luận án tiến sĩ một số phương pháp lặp cho bài toán chấp nhận tách và các bài toán liên quan

131.2 Một số phương pháp xấp xß nghiệm bài toán iểm bất ộng, bàitoán chấp nhận tách, trùng tách.. Lý thuyết iểm bất ộng của ánh xạ không giãn và các mở rộng củanó óng một vai trò quan tr

Một số toán tử trong không gian Hilbert và không gian Banach 10

Một số toán tử trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn lần lượt ược kí hiệu là ù., ð và ∥.∥. ịnh nghĩa 1.1.1 ([42]) Dãy x k ¢ H ược gọi là hội tụ mạnh tới phần tử x∈H, ký hiệu x k →x, nếu ∥x k −x∥ →0 khi k → ∞.

Dãy x k ¢ H ược gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈H, ký hiệu x k á x, nếu ùx k , yð → ùx, yð khi n → ∞ với mọi y ∈ H.

Nhận xét 1.1.1 (a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng iều ngược lại không úng.

(b) Nếu dãy x k ¢ H thỏa mãn các iều kiện ∥x k ∥ → ∥x∥ và x k á x thì x k → x khi k→ ∞. ịnh nghĩa 1.1.2.([42]) Với mỗia∈ R, z ∈ Hvàz ̸= 0, cỏc tập{x ∈H :ùz, xð f a} và {x ∈H :ùz, xð g a} ược gọi là cỏc nửa khụng gian của H. ịnh nghĩa 1.1.3 ([42]) Cho C là tập con lồi, óng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H, I là ánh xạ ơn vị trên H Ánh xạ T :C →H ược gọi là: (a) L- liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L >0 thỏa mãn

Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co, nếu L = 1 thì T là ánh xạ không giãn.

(b) á-ơn iệu mạnh nếu tồn tại hằng số á > 0 sao cho ùT x−T y, x−yð g á∥x−y∥ 2 , á >0 với mọi x, y∈ C.

(c) à-giả co chặt nếu tồn tại hằng số à ∈[0,1) sao cho ùT x−T y, x−yð f ∥x−y∥ 2 −à∥(I−T)x−(I−T)y∥ 2 , với mọi x, y∈ C. (d) à-ngược ơn iệu mạnh nếu tồn tại hằng số à > 0 sao cho ùT x−T y, x−yð g³∥T x−T y∥ 2 , ³ > 0 với mọi x, y∈ C.

(e) ³-trung bình nếu T = (1−³)I+³T ′ với hằng số ³∈ (0,1)và T ′ là ánh xạ không giãn. ịnh nghĩa 1.1.4 ([42]) Xét ánh xạ T :H → H trên không gian Hilbert thực

H Một iểm x∈H ược gọi là iểm bất ộng của ánh xạ T nếu T x=x.

Ký hiệu tập iểm bất ộng củaT là Fix(T), tức là, Fix(T) ={x∈H | T x=x}. Nhận xét 1.1.2 Trong không gian Hilbert thực H,

(a) Nếu tồn tại ánh xạ trung bình S, ánh xạ không giãn V và ³ ∈ (0,1) thỏa mãn T = (1−³)S+³V thì T là ánh xạ trung bình.

(b) T là không giãn chặt nếu T = 1 2 (I +V) trong ó V là ánh xạ không giãn, tức là mọi ánh xạ không giãn chặt là 1/2-trung bình.

(c) T là khụng gión chặt khi và chò khi I −T là khụng gión chặt.

(d) Hợp hữu hạn của các ánh xạ trung bình là trung bình Trong trường hợp riêng, nếu T i là ³ i -trung bình với ³ i ∈ (0,1) , i = 1,2 thì hợp T 1 T 2 là ³-trung bình với ³ =³ 1 +³ 2 −³ 1 ³ 2

(e) Nếu các ánh xạ {T i } N i=1 là ³ i -trung bình, trong ó ³ i là các số thực thuộc

(0,1) và ẳ i là cỏc số thực thuộc (0,1] sao cho P N i=1 ẳ i = 1 thỡ P N i=1 ẳ i T i là ỏnh xạ ³-trung bình với ³ = max{³i : 1 fi f N}.

(f) Nếu các ánh xạ {Ti} N i=1 là trung bình và có iểm bất ộng chung, thì

Fix(T i ) =Fix(T 1 T 2 ã ã ãT N ). ịnh nghĩa 1.1.5 ([42]) Cho T :H → 2 H là toán tử a trị có miền xác ịnh và miền giá trị lần lượt làD(T) :={x ∈H |T x̸=∅}vàR(T) ={y ∈ T x| x∈D(T)}. (a) ồ thị của T ký hiệu graT và xác ịnh bởi graT ={(x, u)∈H ×H | u∈T x}. (b) Toán tử nghịch ảo T −1 :H → 2 H xác ịnh bởi

T −1 u ={x∈ H | u ∈T x}, tức là (u, x)∈graT −1 ô (x, u)∈ graT. ịnh nghĩa 1.1.6 Toán tử T ược gọi là

(a) ơn iệu nếu ùu−v, x−yð g 0,∀(x, u),(y, v)∈graT;

(b) ơn iệu cực ại nếu T là ơn iệu và ồ thị của T không thực sự nằm trong ồ thị của một toán tử ơn iệu nào khác.

Nhận xột 1.1.3 Với ẳ >0, nếu T ơn iệu thỡ T −1 và ẳT cũng ơn iệu, nếu

T ơn iệu cực ại thỡ T −1 và ẳT cũng ơn iệu cực ại.

Bổ ề 1.1.1 ([43]) ChoC là một tập con lồi, óng của một không gian Hilbert thựcH và choT :C → C là ánh xạ không giãn với Fix(T)̸=∅ Nếu{x k }là một dãy trong C hội tụ yếu tới x và (I −T)x k hội tụ mạnh tới y, thì (I −T)x= y. Trường hợp ặc biệt, nếu y = 0, thì x ∈Fix(T).

Bổ ề 1.1.2 ([44]) Cho H là không gian Hilbert thực và cho F : H → H là toỏn tử á-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt với á +à > 1 Khi ú, với mọi t∈(0,1), I −tF là ánh xạ co với hệ số co1−tÄ ở ây Ä = 1−p

Bổ ề 1.1.3 ([45]) Cho {ak} là dãy các số thực với dãy con {kl} của dãy {k} sao choa k l < a k l +1 với mọi l ∈N + Khi ó, tồn tại dãy không giảm {mk} ¦N + sao cho m k → ∞, am k f a m k +1 và a k f a m k +1 với mọi số thực k ∈ N + ủ lớn. ặc biệt, m k = max{lf k :a l fa l+1 }. ịnh nghĩa 1.1.7 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, óng của H Với mỗi x∈H ều tồn tại một phần tử P C x∈ C thỏa mãn

Phần tử P C x xác ịnh như trên ược gọi là hình chiếu của x lên tập C và ánh xạ P C : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành P C x ược gọi là phép chiếu metric chiếu H lên C.

