LTDH dai so to hop

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . n 2 cách chọn đối tượng A 2 . A 1 ∩ A 2 = ∅ ⇒ Có n 1 + n 2 cách chọn một trong các đối tượng A 1 , A 2 . 2) Quy tắc nhân: Có n 1 cách chọn đối tượng A 1 . Ứng với mỗi cách chọn A 1 , có n 2 cách chọn đối tượng A 2 . ⇒ Có n 1 .n 2 cách chọn dãy đối tượng A 1 , A 2 . 3) Hoán vị: − Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. − Số hoán vị: P n = n!. 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. − Số các chỉnh hợp: k n n! A (n k)! = − 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. − Số các tổ hợp: k n n! C k!(n k)! = − − Hai tính chất k n k n n C C − = k 1 k k n 1 n 1 n C C C − − − + = 6) Nhị thức Newton n n k n k k n k 0 0 n 1 n 1 n n n n n (a b) C a b C a C a b C b − = − + = = + + + ∑ − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k k 1 n T C a b − + = − Đặc biệt: n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C+ = + + + + II / MỘT SỐ VÍ DỤ 1. Bài toán đếm. 1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập. Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho a) Các chứ số đều khác nhau. b) Chữ số đầu tiên là 3. c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4. Giải a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có 5 7 A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde 1 Chữ số đàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn b, c, d, e đều có 7 cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số. c) Gọi số cần thiết lập là abcde Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4) a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số. Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau Giải Gói số cần thiết lập là abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn Khi đó a có 6 cách chọn b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số. + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn Khi đó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e b có 5 cách chọn c có 4 cách chọn d có 3 cách chọn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5. Giải Cách 1: Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có 3 6 A = 120 số Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí để xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 5. ⇒ Có 120.4 = 480 số. Cách 2: − Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd,a5bc,ab5d,abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3. Giải Xét các trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0 2 ⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2 Chữ số còn lại có 2007 vị trí để đặt, còn các vị trí khác đặt số 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0 Chọn chữ số đầu tiên là 1 Chọn 2 trong 2007 vị trí để đặt chữ số 1 ⇒ có 2 2007 C = 2007.1003 = 2013021 Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số ba có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Giải + Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt đầu bằng 0). Khi đó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí Chọn 2 trong 7 vị trí để xếp chữ số 2: có 2 7 C cách Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để xếp chữ số 3: có 3 5 C cách Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để đặt vào 2 vị trí còn lại có 2 8 A cách ⇒ Có 2 7 C . 3 5 C . 2 8 A = 11 760 cách. + Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự cho 6 vị trí ⇒ có 2 6 C . 3 4 C . 1 7 A = 420 số Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số. 1.2 Đếm số phương án. Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chọn 3 học sinh bất kì. b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ. c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Giải a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là: 3 40 C 9880= cách. b) Chọn 1 nam có 1 25 C 25= cách Chọn 2 nữ có 2 15 C 105= cách ⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách Chọn 3 học sinh nữ có 3 15 C 455= cách ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam. Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97) Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn ở trên. 3 Giải Cách 1 Mỗi tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng Số bộ ba điểm từ 37 điểm trên là: 3 37 C Số bộ ba điểm thẳng hàng trên a là: 3 17 C Số bộ ba điểm thẳng hàng trên b là: 3 20 C Vậy số tam giác tạo thành là: 3 37 C − 3 17 C − 3 20 C = 11 340 tam giác Cách 2: Mỗi tam giác được tạo thành bởi một điểm trên đường thẳng này và hai điểm trên đường thẳng kia. Xét 2 trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 điểm trên a và 2 điểm trên b: có 2 20 17.C + TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 điểm trên a và 1 điểm trên b: có 2 17 20.C ⇒ Số tam giác là: 2 20 17.C + 2 17 20.C = 11 340 Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành). Giải a) Mỗi tam giác được tạo thành bởi ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau ⇒ Số tam giác là 4.5.6 = 120 b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 5 6 4 5 6 4 5 6 C .C .C C .C .C C .C .C 720+ + = hình thang 2. Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số tổ hợp Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: k k 2 k 1 C C 2C 14 14 14 + + + = Giải ĐK k N k 12 ∈   ≤  Phương trình tương đương với 14! 14! 2.14! k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)! + = − + − + − ⇔ 1 1 2 (14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k) + = − − + + + − ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k 2 − 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn) 4 Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8 Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99) Giải bất phương trình: n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + Giải ĐK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương n 3 C 1 n 1 4 14P A 3 n 1 − − > + ⇔ . n 3 4 14.P C A 3 n 1 n 1 > − − + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 ! 14.3! n 1 .n. n 1 . n 2 n 3 !2! − > + − − − ⇔ 2 n n 42 0+ − < ⇔ ( ) ( ) n 6 . n 7 0 − + < ⇔ −7 < n < 6 Kết hợp với Đk n≥ 3 được tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}. Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001) Giải hệ phương trình: y y 2.A 5.C 90 x x y y 5.A 2.C 80 x x    −   + = = Giải ĐK: x, y ∈ N * , y ≤ x Đạt y y x x u A , v C= = ⇒ u, v ∈N * ta có hệ u 2.u 5.v 90 5. 2.v 80   −  + = = ⇔ u 20 v 10    = = Thay vào ta có y A 20 x y C 10 x      = = ⇔ x! (x y)! x! y!(x y)! 20 10   −     −  = = ⇔ y! 2 x! (x y)! 20 =     −  = ⇔ y 2 x! (x 2)! 20 =     −  = ⇔ x(x 1) 20 y 2 − =   =  ⇔ x 5, x 4 y 2 = = −   =  Kết hợp điều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm x 5 y 2 =   =  3) Xác định một số hạng của khai triển Newuton. Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 12 1 x x    ÷   + Giải Số hạng tổng quát k k 12 k k 12 2k k 1 12 12 1 T C .x C .x x − − +   = =  ÷   . Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. 5 Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: 12.11.10.9.8.7 6 0 C .x 924 12 1.2.3.4.5.6 = = Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003). Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 5 x 3 x    ÷  ÷   + , biết rằng ( ) n 1 n C C 7 n 3 n 4 n 3 + − = + + + Giải Ta có ( ) (n 4)! (n 3)! n 1 n C C 7 n 3 7(n 3) n 4 n 3 (n 1)!.3! (n)!.3! + + + − = + ⇔ − = + + + + ⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3) + + + − + + + = + ⇔ (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42 + + − + + = ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 Số hạng tổng quát 12 k 5k k 36 3k 1 k 5 k 2 T C . x C .x 12 12 k 1 3 x      ÷  ÷  ÷     − − + = = + . Số hạng chứa x 8 tương ứng với 5k 36 3k 8 2 − + = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8. Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x 8 phải tìm là: 8 C 495 12 = Ví dụ 3: Khai triển đa thức: P(x) = ( ) 12 1 2x+ thành dạng : ( ) 12 0 1 2 12 P x a a x a x a x= + + + + Tìm max ( ) 1 2 12 a ,a , ,a Giải Số hạng tổng quát ( ) k k 2x . k k k T C . C .2 x 12 12 k 1 = = + . Xét hai hệ số liên tiếp k k a C .2 12 k = và k 1 k 1 a C .2 12 k 1 + + = + . Giả sử a k < a k + 1 ⇔ k k 1 k k 1 C .2 C .2 12 12 + < + ⇔ 12! 12! k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)! .2< − + − ⇔ 23 k 8 3 < < Vậy a 0 < a 1 < … < a 8 . Tương tự như trên ⇒ a 8 > a 9 > … > a 12 . Vậy hệ số lớn nhất là: 8 8 8 a C 2 126720 12 = = 4) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1 n n 1 kC nC − − = Giải Thật vậy ∀ n, k ∈ N * và n ≥ k ≥ 1 ta có: k n n! n(n 1)! kC k k!(n k)! (k 1)!(n k)! − = = − − − = (n 1)! n (k 1)!