Bất đẳng thức Cô - si Bài 1:a ,b ,c >0.Chứng minh : a) cbacba ++ ++ 9111 b) 2 3 + + + + + ba c ac b cb a c) ( )( )( ) ( ) 3 3 1111 abccba ++++ ĐH Thuỷ lợi 2000. d) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc+ ca Bài 2: ĐH Huế 97. a)Chứng minh rằng: Raaaaa ++++ ;211 22 b) Cho các số thực dơng x,y,z sao cho xyz=1 và n là một số nguyên d- ơng. Chứng minh rằng: 3 2 1 2 1 2 1 + + + + + nnn zyx Bài 3: a) ĐH QG Khối D 98. Chứng minh rằng với mọi x,y dơng ta có: ( ) yx yx yx ++++ 2 11 22 . b) ĐH QG Khối D 99. Chứng minh rằng với các số dơng a, b ,c bất kì ta có: 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ + + + + + (Gợi ý: ( ) yx yx xy + + 4 1 ) c) ĐH Nông nghiệp 2001. Cho x,y,z > 0 . Chứng minh rằng: 222232323 1112 2 2 zyxxz z zy y yx x ++ + + + + + Bài 4:a) x,y.z>0; xyz=1 . Chứng minh rằng : x 3 + y 3 + z 3 x + y+ z (Gợi ý: x 3 +1+1 ; ; 2(x 3 +y 3 +z 3 ) c) ĐH QG : Cho a,b>0 Chứng minh: b b a a b b a a ++++ 11 3 3 3 3 b) ĐHQG 2000. Cho a, b ,c là ba số thực bất kì thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: cbacba 222888 ++++ d) ĐH Y Dợc 99. Cho a, b ,c là 3 số khác 0. Chứng minh: a c c b b a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Bài 5: ĐHPĐ 2000. Chứng minh với số thực > 0 bất kì ta luôn có: ++ 1 3 2 3 Bài 6: ĐH Hàng hải 2000. Cho x , y , z 0 và x + y + z 3 . Chứng minh rằng: zyx z z y y x x + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 2 3 111 222 Bài 7: ĐH Huế 98.CMR: ( )( )( )( ) 4 1 3241 4 +++ ++ dcba dcba Với mọi 3;2;4;1 dcba Bài 8: ĐH Y Khoa . Cho a,b,c > 0 thoả mãn: 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + cba CMR: abc 1/8 . Bài 9: ĐH Ngoại thơng. Cho a,b,c > 0. CMR: ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + < + + + + + Bài10: ĐH Ngoại thơng. Cho x,y,z > 0 thay đổi thoả mãn : x+ y+ z =1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111 + + + + + = z z y y x x P Bài 12: ĐH , Khối A 2005. Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng : zyxzyxzyx 2 1 2 1 2 1 ++ + ++ + ++ 1. Bài 12: ĐH Bách khoa. Cho ba số dơng a,b,c. Chứng minh rằng: abc cba abcacbbca 2 111 222 ++ + + + + + (Gợi ý: a 2 + bc ; quy đồng mẫu số) Bài 13: ĐH KTQD. Chứng minh rằng a,b là 2 số không âm bất kì ta luôn có: 3a 3 + 17b 3 18ab 2 Bài 14: a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác với chu vi 2p . Chứng minh rằng: 1) ( )( )( ) 8 abc cpbpap ĐH KTQD - Đề 108 III.2 2) (b + c -a)(c + a - b)(a + b - c) abc . Đề 94. III. 1 3) ++ + + cbacpbpap 111 2 111 Luật - Đề 108 III.2 4) 3 + + + + + cba c bac b acb a ĐH Y hải phòng 2000. 5) ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) 0 . Bài 15: Đề 103II.2 . Cho x , y là hai số thay đổi thoả mãn điều kiện: 40;30 yx . Tìm giá trị lớn nhất của A= (3 - x)(4 - y)(2x + 3y) . Bài 16: ĐH Mở HN 2000 , khối D. Cho ba số x , y , z không âm , Cchứng minh rằng: zyxzxyzxy 42353 ++++ . Bài 17. ĐH An ninh 2000. Cho góc tam diện 0xyz và 1/8 mặt cầu đơn vị x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x 0 , y 0 , z 0 trong góc tam diện đó. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với 1/8 mặt cầu ấy tại M , cắt 0x , 0y , 0z lần lợt tại A , B , C sao cho OA > 0 , OB > 0 , OC > 0 . Chứng minh rằng: 1) 1 111 222 =++ cba 2) (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) 64. Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức . (Gợi ý: Đặt x =1/a 2 , y = 1/b 2 , z = 1/c 2 ) Bài 18: ĐH TN 2000. Chứng minh rằng với mọi x,y,z dơng và x + y + z = 1 thì: xyz xyz zxyzxy + >++ 2 18 Bài 19: ĐH,Khối A 2003 . Cho x, y ,z là ba dơng và x+ y + z 1. Chứng minh rằng: 82 111 2 2 2 2 2 2 +++++ z z y y x x Bài 20: Dự bị 1 Khối B 2002. Giả sử x , y là hai số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện 4 5 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: yx S 4 14 += Bài 18: ĐH Ngoại Thơng 2001. Giả sử x , y là các số thay đổi thoả mãn: x > 0 , y > 0 và x+ y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : y y x x P + = 11 . (Gợi ý: viết ( ) ( ) y y x x P + = 1 11 1 11 ; 2min =P ) Bài 11: ĐH Nông nghiệp 2000. Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn điều kiện abc=1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: bcac ab cbab ac caba bc P 222222 + + + + + = Đ/s: min P = 2 3 ( Gợi ý: ( ) 2 + + = cba bc P ; x zy zy x + + + 4 2 ) . Bất đẳng thức Cô - si Bài 1:a ,b ,c >0.Chứng minh : a) cbacba ++ ++ 9111 b) 2 3 + + + + + ba c ac b cb a c)