Mệnh ề 1.1.1 ([43]) Cho C là tập con lồi, óng, khác rỗng của H Khi ó, ỏnh xạ P C : H → C là phộp chiếu metric từ H lờn C khi và chò khi, với mỗi x∈H, ùx−P C x, y−P C xð f0,∀y ∈C, và với mỗiu∈ H, z∈ C ta có∥u−P C u∥ 2 +∥P C u−z∥ 2 f ∥u−z∥ 2 , u ∈H, z ∈ C.

Một số toán tử trong không gian Banach

ịnh nghĩa 1.1.8 ([46]) Cho E là không gian tuyến tính ịnh chuẩn thực. Cho S 1 (0) := {x∈E | ∥x∥= 1}

(a) Không gian E ược gọi là có một chuẩn khả vi Gâteaux nếu: lim t→0 ∥x+ty∥ − ∥x∥ t tồn tại với mỗi x, y∈ S 1 (0).

(b) E ược gọi là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux ều nếu giới hạn trên ạt ược ồng ều với x∈S 1 (0).

(c) Giả sử dim(E)g2 Mô un trơn của E là hàm số Ä E : [0, ³)→ Rxác ịnh bởi: Ä E (Ä) = sup{ 1

(d) E ược gọi là q-trơn ều nếu tồn tại một hằng số c > 0 thỏa mãn Ä E (Ä)f cÄ q

Không gian L p (hoặc l p ) với 1 < p < ³ và không gian Sobolev W p m với

1< p < ³ là các không gian q-trơn ều.

(e) Không gian E ược gọi là lồi chặt, nếu với mỗi x, y ∈ S 1 (O) và x ̸= y, ta có:

∥(1−ẳ)x+ày∥ 1 Khi ú,

(i) Với mọi t ∈ (0,1), I −tF là ỏnh xạ co với hệ số co 1 −ẳÄ, ở õy Ä = 1−p

(1−á)/à; (ii) Khi t= 1, I −F cũng là co với hệ số Ä 1 =p

Bổ ề 1.1.5 ([47]) Cho E là không gian Banach trơn Khi ó,

Bổ ề 1.1.6 ([48]) Cho {ak} là dãy số thực không âm thỏa mãn a k+1 f(1−b k )a k +b k c k +d k , ở ây {b k },{c k } và {d k } là dãy các số thực sao cho

Bổ ề 1.1.7 ([49]) Cho {x k } và {w k } bị chặn trong không gian Banach E sao cho x k+1 =h k x k + (1−h k )w k với k g 1, ở ây {h k } thỏa mãn iều kiện

Giả sử rằng lim sup k→∞

Bổ ề 1.1.8 ([76]) Cho F là một ỏnh xạ á- j ơn iệu mạnh và à-giả co chặt trên không gian Banach phản xạ lồi chặt hoặc trơn ều E, có chuẩn khả vi Gõteaux, sao cho á + à > 1 và cho T là ỏnh xạ khụng gión trờn E với

C := Fix(T) ̸= ∅ Khi ó, với dãy bị chặn {x k } trong E, lim k→∞∥x k −T x k ∥ = 0, thì lim sup k→∞ ùF p ∗ , j(p ∗ −x k )ð f 0, (1.1) ở ây p ∗ ∈ C là nghiệm duy nhất của Bài toán bất ẳng thức biến phân ùF p ∗ , j(p ∗ −p)ð f0 ∀p∈ C =Fix(T) (1.2)

Bổ ề 1.1.9 ([27]) Nếu dãy các số thực {ak}, {bk} và {tk} là giới nội thoả mãn: a k+1 f a k −t k È(a k+1 ) +b k với k g1, ở ây, È : [0,∞)→ [0,∞) là hàm không giảm liên tục trên (0,∞) với È(0) = 0,

Bổ ề 1.1.10 ([46]) Cho {a k },{b k } và {c k }là các dãy số thực dương thỏa mãn các iều kiện:

Bổ ề 1.1.11 ([46]) Cho 1< q f2 và E là một không gian Banach thực, trơn thì những kết luận sau là tương ương:

(ii) Tồn tại một hằng số c q >0 sao cho với ∀x, y∈ E thì

Một số phương phỏp xấp xò nghiệm bài toỏn iểm bất ộng, bài toán chấp nhận tách, trùng tách

Bài toán iểm bất ộng

Bài toán tìm iểm bất ộng của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H ược phát biểu như sau:

Tìm x∈C sao cho T x=x, (1.3) ở ây C ¦H, T :C → C là ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert H.

Ta ký hiệu tập nghiệm của Bài toán (1.3) là Fix(T).

Việc tìm iểm bất ộng của ánh xạ không giãn là một chủ ề quan trọng trong lý thuyết giải tích phi tuyến và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn trong khôi phục hình ảnh và xử lý tín hiệu [1, 50] Phần lớn các phương pháp tìm iểm bất ộng của ánh xạ không giãn dựa trên phương pháp lặp Krasnosel’skii-Mann và phương pháp lặp Halpern.

Phương pháp lặp Krasnosel’skii-Mann

Phương pháp lặp Mann ược ề xuất ầu tiên vào năm 1953, ở ó, dãy lặp {x k } ược xác ịnh bởi x k+1 =³ k x k + (1−³ k )T x k , k g1, (1.4) với x 1 ∈C bất kỳ và {³ k } là dãy trong (0,1) Mann [5] ã chứng minh rằng nếu

{³ k } thỏa mãn P ∞ k=1 ³ k (1−³ k ) = ∞ thì dãy {x k } hội tụ yếu về iểm bất ộng của T.

Trong trường hợp ³ k = ẳ,∀k ∈ N thỡ phương phỏp lặp Mann trở thành phương pháp lặp Krasnosel’skii [4] Tổng quát hơn, sự hội tụ yếu của phương phỏp lặp Mann ược Reich [51] chò ra trong khụng gian Banach lồi ều Ngoài ra, một phản vớ dụ ược ưa ra bởi Genel và Lindenstrass [52] ó chò ra rằng trong không gian vô hạn chiều, phương pháp lặp Mann không thể hội tụ mạnh.

