Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình I - Lời nói đầu Dạng toán "Giải bài toán bằng cách lập phơng trình" ở trơng trình đại số lớp 8 và lớp 9 ở trờng Trung học sơ sở là dạng toán tơng đối khó đối với học sinh . Do đặc trng của loại toán này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhiều ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng ngôn ngữ toán học,vật lý ) . Hầu hết các bài toán có các dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn buộc học sinh phải suy luận tốt mới tìm đợc sự tơng quan giữa các đại lơng mà thc chất các vấn đề khoa học giải toán là phơng trình. Trong phân phối trơng trình toán học ở trờng Trung học cơ sở thì đến lớp 8 hoc sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình . Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán học từ lớp 1 với mức yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh. ở lớp 1và 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: - 3 = 8 ở lớp 3 đợc nâng lên dới dạng: x+5-3=12 ở lớp 4,5,6 cho dới dạng phức tạp hơn: X : 5 = 10 : 2 6x + 4 = 16 (x + 12). 5 =75 ở lớp 7,8,9 ngoài những mối liên hệ nh trên,bài toán còn có dới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.Vì vậy muốn giải đợc bài toán này học sinh phải có suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình). Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn liền với nội dung thc tế .Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán hoc sinh thờng mắc sai lầm thoát ly thực tế dẫn đến quên đữ kiện của ẩn.học sinh không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc của thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại bài toán này. Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiên trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này. Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình thì đều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài thành những mối quan hệ toán học. Do vậy nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải là giải bài tập cho 1 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải dạy hoc sinh cách giải bài tập. Do đó, khi hớng dẫn học sinh giải loại toán này, giáo viên phải dựa trên một số quy tắc chung. Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc gải bài toán bằng cách lập phơng trình, phân loại các dạng bài toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng( tăng , giảm , thêm, bớt) làm sáng tỏ các mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc ph- ơng trình dễ dàng. Đây là bớc quan trọng khó khăn đối với học sinh. Trong thời gian giản dạy ở trờng Trung học cơ sở, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp với mong muốn đợc trao đổi cùng các đồng nghiệp những kinh nghiệm giảng dạy về dạng toán "Giải bài toán băng cách lập phơng trình" Do trình độ còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót. Rất mong các đồng nghiệp góp ý cho bản thân tôi rút đợc kinh nhgiệm trong bài giảng và áp dụng . II -Yêu cầu giải một bài toán I - Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung . Giải bài toán bằng cách lập phơng trình . Nội dung quy tắc gồm các bớc: Bớc1 : Lập phơng trình (gồm các công việc) -Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt đIễu kiện cho ẩn -Dùng ẩn số và các số đã biết,đã cho trong bài toán đễ biểu thị số liệu khác có tên liên quan,diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình) Bớc 2 :Giải phơng trình (hệ phơng trình) Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giảỉ cho thích hợp và ngắn gọn. Bớc 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời -Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ổn thoả xem có thích hợp không. Sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị) Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu về gải một bài toán nói chung. II - Yêu cầu về giải một bài toán 1 -Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót măc dù nhỏ. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán,ký hiệu, kiều kiện bài toán 2 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình (Bài 11, SGK, đề số 8) Ví dụ : Đờng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn dơng bộ 10 Km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một ô tô đi hết 2giờ. Biết vận tốc ca nô kém vân tốc ô tô là 17 km/h.Tính vận tốc ca nô. *Hớng dẫn cho học sinh : Ta biểu thị các đại lơng đã biết và cha biết trong bảng để tránh nhầm lẫn giữa các đaị lợng Vận tốc (Km/h) Thời gian(h) Quãng đờng(Km) Ca nô x 3 1/3 3 1/3 x Ô tô X + 17 2 2(x+17) Vì bảng trên ta có thể chọn ẩn và trình bày lời giải nh sau: Gọi vân tốc của ca nô là x (km/h) x>0 Vận tốc của ô tô là x+17(km/h) Đờng sông từ Ađến B dài 3 1/3 km Đờng bộ từ Ađến B dài 2(x + 17) (km) Theo bài ra ta có phơng trình : 2(x + 17) -3 1/3 =10 Giả phơng trình ta có x = 18 X=18thoả mãn đIều kiện x>0 vận tốc ca nô là 18 km/h 2 - Yêu cầu2 : Lời giải phải đấy đủ chính xác, chú ý nhất là điêu kiện của ẩn . Muốn học sinh