TonghopcacvandehamsoTHCS

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số phần I Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngày một tốt đẹp hơn. Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho ngời học tính toán nhanh, t duy tốt, tính chính xác cao lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời. Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chơng trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đối tợng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số". 2. Mục đích nghiên cứu: Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, 1 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn, hỏi han ý kiến của các đồng nghiệm đi trớc có nhiều kinh nghiệm, tiếp xúc và trò chuyện với học sinh, trực tiếp đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh; tôi nhận thấy rằng đa số các em còn sử dụng kiến thức về hàm số trong việc giải các bài tập có liên quan còn máy móc, cha linh hoạt; nhiều em cha hiểu kĩ đợc kiến thức cơ bản của mảng kiến thức về hàm số. Chính vì vậy, việc áp dụng cũng nh khai thác sâu kiến thức về hàm số và đồ thị hàm số để giải các bài toán tìm cực trị, giải ph- ơng trình, bất phơng trình của học sinh còn gặp nhiều khó khăn và đây cũng là một vấn đề môt nhiệm vụ mà tôi mạnh dạn tìm hiểu, đi sâu để cuối cùng đa ra một chuyên đề thực sự hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài, tôi còn gặp nhiều thiếu sót mong các thầy cô góp ý để đề tài này ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. 4. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tợng nghiên cứu: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong ch- ơng trình toán THCS (lớp 7 và 9) - Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức của hàm số; 5. Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp quan sát s phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài tập, khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi nh thế nào? trao đổi những gì? - Phơng pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy đợc những vớng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số. - Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm. - Phơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và bài kiểm tra của học sinh. - Phơng pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục. 2 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Phần II Nội dung đề tài Chơng I: lý thuyết cơ bản Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trớc hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số. I. Khái niệm hàm số: Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số" Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ: 1. ánh xạ: a. Định nghĩa: Cho tập hợp X và Y : f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y Kí hiệu: f: X Y x a y = f(x) Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f Y là tập đích của ánh xạ f Phần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f b. Các loại ánh xạ: * Đơn ánh ánh xạ: f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là đơn ánh x 1 , x 2 X: x 1 x 2 thì f(x 1 ) f(x 2 ) Hoặc x 1 , x 2 X: x 1 x 2 thì f(x 1 ) = f(x 2 ) thì x 1 = x 2 Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 3x * Toàn ánh: ánh xạ f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là toàn ánh y Y thì x X: (x) = y Hoặc f là toàn ánh phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y Y cho trớc Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 2x 3 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x = 2 y với y xác định. * Song ánh: ánh xạ f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là song ánh f là đơn ánh và f là toàn ánh 2. Hàm số: a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y. Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (đợc nhắc lại trong sách giáo khoa lớp 9) nh sau: Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho t- ơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x) Ngời ta viết:f: X Y x a y = f(x) X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x. Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số" * Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có thuộc tính bản chất: + X và Y là hai tập hợp số + Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định duy nhất một số y Y + Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi + Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên phụ thuộc b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp) + Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x X + Chú ý: - Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại - Điểm M(x M ; y M ) đồ thị hàm số y = f(x) y M = f(x M ) c. Cách cho một hàm số: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách: 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số + Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x) + Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị + Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số II. Các hàm số trong ch ơng trình THCS: 1. Hàm số bậc nhất: a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x R b. Tính chất: + Tập xác định: R + Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R c. Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x R) là đờng thẳng đi qua điểm A(0;b) và điểm B( b a ; 0) + Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ 2. Hàm số bậc hai a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax 2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x R) b. Tính chất: - Tập xác định: R - Tính biến thiên: a > 0: Hàm số đồng biến trong ( 2a b ; + ) và nghịch biến trong (- ; 2a b ) a < 0: Hàm số nghịch biến trong ( 2a b ; + ) và đồng biến trong (- ; 2a b ) c. Đồ thị: 5 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0, x R) là Parabol (P) có đỉnh là D( 2a b ; - 4a ); nhận đờng thẳng x = 2a b là trục đối xứng Chơng II: Một số dạng bài tập Dạng 1: tìm tập xác định của hàm số 1. Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa Vì vậy: - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ mẫu thức 0} - Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x R/ biểu thức trong căn 0} 2. Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y = x x 2 2+ có TXĐ: {x R/ x 0} + Ví dụ 3: Hàm số y = 14 +x có TXĐ: 4 1 xRx 3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: a. y = x 3 x +2 b. y = 3 521 + + + x x 3-x x 2 c. y = xx + 24 2 Dạng 2: tìm tập giá trị của hàm số Tập giá trị của hàm số: f: X Y x a y = f(x) là tập giá trị y Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X 1. Cách giải: 6 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số + Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định. 2. Ví dụ: * Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [-1; 1] Giải Ta có x -1 2x -2 2x 5 -7 hay y -7 x 1 2x 2 2x-5 -3 hay y -3 Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [-1; 1] là y [-7; -3] * Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = xx + 76 Giải xxxx ++ 7676 =1 hay y 1 Vậy miền giá trị của hàm số y = xx + 76 với x R là y R, y 1 * Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 - 2x + 3 với x [2; 3] Giải: Hàm số y = x 2 + 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1 Vậy với x [2; 3] ta có y(2) y(3) 3 y 6 Vậy miền giá trị của hàm số y = x 2 + 2x + 3 với x [2; 3] là [3; 6] *Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 - 4 x + 3 Giải: TXĐ của hàm số là R Xét phơng trình x 2 - 4 x +3 = y ( x - 2) 2 = y + 1 Phơng trình có nghiệm khi y + 1 0 y -1 3. ứng dụng: * ứ ng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x x 2 2 Giải: Ta có y = 2x x 2 - 4 = -(x 2 - 2x + 1) 3 = -(x 1) 2 - 3 - 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1 7 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2xx x 2 2 ++ ++ 6x (1) Giải: Hàm số có tập xác định: R vì x 2 + x + 2 = (x + 2 1 ) 2 + 4 7 4 7 Giả sử y là một giá trị của hàm số phơng trình 2xx x 2 2 ++ ++ 6x = y có nghiệm (y - 1)x 2 + (y - 1)x + 2y 6 = 0 (2) có nghiệm +Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm +Xét y 1 phơng trình (2) có nghiệm 0 (y -1) 2 - 4(y 1)(2y - 6) 0 (y - 1)(23 7y) 0 1< y 7 23 Vậy giá trị của hàm số là 1< y 7 23 + Với y = 7 23 ta có x = 2 1 vậy hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = 7 23 tại x = 2 1 + Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng: Tìm x R để hàm số y = 2xx x 2 2 ++ ++ 6x nhận giá trị nguyên Biến đổi: y =1 + 2xx 4 2 ++ Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x 2 + x + 2 nhận giá trị là ớc nguyên của 4. Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x 2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán + Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y 7 23 ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc y = 3 Giải phơng trình 2xx x 2 2 ++ ++ 6x =2 x 2 + x + 2 = 0 x = 1; x = -2 8 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số 2xx x 2 2 ++ ++ 6x =3 2x 2 + 2x = 0 x = 0; x = -1 Vậy x {-2; -1; 0; 1} thì y Z * ứ ng dụng 2: Giải phơng trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung của chúng: Nếu mxg mxf )( )( với x D thì f(x) = g(x) mxg mxf )( )( (2) Nếu x 0 D thoả mãn (2) thì x 0 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x 2 2= 1343221 +++ xxxx (1) +Tập xác định: R +Ta có VT = 6x x 2 2 = 7 (x - 3) 2 7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3 VP = 1343221 +++ xxxx 7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x 4 13 + Vậy phơng trình (1) =+++ = 71343221 72 x-6x 2 xxxx x = 3 Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 = 16(x 2x ) (3) Ta có VT = 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 = 16 2 2 4 9 4 7 xx 28 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 4 9 Đặt 2x = t 0 x = t 2 + 2 ta có VP = 16(t 2 t + 2) = 16 + 4 7 2 1 2 t 28 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 2 1 x = 4 1 +2 x = 4 9 9 Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số Vậy phơng trình (3) = = 28 28VT VP x = 4 9 Kết luận nghiệm của phơng trình là x = 4 9 4. Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = x 2 - 3x + 1 trên đoạn: a. [-3;1] b. [0;2] Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3 + + a b b a a b b a 8 2 2 2 2 Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình +=+ +=+ 12 1ayx 222 ayx Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất Bài 4: Giải phơng trình a. 222 2414105763 xxxxxx =+++++ b. 11642 2 +=+ xxxx Dạng 3: xác định công thức hàm số 1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1- 1 nên ta sẽ xác định đợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất: Đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và điểm B(x 2 ;y 2 ) Giải: Vì A(x 1 ;y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 B(x 2 ;y 2 ) d nên ax 2 + b = y 2 Ta có hệ phơng trình =+ =+ 22 11 ax ybax yb giải hệ phơng trình ta có a, b Kết luận công thức hàm số. * Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(-1;2) Giải: Vì A(1;1) d nên a.1 + b = 1 B(-1;2) d nên a(-1) + b = 2 10