Năm 1974, Ishikawa [6] ã ề xuất phương pháp lặp:

, k g 1 (1.5) ở âyx 1 ∈C,{³k},{´k}là các dãy trong[0,1] Trong trường hợp´ k = 1,∀k ∈ N thì phương pháp lặp Ishikawa trở thành phương pháp lặp Mann Tác giả ã chứng minh ược rằng nếu các dãy {³k},{´k} thỏa mãn iều kiện lim k→∞ (1−´ k ) = 0,

P∞ k=1 ³ k ´ k = ∞ và T là ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy {x k } hội tụ yếu tới một iểm bất ộng của T.

Một phương pháp lặp thông dụng ể nghiên cứu ánh xạ không giãn là xấp xò nú bởi một họ ỏnh xạ co Tức là, lấy t ∈ (0,1) và xõy dựng ỏnh xạ co

T t x=tu+ (1−t)T x, x∈C, trong ó, u ∈ C cố ịnh Theo nguyên lý ánh xạ co thì ánh xạ T t có iểm bất ộng duy nhất x t trong C Trong trường hợp T có iểm bất ộng, Browder [50] ã chứng minh ược kết quả sau. ịnh lý 1.2.1 ([50]) Cho C là tập con óng lồi và giới nội của H, T : C → C là ánh xạ không giãn Cố ịnh u∈ C và xây dựng {x t } ¢C bởi công thức x t =tu+ (1−t)T x t , t∈ (0,1) (1.6)

Khi ó, với t → 0 thì {x t } hội tụ mạnh về phần tử của Fix(T) gần u nhất, tức là P Fix(T ) u.

Dựa trên kết quả này, Halpern [7] ề xuất phép lặp x k+1 =³ k u+ (1−³ k )T x k , k g1, (1.7) ở ây u, x 1 ∈C, ³ k ∈[0,1] Ông ã chứng minh ược kết quả sau ây: ịnh lý 1.2.2 ([7]) Cho C là tập óng lồi và giới nội của không gian Hilbert

H và T là ánh xạ không giãn xác ịnh trên C Chọn dãy {³ k } ¦ [0,1] và ³ k = 1 k a ,0 < a < 1 Khi ó, dãy {x k } xác ịnh bởi (1.7) hội tụ mạnh về

Hơn nữa, Halpern cũng chò ra rằng iều kiện

(C1) lim k→∞³ k = 0, P ∞ k=1 ³ k =∞ là iều kiện cần cho sự hội tụ của {x k }, tức là nếu dãy {x k } xác ịnh bởi(1.7) hội tụ mạnh với mọi tập conC và mọi ánh xạ không giãn T xác ịnh trên C thì dãy {³ k } phải thỏa mãn iều kiện (C1).

Năm 1977, Lions [53] ã mở rộng kết quả của Halpern bằng việc chứng minh sự hội tụ của dãy {x k } về P Fix(T ) u nếu {³k} thỏa mãn iều kiện (C1) và

Ta thấy rằng, các iều kiện của Lions ối với dãy {³ k } ã loại trừ trường hợp³ k = 1/(k+ 1) ể khắc phục iều này, năm 1992, Wittmann [54] ã chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp lặp Halpern trong ó thay iều kiện(C2) bởi iều kiện

Dễ thấy, nếu {³ k } là dãy giảm thì (C2 ′ ) chính là hệ quả của (C1) Do ó trong trường hợp này (C1) chính là iều kiện cần và ủ ể phương pháp lặp Halpern hội tụ.

Sự hội tụ mạnh của phương pháp lặp Halpern tới một iểm bất ộng của

T cũng ược chứng minh trong không gian Banach Năm 2002, Xu [48] mở rộng kết quả của Lions sang không gian Banach trơn ều Tác giả ã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp xác ịnh bởi (1.7) tới iểm bất ộng của T nếu dãy {³k} thỏa mãn iều kiện (C1) và

|³k −³ k−1 | ³ k+1 = 0 ể ý rằng, trong kết quả trên Xu ã thay iều kiện (C2) bởi iều kiện nhẹ hơn (C2 ′′ ) và rõ ràng trong trường hợp này dãy ³ k = 1 k+ 1 là thỏa mãn. Một câu hỏi mở ược ặt ra là nếu dãy số thực {³ k } thỏa mãn iều kiện (C1) có ủ ể ảm bảo sự hội tụ mạnh của phương pháp lặp Halpern cho ánh xạ không giãn không? Gần ây, một số nhà nghiên cứu ã xem xét câu hỏi này. Các tác giả ã ưa ra một số cải biên của phương pháp lặp (1.7) mà kết quả hội tụ mạnh nhận ược với iều kiện dóy {³k} chò cần thỏa món iều kiện (C1).

Một cải biờn của phương phỏp Halpern là phương phỏp xấp xò mềm ược ưa ra bởi Moudafi [8], bằng cách sử dụng một ánh xạ co f trên C thay cho u trong (1.7).

Phương phỏp xấp xò mềm

ChoT là ánh xạ không giãn xác ịnh trên tập óng lồiC, số thựct ∈(0,1] và ánh xạ f :C → C là ánh xạ co Ánh xạ T t :C → C ược xác ịnh bởi công thức

Dễ thấy T t cũng là ánh xạ co, do ó T t có iểm bất ộng duy nhất x t , tức là x t là nghiệm duy nhất của phương trình x t =tf(x t ) + (1−t)T x t , t ∈(0,1] (1.8) Rời rạc hóa (1.8), ta nhận ược công thức sau x k+1 =³ k f(x k ) + (1−³ k )T x k , k g1, (1.9) trong ó {³ k } ¢ [0,1] Trong trường hợp f(x) = u ∈ C,∀x ∈ C thì công thức (1.8) trở thành công thức (1.6), còn công thức (1.9) chính là công thức lặp Halpern (1.7) Phương pháp xây dựng dãy {x k } theo (1.9) ược gọi là phương phỏp xấp xò mềm Phương phỏp này ược Moudafi [8] ề xuất vào năm 2000 ể tìm iểm bất ộng của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Sự hội tụ của phương pháp ược cho bởi ịnh lý sau. ịnh lý 1.2.3 ([8])Cho C là tập con óng lồi, khác rỗng của không gian Hilbert