(n k)! − − − = 1 1 k n nC − − (đpcm) 6 Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân) Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) Tính tổng 6 7 8 9 10 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C= + + + + + Giải Do 6 5 7 4 11 11 11 11 C C ,C C , = = nên 5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C 2S C C C C C= + + + + + → = + + + + (1) Áp dụng khai triển Niu tơn ( ) n n k k n k 0 x 1 C .x = + = ∑ với x = 1, n = 11 được ( ) 11 11 k 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 11 k 0 1 1 C C C C C C = + = = + + + + + ∑ (2) Từ (1), (2) suy ra 11 10 2S 2 S 2 1024. = → = = Đáp số : 10 S 2 1024= = Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng : 1 2 3 4 n 1 n S C 2.C 3.C 4.C ( 1) .n.C n n n n n − = − + − + + − Giải Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1) Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 0 2 1 n 1 n n 1 n 1 n n n 1 C .C n n 1 2.C .C n n 1 ( 1) n.C ( 1) .C n n 1 − − − = = − = − − − − − − Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 0 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n(C C C C ,,, ( 1) C ) n(1 1) 0 1 2 3 4 n-1 n S = C - 2.C +3.C - 4.C + + (-1) .n.C n n n n n − − − − − − − − = − + − + + − = − = Cách 2: (Sử dụng đạo hàm) Xét khai triển n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C xC x C x C+ = + + + + ⇒ n 1 1 2 n 1 n n n n n.(1 x) C 2xC nx C − − + = + + + Chọn x = − 1 ⇒ n 1 1 2 n n n n n n.(1 1) C 2C ( 1) .nC − − = − + + − Vậy : S = 0 Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001) Tính tổng sau : 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + = + + + + + Giải Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1) 7 Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: k k 1 n n 1 kC nC − − = ⇔ k 1 k n 1 n (k 1)C (n 1)C + + + = + ⇔ k k 1 n n 1 1 1 C C k 1 n 1 + + = + + Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có 0 1 n n 1 1 2 n n 1 2 3 n n 1 n n 1 n n 1 1 1 C C 1 n 1 1 1 C C 2 n 1 1 1 C C 3 n 1 1 1 C C n 1 n 1 + + + + + = + = + = + = + + 0 1 2 3 n n n n n n 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 1 (C C C C ) n 1 1 (2 1) n 1 1 S .C .C C C C 1 2 3 4 + + + + + + + = + + + + + = − + ⇒ = + + + + + Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Cách 2:(Sử dụng tích phân) Xét khai triển n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n (1 x) C xC x C x C x C+ = + + + + + 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 (1 x) dx (C xC x C x C x C )dx ⇒ + = + + + + + ∫ ∫ Ta có: 1 0 1 n 1 n 1 n 0 (1 x) 2 1 (1 x) dx n 1 n 1 + + + − + == = + + ∫ n 1 2 1 n 1 + − ⇒ = + 0 0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1 n n n n n 1 1 1 x n 1 1 .C .x C x C x C x C 1 2 3 4 +     +   + + + + + 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 n 1 1 .C .C C C C 1 2 3 4 = + + + + + + Vậy Vậy n 1 1 (2 1) n 1 S + − + = Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − = + + + + + + Giải Xét khai triển 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 (2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C + = + + + + + + 1 1 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 (2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx ⇒ + = + + + + + + ∫ ∫ 8 7 2 3 4 5 6 7 6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 (2 x) 0 7 1 x x x x x x (2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C ) 0 2 3 4 5 6 7 ⇔ + = + + + + + + ⇔ 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − = + + + + + + Vậy 7 7 3 2 7 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 .C .C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 − = + + + + + + (đpcm) 9 BÀI TÂP T Ự LUYỆN : 1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu: a) họ ngồi chỗ nào cũng được? b) họ ngồi kề nhau? c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống? 2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách a) vào 5 ghế xếp thành một dãy. b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. 3) Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau? 4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8? 5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ nào cũng được. b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau. c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau. 6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12? Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 7) Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau? b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau? c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một? 8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ nào cũng được ? b) nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ? c) nam nữ ngồi đối diện nhau ? d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ? 9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho: a) Số đó chẵn b) Số đó chia hết cho 5 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3 10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau. 11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần. b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần. 12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Sao cho: a) Luôn có mặt chữ số 5. b) Số đó chia hết cho 3. c) Không bắt đầu từ chữ số 3. 