vi m l tham s 1. Tỡm to giao im I ca d1 v d2 theo m 2. Khi m thay i, hóy chng minh im I luụn thuc ng thng c nh. Cõu 3 : Gi s cho b ba s thc (x;y;z) tho món h =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tỡm tt c b s x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 Cõu 4 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú di bng cnh a. Trong hỡnh vuụng o ly im K sao cho tam giỏc ABK u. Cỏc ng thng BK v AD ct nhau P. 1. Tớnh di KC theo a 2. Trờn AD ly I sao cho . 3 3 a DI = CI ct BP H. Chng minh CHDP l ni tip. 3. Gi M v L ln lt l trung im CP v KD. Chng minh LM = 2 a Cõu 5: Gii phng trỡnh : (x 2 -5x + 1)(x 2 - 4) = 6(x-1) 2 Ht Giải đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Câu 1: 4 3 2 4 2 7 6 2 3 1 (4 1) 4 29 78 2 1 6 6 3 12 36 x x x x x x A x x x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + + + 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên H ớng dẫn 1. )3(2 )2(3 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 26 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . )6(2 82183 )26)(3( )6)(2(3 . 6 4 2 3 )6)(2(3 )26)(3( : )1)(6( )1)(4( . 1 1 2 3 )1262(3 78263 : )6()6( 44 . 1 1 2 3 6 2 2 6 2 2 6 23 2 446 + = ++ + + + = ++ + + ++ = ++ + + ++ = ++ + + = + ++ + + + = + +++ ++ + + + = x x xx xx x x xx xx x xx A xx xx x xx xx xx x x A xx xx xx xx x x A xxx xxx xxx xxx x xxx A 2. )3(2 )2(3 + = x x A Xét )15(3 3 15 3 3 15)3(3 3 )2(3 2 UxZ xx x x x A + + = + + = + = x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 -1 0 1 Vậy }{ 12;2;0;2;4;6;8;18 x thì A nguyên Câu 2: Cho hai đờng thẳng (d1 ): y = (2m 2 + 1 )x + 2m 1 (d2): y = m 2 x + m - 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d 1 và d 2 theo m 2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định. H ớng dẫn 1.Giải hệ + + = + + = + ++ = + + = + + + = + + = += +=+ += =+++ += ++= 1 23 1 )1( 1 22 1 )1( 2 1 )1( 1 )1( 2 )1()1( 2 0212)12( 2 12)12( 2 2 2 2 2323 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 m mm y m m x m mmmmm y m m x m m mm y m m x mxmy mxm mxmy mxmmxm mxmy mxmy ta đựợc + + + + 1 23 ; 1 )1( 2 2 2 m mm m m I 2.ta có x m mm y = + +++ = 3 1 )1()1(3 2 2 Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ =++ +=+ )2(0107 )1(1 2 zzxy zyx 1. Chứng minh x 2 + y 2 = -z 2 + 12z 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x 2 + y 2 = 17 H ớng dẫn 1.Từ (1) ta có x-y=z-1 x 2 -2xy+y 2 =1-2z+z 2 x 2 +y 2 =2xy+1-2z+z 2 (*) Từ (2) ta có xy=-z 2 +7z-10 thay vào (*) ta có x 2 + y 2 =2(=-z 2 +7z-10 )+z 2 -2z -+1 x 2 + y 2 = -z 2 + 12z -19 (đpcm) 2. ta có -z 2 + 12z 19=17 z 2 -12z+36=0 0)6( 2 = z z=6 thay vào ta có hệ Hệ có 2 nghiệm (x,y,z)=(- 1;4;6);(-4;1;6) Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a = = = = =++ += =++ += =++ += =+ = 1 4 4 1 0)1)(4( 5 08102 5 017)5( 5 17 5 22222 y x y x xx xy xx xy xx xy yx yx 2. Trên AD lấy I sao cho . 3 3 a DI = CI cắt BP ở H. Chứng minh CHDP là nội tiếp. 3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 a Q H E N L M I P K C B A D H ớng dẫn 1.Kẻ KQ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; KBQ=30 0 nên 2 a KQ = áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có 2 3 4 2 222 aa aKQBKBQ === nên 2 )32( 2 3 === aa aBQBCCQ áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có 2 3410 4 3 4 )347( 2 2 22 =+ =+= aa a KQCQKC 2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a; 3 3a DI = nên 3 3 == DC DI DCITg nên DCI=30 0 theo GT ta có KBC=30 0 suy ra DPH=30 0 (So le) Vởy DPH= DCH =30 0 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 30 0 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp 3. Kẻ KE AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và 2 a LN = ; MN//KP; 2 a MN =