H, T :C → C là ánh xạ không giãn thỏa mãn Fix(T) ̸=∅ và f :C →C là ánh xạ co Giả sử rằng dãy {x k } xác ịnh bởi: x 1 ∈ C, x k+1 = 1

Khi ó, dãy {x k } hội tụ mạnh về z ∈Fix(T), với z =P Fix(T ) f(z). ể ý rằng z =P Fix(T ) f(z)tương ương với z là nghiệm của bất ẳng thức biến phân ù(I −f)z, z−xð f 0, ∀x∈ Fix(T) (1.11)

Năm 2004, Xu [55] ã mở rộng kết quả của Moudafi, tác giả ã chứng minh ược rằng nếu {³k} thỏa mãn iều kiện (C1) và

|³k+1−³ k | 0 với 1f if N sao cho P N i=1 ´ i = 1. Khi ó, dãy x k hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.17). ịnh lý 1.2.7 ([22]) Cho H 1 , H 2 và A như trong ịnh lý 1.2.5, {Ci}i∈ N + và {Qj} M j=1 tương ứng là hai họ cỏc tập con lồi, úng trongH 1 và H 2 Giả sử Γ̸= ỉ, dãy lặp x k ược xác ịnh bởi: x 1 ∈H 1 , x k+1 =U k (I −à k (A ∗ (I −V)A+³ k I))x k , ∀k g1, (1.22) ở ó U k = ˜ 1 ´ k

PM i=1 á j P Q j với cỏc tham số ´ i , á j , ³ k và à k thỏa món các iều kiện (C10),(C12),(C13) và

(C11 ′ ) á j > 0 với 1f j f M sao cho P M j=1 á j = 1. Khi ó, dãy x k hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.17). ịnh lý 1.2.8 ([22]) Cho H 1 , H 2 và A như trong ịnh lý 1.2.5, {C i } M i=1 và {Q j } N j=1 tương ứng là hai họ cỏc tập con lồi, úng trongH 1 và H 2 Giả sử Γ̸= ỉ, dãy lặp x k ược xác ịnh bởi: x 1 ∈H 1 , x k+1 =U(I −à k (A ∗ (I −V)A+³ k I))x k , ∀k g1, (1.23) ở ó, U =

PM i=1 á j P Q j với cỏc tham số ´ i , á j , ³ k và à k thỏa món cỏc iều kiện (C10 ′ ),(C11 ′ ),(C12),(C13) Khi ó, dãy x k hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.17).

Bài toán trùng tách a tập (MSSEP)

Xét bài toán MSSEP trong các không gian Hilbert thực ã ược ề cập ở phần mở ầu Tìm iểm z = [x, y], thỏa mãn x∈ C :=∩ i∈J 1C i và y ∈Q :=∩ i∈J 2Q i sao cho Ax=By (1.24) Bài toỏn trựng tỏch xấp xò (ASEP) là bài toỏn tỡm cực tiểu của hàm f(x, y) = 1

2∥Ax−By∥ 2 2 (1.25) trong ó x∈ C và y ∈Q. Ở phần Mở ầu của luận án ã giới thiệu một số nghiên cứu của một số tác giả, trong ó có nghiên cứu của Chen và các cộng sự [36] giải bài toán (1.24).Trong [36], Chen và các cộng sự ã dẫn luận bài toán MSSEP có liên quan chặt chẽ ến bài toỏn ASEP Ở mục này, luận ỏn trỡnh bày phương phỏp hiệu chònh cho bài toán ASEP [36]. ể giải bài toán MSSEP, nhiều nhà nghiên cứu cũng ã ề xuất các phương pháp khác nhau, tuy nhiên các phương pháp ó ều còn những nhược iểm làm cho quá trình thực hiện phương pháp gặp nhiều khó khăn Song hành với những phương pháp ó, Byrne và Moudafi giới thiệu phương pháp lặp ồng thời (SSEA) với dãy lặp ược xác ịnh như sau: x k+1 =P C (x k −à k A T (Ax k −By k )), y k+1 =P Q (y k +à k B T (Ax k −By k )).

(1.26) ở õy ϵ f à k f (2/P(G T G))−ϵ Tuy nhiờn thuật toỏn này chò hội tụ yếu ến nghiệm của bài toán MSSEP trong không gian Hilbert vô hạn chiều. ể cú ược sự hội tụ mạnh, Chen ề xuất phương phỏp hiệu chònh cho bài toán ASEP Phương pháp này ược diễn giải như sau: Cho S =C ×Q Ta ịnh nghĩa

Bài toán ASEP có thể ược biến ổi dưới dạng Tìm É ∈ S với É là cực tiểu của hàm ∥GÉ∥ Vì vậy, việc giải bài toán ASEP (1.25) tương ương với giải bài toán: minf(É) = 1

2∥GÉ∥ 2 ; É ∈S (1.28) ể cực tiểu hóa (1.28) nhìn chung là khó Tác giả ã xem xét ến phương pháp hiệu chònh Tikhonov: minf ϵ (É) = 1

2ϵ∥É∥ 2 , (1.29) ở õy, ẫ ∈ S và ϵ > 0 là tham số hiệu chònh Bài toỏn (1.29) cú nghiệm duy nhất ược ký hiệu là É ϵ Giả sử rằng cực tiểu của bài toán (1.28) là ổn ịnh và É min là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là É min ∈Γ (Γ là tập nghiệm của bài toán (1.28)) có tính chất

Bổ ề 1.2.8 [36] Nếu cực tiểu của bài toán (1.28) là ổn ịnh, thì lim n→0z n tồn tại và là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.28). ịnh lý 1.2.9 [36] Giả sử rằng cực tiểu của bài toán (1.28) là ổn ịnh Xác ịnh dãy z n bởi thuật toán lặp: z n+1 =P s (I −à n )z n =P S ((1−ϵ n à n ▽f ϵ n )z n −à n G T Gz n ) (1.31) ở õy ϵ n và à n thỏa món cỏc iều kiện sau:

Khi ó z n hội tụ ến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.28).