không sai phạm sai lầm khi lấy nghiệm nào phù hợp của ẩn.Giáo viên phải giúp học sinh kết hợp điều kiện để loại nghiệm không phù hợp khi giải phơng trình. Ví dụ 2 : (SGK Đề số 9) Hai cạnh hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm. Diện tích của nó bằng 40 cm 2 .Tính các cạnh của hình chữ nhật. Chú ý: Khi giải loai toán này phải chú ý điều kiện độ dài hình học luôn luôn là một số dơng . Gọi môt cạnh của hình chữ nhật là x (cm) (x>0) Thì cạnh kia là (x+6) (cm) Ta có phơng trình ; x(x+6)=40 hay x 2 +6x -40=0 Giải phơng trình ;x 1 =4 ; x 2 =-10 Giáo viên giúp học sinh từ điêu kiện để loại nghiệm x 2 chỉ lấy nghiệm x 1 =4 chiều rộnghình chữ nhật là : 4cm Chiếu dài hình chữ nhật là : 4+6=10cm 3 5 5 125 ,5 4 80 ,5 3 45 ,5 2 20 ,5 1 5 22222 ===== Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình ở bài này nhgiệm x 1 =-10 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật,hoc sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán 3- Yêu cầu 3:Lời giải phải dủ và mang tính toàn diện. Hớng dẫn học sinh không đọc bỏ sót một chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu . Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả bài toán đã là đại diên phù hợp với mọi cái chung. Nếu thay đổ điều kiện bài toán rơi vào trờng hợp đặc biệt kết quả vẫn luôn luôn đúng. Ví dụ 3:(Bài ôn luyện toán 9-NXB Hà Nội ) Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạng đáy . Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm 2 .Tính chiều cao và cạnh đáy . Lu ý học sinh :Dù có thay đổi chiều cao,cạnh đáy của tam giác thì diện tích(S) của nó luôn đợc tính theo công thức: S=1/2 (cạnh dãy x chiều cao) Từ đó, gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu)là xdm (x>0) Thì chiều cao sẽ là 3/4x(lúc đầu) S lúc đầu là 1/2x .3/4x S lúc sau là 1/2 (x-2).(3/4x+3) Theo bài ra ta có phơng trình: Giải phơng trình ta đợc x=20 thoả mãn diều kiện chiều cao của tam giác là : 3/4 .20= 15dm 4- Yêu cầu 4: Lời giải của bài toán phải đơn giản. Bài giải phải đảm bảo đợc ba yêu cầu trên.Không sai sót có lập luận mang tính toàn diện và phù hợp với kiến thức ,trình độ đại đa học sinh hiểu và làm đợc Ví dụ 4:(bài toán cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mơi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có mấy gà mấy chó? Với bài toán này nếu giải nh sau: Gọi số gà là x (x>0;x N) thì số chó là 36 - x Gà có 2 chân số chân gà là 2x chân Chó có 4 chân số chân chó là 4 (36-x) chân 4 36 4 100 2 = + xx Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình Theo bài ra,ta có phơng trình :2x + 4( 36 - x) = 100 (1) Giải phơng trình x=22 gà có 22 con số chó là 36-22=14 con Giải nh trên thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x,y) khi đó bài toán trở nên khó hiểu và phức tạp. Hoặc gọi số chân gà là x số chân chó là 100-x phơng trình là : (2) Rõ ràng phơng trình (1) đơn giản hơn phơng trình (2).Do đó cần lu ý học sinh chọn cách đơn giản dễ hiểu nhất phù hợp với trình độ của hoc sinh . 5- Yêu cầu : Lời giải phải trình bày khoa học đó là lu ý mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán lôgic chặt chẽ với nhau,các bớc sau phải đợc suy ra từ các bớc trớc nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng ,hoăc những điều đủ biết từ trớc. Ví dụ 5 :(Toán phát triển đại 9) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số,biết răng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì gọi là 4 và d 3,còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì đợc thơng là chia 3 và d 5. Bài toán yêu cầu tìm số có 2 chữ số ab Trớc khi giải cần lu ý học sinh về điều kiện của các chữ số.Chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị có điều kiện khác nhau : 0<a 9; 0 b 9. =>Gọi chữ số hàng chục là x thì chữ số hàng đơn vị là y (0 x 9 ; 0 y 9) Số đã cho là 10x+y Theo đề bài ra ta có hệ phơng trình. 10x+y=4(x+y)+3. 10x+y=3xy+5. Giải hệ ta đợc x 1 =1/2; x 2 =2 x 1 =1/2 không phù hợp với điều kiện loại x 2 =2 y=3 Vậy số phải tìm là 23 6. Yêu cầu 6 : Lời giải bài toán rõ ràng đầy đủ (có nên thử lại) Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng . 5 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình Muốn vậy cần rèn luyện cho học sinh sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót,nhất là đối với các phơng trình bậc hai,hệ phơng trình Ví dụ 6:(Toán phát triển đại 9) Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn độ dài cạnh vuông góc là 35 . Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của một tam giác ? Hớng dẫn ; Gọi độ dài của các cạnh góc vuông của tam giác là x,y (x,y>0) Ta có hệ phơng trình x+y=35 (1) x 2 +y 2 =25 2 =625 (2) Rút y từ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2)ta có phơng trình . x 2 -35x+330=0 Giải phơng trình (2) ta đợc x 1 =20, x 2 =15. Đến đây hoc sinh hay hoang mang và ra kết quả (thực chất trong bài toán tam giác vuông là1) không biết lấy kết quả nào ? Giáo viên cần xây dựng cho học sinh một thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không nhất thiết phải có một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng vịêc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán. II: phân loại bài toán giải bài toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán. I . Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trìnhvà hệ phơng trình Trong 74 tập sách ở lớp 8 và lớp 9,Giải bài toán băng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có phân loại nh sau. 1. Loại toán về chuyển động 2. Loại toán có liên quan đến số học 3. Loại toán về năng suất lao động(Tỷ số %) 4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng( toán quy về đơn vị) 5. Loại toán về tỷ lệ chia phần(thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, hệ số của chúng) 6. Loại toán có liên quan hình học 7. Loại toán có chứa tham số 8. Loại toán có nôi dung vật lý II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình . I . Phần giai đoạn; Với bài toán bậc nhất 1ấn số :là dạng bài toán sau đây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng. ax+b =0 (a 0) 6 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình Với bài toán giải bài toán băng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số ) có dạng ax+by=c a , x+b , y=c , Trong đó a,b.a , ,b , không đồng thời bằng 0 Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trrình (hệ phơng trình) nh phần 1 đã trình bày thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn trong 3 quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình). *Giai đoạn 1 : Đọc kỹ đề bài viết giả thiết kết luận bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những điều kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô tả bằng hình vẽ đợc không) *Giai đoạn 2 : Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình.Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào cho ẩn số thoả mãn. *Giai đoạn 3 : Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và đại lợng đã biết ,dựa vào công thức ,tính chất để xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết,đã giải đ- ợc *Giai đoạn 4 : Giải phơng trình bớc (2)vận dụng các kỹ năng giải phơng trình đã biết để tìm nghiệm các phơng trình *Giai đoạn 5 : Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải của bài toán.Tức là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không. *Giai đoạn 6 : Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có mấy nghiệm sau khi đã thử lại . *Giai đoạn 7 : Phân tích biện luận bài giải. Phần này thờng đợc mở rộng cho những học sinh tơng đối khá giỏi sau khi diễn giải xong để gợi ý cho học sinh biến đỏi bài tóan đã co thành bài khác,ta có thể . - Giữ nguyên ẩn số , thay đỏi các yếu tố khác (dữ liệu và giả thiết) - Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khá.(ẩn số và giả thiết) nhằm phát triển t duy toán học cho học sinh . - Giải bài toán bằng cách tìm cách giải hay nhất 2. Ví dụ minh họa cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình Ví dụ .(bài tập đại số 8) Tổng của 2 số bằng 90.Số này gấp đôi số kia.Tìm 2 số đó 7 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình Hớng dẫn giải. Giai đoạn 1: Giả thiết : Số thứ nhất +số thứ hai=90 Số thứ nhất =2 lần số thứ hai Kết luận: Tìm số thứ nhất, số thứ hai Giai đoạn 2 : Thờng là điều cha biếtđợc gọi là ẩn số ở bài này cả số thứ nhất và số thứ hai đều cha biết nên có thể coi một trong hai số(hoặc cả hai số ) . Cụ thể: Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 90-x(hoặc số thứ nhất là y)thì x+y=90. Giai đoạn 3 : Lập phơng trình. Vì số thứ nhất gấp đôi số thứ hai.Do đó mối quan hệ sẽ là số thứ nhất bằng hai lần số thứ hai Ta có phơng trình x=2.(90-x) (1) Hoặc x=2.y x+y=90 (2) Giai đoạn 4 : Giải phơng trình Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (1) hoặc hệ ph- ơng trình (2) Giải (1)ta đợc x=60 Gải (2) ta đợc x=60,y=30 Giai đoạn 5 : đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện xem có thoả mãn hay không ở đây x=60 => số thứ hai là 30 Thử lại : Số thứ nhất :60 Số thứ hai: 30 Số thứ nhất bằng 2 lần số thứ hai (60=2.30) Giai đoạn 6 : Trả lời đáp số . Vậy số thứ nhất là60 Số thứ hai là 30 Giai đoạn 7 : khai thác bài toán -Hớng cho học sinh các cách giải khác -Chọn các ẩn số khác nhau - Chọn cách giải ngắn nhất hay nhất,dễ giải nhất - Có thể từ bài toán này xây dựng hoạc giải các bài toán tơng tự bằng cách + Thay số liệu dữ nguyên lời văn và dữ kiện + Thay lời văn và dữ kiện 8 Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập phơng trình + Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại III : Kết luận Trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi, học hỏi qua tài liệu và đồng nghiệp mà đúc rút ra đợc kinh nhgiệm chứ cha có gì gọi là sáng kiến do đó đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế rất mong sự đóng góp ý kiến của ban giám khảo và các bạn đồng nghiệp để làm kinh nghiệm quý báu cho bản thân tôi trong công tác giảng dạy Thái thụy ngày 22 tháng 05 năm 2010 9