13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho: a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau. b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau. 10 [...]... viờn trc mun chn 4 hc sinh trc th vin Cú bao nhiờu cỏch chn nu: a) Chn hc sinh no cng c? b) Cú ỳng mt n sinh c chn? c) Cú ớt nht mt n sinh c chn? 25) Mt h n ng thng song song ct mt h m ng thng song song Hi cú bao nhiờu hỡnh bỡnh hnh c to thnh 26) Cho tp X = {a, b, c, d } Cú bao nhiờu tp con ca X a) Khụng cha phn t a? b) Cha phn t a? 27) Mt bỡnh ng 5 viờn bi xanh, 3 viờn bi , chỳng ch khỏc nhau v mu... xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau Bài 17 (ĐHL - 1999): Một đoàn tàu có 3 toa I, II, III Sân ga có 4 hành khách, có ít nhất 4 chỗ trống a) Có mấy cách xếp 4 khách lên 3 toa b) Có mấy cách xếp 4 khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên Bài 18: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn To n, 4 cuốn Lý và 3 cuốn Hoá Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh,... cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa b) Bạn A và E ngồi ở 2 đầu ghế Bài 9 (ĐHY): Có 5 nhà to n học nam, 3 nhà to n học nữ và 4 nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác có 3 ngời cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà to n học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách lập Bài 10 (HVNH - D 2000): Trong một mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét tam giác có 3 đỉnh... b) Nếu thày chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn thuộc hai thể loại To n và Lý Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng c) Nếu thày giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại To n, Lý, Hoá đều còn lại ít nhất 1 cuốn Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng nh vậy d) Giả sử A, B, C, là 3 học sinh yêu To n, D, E là hai học sinh yêu Lý và F là học sinh yêu Hoá Hỏi có bao nhiêu cách... bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác sao cho không có cạnh nào là cạnh của H Bài 11: Cho hai đờng thẳng d1 và d2 song song, trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh là 3 trong 37 đỉnh đã cho trên d1 và d2 Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 học sinh trong... sin x cos x = 0 (2) Giải (1): Ta đợc x = - + k , k  4 x = 2 + k 2 , k  Giải (2): Ta đợc x = + k 2 Vậy phơng trình có ba nghiệm Bình luận: Đôi khi việc nhóm các to n tử trong đầu bài lại làm tăng độ phức tạp của bài to n Khi đó để tiện cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi học sinh nên chú ý chuyển phơng trình về dạng đơn Ví dụ 4: Giải phơng trình: 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) Giải... Tỡm h s ca s hng cha x8 trong khai trin nh thc Newton ca: n 1 n +1 n 5 3 + x ữ , bit rng: Cn + 4 Cn +3 = 7( n + 3) ( n l s nguyờn dng, x > 0 ) x 57) (H-D-2003) Vi n l s nguyờn dng, gi a3n 3 l h s ca x3n 3 trong khai trin thnh a thc ca ( x 2 + 1) n ( x + 2) n Tỡm n a3n 3 = 26n 58) (H-A-2006) Tỡm h s ca s hng cha x 26 trong khai trin nh thc Newton ca: n 1 1 2 3 n 20 7 4 + x ữ , bit rng: C2 n... khai trin: x lg x +1 + 12 x ữ cú s hng th 4 bng 200 17 1 49) Trong khai trin + 4 x 3 ữ Tỡm s hng khụng cha x ca khai trin 3 2 x 50) (H-D-2004) Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin nh thc Newton ca 7 1 3 x + 4 ữ vi x > 0 x 51) Khi khai trin v rỳt gn cỏc n thc ng dng t biu thc: 5 6 7 11 ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + + ( 1 + x ) Ta c mt a thc: P( x ) = A0 + A1 x + A2 x 2 + + A11.x11... Vậy phơng trình có một nghiệm Nhận xét: Trong lời giải trên khi chuyển phơng trình về dạng đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2x = 1 - 2sin2x bởi khi đó sẽ hkử đợc số hạng tự do và cùng với nhận xét các to n tử còn lại đều chứa sinx Dạng 4: Phơng pháp luận hệ số Ví dụ 1: Giải phơng trình: cosx + cos3x + 2cos5x = 0 Giải Biến đổi phơng trình về dạng (cos5x + cosx) + (cos3x + cos5x) = 0 2cos3x.cos2x + 2cos4x.cosx... 0 22 cos 2 x = 1 2 2 2 cos 2 x = 3 2 x = arccos( 3 ) + k 2 cos 2 x = 3 x = k sin x = 0 sin x = 0 1 2 x = arccos( ) + k ,k  2 3 x = k Vậy phơng trình có ba nghiệm Bình luận: Bài to n trên học sinh cũng có thể giải theo phơng pháp tách dần: sin3x = 3sinx - 4sin3x sin5x = sin(4x + x) = sinx.cos4x + cosx.sin4x = sinx.cos4x + 2cosx.sin2x.cos2x = sinx.cos4x + 4cos2x.sinx.cos2x Ví dụ . Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi. sinh được chọn? c) Có ít nhất một nữ sinh được chọn? 25) Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành. 26) Cho tập X = {a, b,. 2 =   =  3) Xác định một số hạng của khai triển Newuton. Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của 12 1 x x    ÷   + Giải Số hạng tổng