Nhận xột 1.2.1 (a) Chỳ ý rằng ϵ n = n −ả với à n =n −Ã với 0 < ả < Ã < 1 và Ã+ 2ả 0ủ nhỏ Việc giải bài toán này dẫn ến bài toỏn hiệu chònh sau: x∈ min E n

(1.42) ở õyA ∈E mìn , b∈E m , một khụng gian Euclidian m- chiều với chuẩn ∥ ã ∥2, và t là hằng số dương Bài toán (1.42) trình bày khả năng tìm một số nghiệm của bài toán SFP với l 1 ràng buộc và liên quan chặt chẽ với bài toán giảm nhiễu cơ bản [60], ã ược ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết xử lý tín hiệu số Dễ thấy rằng các tập C = {x ∈ E n : ∥x∥1 f t} và Q ={b} là lồi óng trong E n và E m , tương ứng Khi ó, bài toán (1.42) có thể xem như một bài toán SFP. ể giải bài toỏn (1.42) ta cú thể sử dụng phương phỏp lặp hiệu chònh Tikhonov, x∈ min E n { 1

Bài toán xạ trị

Tiếp theo, ta chò ra vớ dụ thứ hai trong iều biến cường ộ xạ trị ó ược ưa ra trong [61] Ta chia toàn bộ khối lượng cơ thể của bệnh nhân thành m phần, ỏnh số bởi i = 1,2,ã ã ã , m Giả sử tất cả cỏc phần giải phẫu, bao gồm cả những phần thuộc mục xạ trị theo kế hoạch (PTVs) và các tổ chức rủi ro (OAR) ó ược xỏc ịnh Ta ký hiệu tập hợp cỏc chò số từng phần trong cấu trúc t là S t Mỗi thành phần ánh dấu bởi i có thể thuộc nhiều tập S t , tức là, các cấu trúc khác nhau có thể chồng chéo Ta sẽ giả sử thêm rằng cường ộ tia xạ trị ược phân bố ộc lập ối với mỗi chùm nhỏn phần, nf m, chúng có cấu trỳc hỡnh học nhất ịnh và ược ỏnh số bởi j = 1,2,ã ã ã , n Cỏc cường ộ x j của cỏc chựm nhỏ là thành phần trong vector n-chiều x = (x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n )∈ E n

- không gian cường ộ xạ trị Ở ây, các x j không âm với mỗi 1 f j f n, tức là, x thuộc tập hợp

Ta biết trong [2] rằng có các ràng buộc khác như ràng buộc X l phụ thuộc vào thiết bị sử dụng trong iều trị, Các ràng buộc là các tập lồi óng trong E n

Cho d ij g0 là liều lượng hấp thụ (lượng năng lượng do bức xạ hạt nhân (hoặc ion hóa) truyền cho một ơn vị khối lượng của vật liệu hấp thụ) của phần thứ i do sự bức xạ của một ơn vị cường ộ xạ trị từ chùm thứ j, có thể ược tính toán như sau Cho h i là toàn bộ liều lượng hấp thụ trong phần i, ta có thể tính toán h i bởi h i =

Gọi h = (h 1 , h 2 ,ã ã ã , h m ) là toàn bộ liều lượng cỏc phần xạ trị Ma trận liều lượng hấp thụ H = (d ij ) là m×n-ma trận Trong không gian liều lượng hấp thụ, ối với mỗi cấu trúcS t , ràng buộc iển hình thường gặp là liều lượng không nên vượt quá cận trên u t iều ó có nghĩa là x thuộc tập hợp

Tương tự, trong khối lượng mục tiêu, liều lượng nên giảm dưới một giới hạn thấp hơn l t , tức là, x thuộc tập hợp

H min,t ={h ∈E m : l i f h i với mọi i∈ S t } (1.47) Mặt khác, với mỗi khối lượng của S t , bao gồm các phần N t , ta xét hàm

, (1.48) với tham số ³ t là số mô riêng lẻ phụ thuộc từng bệnh lý, có giá trị âm với khối lượng mục tiêu và dương (³t g1) với các tổ chức rủi ro OAR Khi ³ t = 1, hàm trên là liều lượng trung bình của cấu trúc t Hàm E t (h) xác ịnh trên tập vector liều lượng xạ trị của cấu trúc S t với giá trị ơn trị Với mỗi khối lượng mục tiêu PTV của cấu trúc S t , ta có cận dưới E t min Cho

Ω t ={h ∈E m : E t min f E t (h) và ³ t 0, cú nghiệm duy nhất x ³ Khi ³ → 0, x ³ hội tụ ến một nghiệm của phương trình này.

Luận ỏn ề xuất một phương phỏp hiệu chònh kiểu Lavrentiev xấp xò nghiệm bài toán (MSSFP) trong các không gian Hilbert thực như sau:

(2.3) x + ∈ H 1 là iểm dự oỏn, ³ k , ´ i , à k và á j là cỏc tham số dương và ´ k = ´ 1 +ã ã ã+´ k , á k =á 1 +ã ã ã+á k

Giả sử cỏc tham số à k , ³ k , ´ i và á j thỏa món cỏc giả thiết dưới õy:

(c) ´ i > 0 với mọi i g 1 sao cho P ∞ i=1 ´ i = 1 và lim k→∞´ k /(à k ³ 2 k ) = 0.

(d) á j >0 với mọi j g 1 sao cho P ∞ j=1 á j = 1 và lim k→∞á k /(à k ³ 2 k ) = 0. Nhận xét 2.1.1 Ví dụ về các dãy tham số thỏa mãn các iều kiện (a)3(d) là à k = 1/(k+ 1) a , ³ k = 1/(k+ 1) b , ở õy, 0< b < a với a+ 2b < 1 và á i =´ i = 1/(i(i+ 1)).

Ta cú kết quả sau trong trường hợp cỏc tập chò số J 1 và J 2 là vụ hạn ếm ược. ịnh lý 2.1.1 Cho H 1 và H 2 là hai không gian Hilbert thực và A là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ H 1 vào H 2 , {C i } i∈ N + và {Q j } j∈ N + là hai họ vô hạn các tập con lồi, óng trong H 1 và H 2 tương ứng Giả sử các iều kiện (c) và (d) ở trên ã ược giảm nhẹ bằng cách bỏ i các iều kiện về giới hạn Khi ó,

(i) Với mỗi ³ k >0, bài toán (2.1) có một nghiệm duy nhất u k

(ii) Nếu Γ̸=∅, thì lim k→∞u k = p ∗ ∈ Γ thỏa mãn

+ ˜³ k (M 1 +∥x + ∥), (2.5) ở ây, M 1 là hằng số dương nào ó.

Chứng minh (i)Từ (2.3), dễ nhận thấyU k và V k là các ánh xạ không giãn trên

H 1 và H 2 tương ứng Suy ra T k := U k +A ∗ (I − V k )A cũng là ánh xạ không giãn Do ó, F k = I −T k là ánh xạ ơn iệu trên H 1 với mỗi k g 1 Khi ó,

F k +³ k (I−x + )là ánh xạ ³ k -ơn iệu mạnh trên H 1 Theo [27], (2.1) có nghiệm duy nhất u k với mỗi k g1.

(ii) Trước hết, ta chứng minh dãy {u k } bị chặn Thật vậy, lấy iểm p∈Γ Khi ó, dễ thấy:

(I −U k )p= 0 và A ∗ (I −V k )Ap= 0, và do ó, F k p= 0 Sử dụng phương trình này, tính ơn iệu của F k và ³ k > 0 với mỗi k trong (2.1), ta có bất ẳng thức ùu k −x + , u k −pð f0 với mọi k g 1.

Từ bất ẳng thức này suy ra dãy {u k } là bị chặn iều này cùng với

∥A ∗ P Q j Au k−1 ∥ f ∥A ∗ P Q j Au k−1 −A ∗ P Q j Ap∥+∥A ∗ Ap∥ f ∥A ∗ ∥∥Au k−1 −Ap∥+∥A∥ 2 ∥p∥ f ∥A∥ 2 (∥u k−1 ∥+ 2∥p∥) ∀j g1, suy ra tồn tại hằng số M 1 dương sao cho sup i,j,kg1 n∥u k ∥,∥P C i u k−1 ∥,∥A ∗ P Q j Au k−1 ∥o f M 1

Bây giờ, ta sẽ chứng minh dãy {u k } hội tụ tới p ∗ thỏa mãn (2.4) Trước hết ta chứng minh rằng k→∞ lim ∥(I −P C i )u k ∥= 0 và lim k→∞∥(I −P Q j )Au k ∥= 0 ∀i, j g 1 (2.7) ể chứng minh iều này ta cần chứng minh k→∞ lim ∥(I −U k )u k ∥= 0 và lim k→∞∥A ∗ (I −V k )Au k ∥= 0 (2.8)

Thật vậy, vì U k là ánh xạ không giãn nên I −U k là ánh xạ 2-liên tục Lipschitz với k g 1 Vì ánh xạ I −P C i là (1/2)-ngược ơn iệu mạnh, nên ù(I −U k )x−(I −U k )y, x−yð

Do ó, I −U k cũng là ánh xạ (1/2)-ngược ơn iệu mạnh.

Tương tự, vì A ∗ (I −P Q j )A là ánh xạ (1/(2∥A∥ 2 ))-ngược ơn iệu mạnh trên H 1 [62], nên ánh xạ A ∗ (I −V k )A cũng là ánh xạ (1/(2∥A∥ 2 ))-ngược ơn iệu mạnh trênH 1 Do ó,A ∗ (I−V k )A là ánh xạ(2∥A∥ 2 )-liên tục Lipschitz với k g1 Từ ịnh nghĩa F k trong (2.1) và (2.2) và tính ngược ơn iệu mạnh của

(1/2)(∥(I −U k )u k ∥ 2 + (1/∥A∥ 2 )∥A ∗ (I −V k )Au k ∥ 2 )f ùF k u k −F k p, u k −pð f ³ k ùu k ưx + , pưu k ð f ³ k ùpưx + , pưu k ð f ³ k (∥p∥+∥x + ∥)(∥p∥+M 1 ).

Từ bất ẳng thức này cùng với ³ k → 0, ta ược giới hạn trong (2.8) Rõ ràng,

Từ ẳng thức này cùng với´ k → 1khi k → ∞ và giới hạn thứ nhất trong (2.8), ta suy ra giới hạn trong (2.7) với mỗi i g1 Tương tự,

∥A ∗ (I −V k )Au k ∥(M 1 +∥p∥)g ùA ∗ (I −V k )Au k −A ∗ (I −V k )Ap, u k −pð

(á j /á k )∥(I −P Q j )Au k ∥ 2 , do vậy, ta có giới hạn thứ hai trong (2.7) với mỗi j g 1 Hơn nữa, vì dãy {u k } bị chặn, nên tồn tại dãy con {u n } của {u k }, u n = u k n , sao cho {u n } hội tụ yếu tới iểm p∈H 1 khi n → ∞ Khi ó, thay k trong (2.7) bởi n và cho n → ∞, ta ược n→∞ lim ∥(I −P C i )u n ∥ = 0 và lim n→∞∥(I −P Q j )Au n ∥= 0 ∀i, j g 1.

Vì P C i và P Q j là các ánh xạ không giãn, nên theo Bổ ề 1.1.1

(I −P C i )p= 0 và (I −P Q j )Ap = 0 với mọi i, j g1, tức là, p ∈ Γ Sử dụng tính chất sự hội tụ yếu của dãy {u n } và bất ẳng thức (2.6) với k ược thay bởi n, ta nhận ược (2.4), ở ây, p ∗ ược thay bởi p Dễ thấy rằng iểm hội tụ yếu của dãy {u k } có tính chất như p Hơn nữa, ta biết rằng p ∗ trong (2.4) xác ịnh duy nhất Do ó, các dãy {u k } hội tụ yếu tới p ∗ khi k → ∞ Tiếp theo, từ sự hội tụ yếu của dãy {u k } tới p ∗ và (2.6), ta có

∥u k −x + ∥ → ∥p ∗ −x + ∥ Sử dụng tính chất của không gian Hilbert H 1 , ta có sự hội tụ mạnh của {u k } tới p ∗ khi k → ∞.

(iii) Ta sẽ ánh giá ∥u k −u k−1 ∥ Từ (2.6), dễ thấy rằng ùF k u k −F k−1 u k−1 +³ k (u k −x + )−³ k−1 (u k−1 −x + ), u k−1 −u k ð= 0, iều này cùng với tính ơn iệu của F k suy ra ³ k ∥u k −u k−1 ∥ 2 f ùF k−1 u k−1 −F k u k−1 , u k −u k−1 ð

∥F k u k−1 −F k−1 u k−1 ∥=∥U k−1 u k−1 −U k u k−1 −A ∗ V k Au k−1 +A ∗ V k−1 Au k−1 ∥ f ∥U k−1 u k−1 −U k u k−1 ∥+∥A ∗ V k−1 Au k−1 −A ∗ V k Au k−1 ∥ với

(2.10) Khi ó, từ (2.9) và (2.10) ta có

+ ˜³ k (M 1 +∥x + ∥) = d k , Tức là ta có (2.5) Vậy ịnh lý ược chứng minh. ịnh lý 2.1.2 Cho H 1 , H 2 , A, C i và Q j như trong ịnh lý 2.1.1 Giả sử tập nghiệm Γ của bài toán (MSSFP) khác rỗng Giả sử các iều kiện (a), (b), (c) và (d) ược thỏa mãn Khi ó, dãy {z k } xác ịnh bởi z k+1 = (I −à k (F k +³ k (I −x + )))z k , k g1, (2.11) hội tụ mạnh tới p ∗ thỏa mãn (2.4) khi k → ∞, ở ây F k ược ịnh nghĩa bởi (2.2).

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh dãy{z k }sinh bởi (2.11) là bị chặn Thật vậy, lấy p ∈ Γ và sử dụng bất ẳng thức ∥x+y∥ 2 f ∥x∥ 2 + 2ùy, x+yð với bất kỳ x, y ∈H 1 , ta có

Mặt khác, từ F k p= 0, từ tính ơn iệu của F k , ta có bất ẳng thức ù−F k z k+1 , z k+1 −pð f 0 (2.13)

Sử dụng ịnh nghĩa F k trong (2.2) và tính chất của P C i và P Q j , ta nhận ược

Vì ³ k ∥z k −p ∗ ∥ Trong trường hợp thứ nhất, rõ ràngz k+1 ∈ B r (p ∗ ). Mặt khác, từ (2.16) ta có

∥z k+1 −p ∗ ∥ f(à k /³ k )(3 + 2∥A∥ 2 ) 2 r+ (r/2)fr ∀k g k 0 iều ó có nghĩa là dãy {z k } bị chặn.

Bõy giờ, ể chứng minh {z k } hội tụ mạnh tới p ∗ khi k → ∞, ta chò ra rằng ∥z k −u k ∥ →0 Thật vậy, ta ánh giá ∥z k+1 −u k ∥ như sau:

Từ u k thỏa mãn (2.1) và ánh xạ F k là ơn iệu, nên ³ k (x + −u k )−F k u k = 0 và − ùF k z k+1 −F k u k , z k+1 −u k ð f0.

Khi ó, từ (2.14), (2.17) và ³ k 0 với 1f i fN sao cho P N i=1 ´ i = 1 thỏa mãn Khi ó, dãy {z k } xác ịnh bởi z k+1 =z k −à k ((I −U)z k +A ∗ (I −V k )Az k +³ k (z k −x + )), k g1, z 1 ∈ H 1 , hội tụ mạnh tới p ∗ thỏa mãn (2.4) khi k → ∞, ở ây,

Chứng minh Lập luận tương tự như chứng minh ịnh lý 2.1.1 và 2.1.2 với

F k = I −U +A ∗ (I −V k )A, ta thu ược kết quả cần chứng minh.

Trong trường hợp này, ta có

∥F k u k−1 −F k−1 u k−2 ∥=∥ −A ∗ V k Au k−1 +A ∗ V k−1 Au k−1 ∥ f 2 á k á k M 1 Như vậy, thay vỡ (c), ta chò cần iều kiện (c’), tức là ngoài việc loại bỏ ược iều kiện về giới hạn trong (c) thì thay vì phải tính tổng vô hạn trong (c), ở õy ta chò cần tớnh tổng hữu hạn trong (c’) - iều này làm cho việc tớnh toỏn trở nên ơn giản hơn rất nhiều. ịnh lý 2.1.4 Cho H 1 , H 2 và A như trong ịnh lý 2.1.1 Cho {C i } i∈ N + và {Q j } M j=1 là hai họ tập con lồi, óng trong H 1 và H 2 tương ứng Giả sử Γ̸=∅ và các iều kiện: (a), (b), (c) và

(d’) á j >0 với 1f j fM sao cho P M j=1 á j = 1 thỏa mãn Khi ó, khi k → ∞, dãy {z k } xác ịnh bởi z k+1 =z k −à k ((I −U k )z k +A ∗ (I −V)Az k +³ k (z k −x + )), k g 1, z 1 ∈H 1 ,

XM j=1 á j P Q j , hội tụ mạnh tới p ∗ thỏa mãn (2.4).

Chứng minh ể ơn giản, như trong chứng minh ịnh lý 2.1.1, có thể ánh giá

∥F k u k−1 −F k−1 u k−2 ∥=∥ −U k u k−1 +U k−1 u k−1 ∥ f 2 ´ k ´ k M 1 , và ta chò cần iều kiện (d’) thay vỡ iều kiện (d).

Tổ hợp các kết quả trong ịnh lý 2.1.3 và 2.1.4, ta có kết quả cho trường hợp hữu hạn. ịnh lý 2.1.5 Cho H 1 , H 2 và A như trong ịnh lý 2.1.1 Cho {C i } N i=1 và {Q j } M j=1 là hai họ tập con lồi óng trong H 1 và H 2 tương ứng Giả sử Γ̸= ∅ và các iều kiện (a), (b), (c’) và (d’) ược thỏa mãn Khi ó, khi k → ∞, dãy {z k } xác ịnh bởi z k+1 =z k −à k ((I −U)z k +A ∗ (I −V)Az k +³ k (z k −x + )), k g 1, z 1 ∈H 1 ,với U và V ược xác ịnh như trong ịnh lý 2.1.3 và 2.1.4 tương ứng, hội tụ mạnh tới p ∗ thỏa mãn (2.4).

Nhận xột 2.1.2 (a) Chương 1 ó trỡnh bày hai phương phỏp hiệu chònh lặp giải bài toỏn (MSSFP) Phương phỏp hiệu chònh lặp của Xu và cộng sự [18] cho bởi dãy lặp: z k+1 =P C (I −à k (A ∗ (I −P Q )A+³ k I))z k , z 1 ∈ H 1 , k g1, (2.21) với việc chọn 0 < à k f (∥A∥ ³ 2 k +³ k ) trong mỗi bước lặp cũn phụ thuộc vào chuẩn của toán tửA Việc tính chuẩn của toán tử A không hề dễ dàng, do vậy, sẽ có những khó khăn trong việc sử dụng phương pháp (2.21) Phương pháp trong luận án ề xuất ã loại bỏ ược hạn chế này.

(b) Nguyễn Bường và các cộng sự [22] ã mở rộng phương pháp (2.21) ể giải bài toỏn (MSSFP) trong trường hợp cỏc tập chò số J 1 và J 2 là hữu hạn: z k+1 =U k T à k ,³ k z k , (2.22) với các ánh xạ ược ịnh nghĩa như trong (2.3) Sự hội tụ của dãy {z k } ược thiết lập phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển Phương pháp ược ề xuất trong luận án ã khắc phục ược hạn chế này, ngoài ra, luận án ó mở rộng bài toỏn trong trường hợp cỏc tập chò số J 1 và J 2 là vụ hạn ếm ược.

Ví dụ số minh họa

Ở Chương 1 ã trình một số ứng dụng thực tế của bài toán MSSFP ể minh họa tính toán, ta xét bài toán MSSFP trong các không gian Hilbert thực hữu hạn chiều E m và E n với

, R j >0, (2.24) với a j l ∈(−∞; +∞), 1 fl fm, j ∈N + và A là ma trận cỡ m×n.

Ví dụ 2.1 Trong ví dụ thứ nhất, luận án xét trường hợp m= n = 2, A là ma trận ơn vị, a i 1 = 1/i, a i 2 =−1, b i = 0, ∀i g1, R j = 1 và a j = (1/j,0), ∀j g1 và x + = (0,0) Khi ó, x ∗ = (0; 0) là nghiệm duy nhất có chuẩn cực tiểu của (2.23), (2.24) Từ A = I, phương pháp (2.11) với ánh xạ ược ịnh nghĩa trong (2.2) có dạng z k+1 = (1−à k (2 +³ k ))z k +à k (U k z k +V k z k ) (2.25)

Sử dụng phương pháp (2.25) với ´ i =á i = 1/(i(i+ 1)), ³ k = 1/(k+ 1) 1/8 , à k = 1/(k+ 1) 1/2 và iểm bắt ầu x 1 = (−3.0; 3.0), ta có ược kết quả cho trong Bảng 2.1.

Bảng 2.1: Kết quả số của Ví dụ 2.1 sử dụng (2.25) k z 1 k+1 z 2 k+1 k z 1 k+1 z 2 k+1

Vớ dụ 2.2 Trong vớ dụ thứ hai, luận ỏn sử dụng C i , ´ i , á j , R j , à k , ³ k và iểm bắt ầux 1 giống như trong Ví dụ 2.1 Ở ây, luận án xét trường hợpQ j ={y ∈

E 3 : ∥y−a j ∥ f 1}với a j = (1/(j+ 1); 1/(j+ 1); 1/(j+ 1))và A là ma trận cỡ3×2 với a i1 = 1, i = 1,2,3, các phần tử còn lại bằng 0 Khi ó, x ∗ = (0; 0) là nghiệm duy nhất có chuẩn nhỏ nhất Kết quả tính toán khi dùng phương pháp (2.11) với các ánh xạ ược ịnh nghĩa trong (2.2) ược trình bày trong Bảng 2.2. Nhận xét 2.1.3 Tương tự, trong trường hợp m=n = 2 và A là ma trận ơn vị, phương pháp (2.22) của Buong và các cộng sự [22] với ánh xạ ược ịnh

Bảng 2.2: Kết quả tính toán Ví dụ 2.2 theo công thức (2.11) k z 1 k+1 z 2 k+1 k z 1 k+1 z 2 k+1

Sử dụng phương phỏp (2.26) vớià k = 1/(1.05 + (1/k)), ³ k = 1/k, thỏa món iều kiện (³) và dữ liệu tương tự như trên, ta có kết quả trong các Bảng 2.3 và 2.4 [22].

Bảng 2.3: Kết quả của Ví dụ 2.1 ược tính theo công thức (2.26) k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2

So sánh các kết quả minh họa trong Bảng 2.1, 2.2 với Bảng 2.3, 2.4 ta thấy rằng cả hai phương pháp của luận án ề xuất ều hiệu quả Hơn nữa, phương pháp hiệu chònh lặp của luận ỏn hội tụ nhanh hơn cỏc kết quả của Buong và cỏc cộng sự trong [22].

Bảng 2.4: Kết quả của Ví dụ 2.2 ược tính theo công thức (2.22) k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2

Ví dụ 2.3 Xét trường hợp a 11 = 0.1, a 12 = 0.2, a 21 = 0.2, a 22 = 0.4, a 31 =a 32 = 0, trong Ví dụ 2.2, có nhiều nghiệm, bao gồm cả iểm không, là nghiệm có chuẩn cực tiểu bởi vì x + = 0 Các kết quả số tính bởi phương pháp (2.11) với ánh xạ ược ịnh nghĩa trong (2.2) với dữ liệu tương tự như trên, ta ược kết quả cho trong Bảng 2.5.

Bảng 2.5: Kết quả của Ví dụ 2.3 tính theo công thức (2.11) k z 1 k+1 z 2 k+1 k z 1 k+1 z 2 k+1

Nhận xột 2.1.4 Bảng 2.2 và Bảng 2.5 chò ra rằng, với vớ dụ cú nghiệm duy nhất hoặc nhiều nghiệm, phương pháp (2.11) với ánh xạ xác ịnh bởi (2.2) luôn cho kết quả hội tụ tốt Hơn nữa, nếu bài toán có nghiệm duy nhất, thì phương pháp ề xuất của luận án trong mục này cho kết quả tốt hơn so với kết quả trong [22].

Bài toán trùng tách a tập (MSSEP)

Phương phỏp hiệu chònh lặp kiểu Bakushinsky3Bruck

Mở rộng phương phỏp hiệu chònh lặp (0.6) của Bakushinsky và Bruck[19, 20] giải bài toán (MSSEP) trong các không gian Hilbert vô hạn chiều, luận ỏn ề xuất dóy lặp sau õy: xuất phỏt từ xấp xò ầu z 1 ∈ H tựy ý, cỏc xấp xò tiếp theo ược xác ịnh bởi: z k+1 =U k T à k ,t k z k , (2.27) ở ây,

Xk i=1 ´ i P S i , T à k ,t k =I −à k [G ∗ G+t k I], (2.28) à k , t k , ´ i là cỏc tham số dương và ´ ˜ k =´ 1 +ã ã ã+´ k

Nhận xét 2.2.1 Trong phương pháp ề xuất mới này, ta nhận thấy, các bước tớnh toỏn chò phải thực hiện trờn cỏc tổng hữu hạn, do ú, kết quả này tốt hơn một số phương pháp ã ược ề xuất trước ó do việc tính toán ở mỗi bước lặp dễ dàng hơn.

Giả sử cỏc tham số à k , t k , ´ i thỏa món với cỏc iều kiện

(à) à k ∈(0,2/(∥A∥ 2 +t k )), lim inf k→∞à k >0 và lim k→∞ (à k+1 −à k ) = 0. ể chứng minh cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp trên, trước hết, chúng ta chứng minh một số bổ ề sau.

Bổ ề 2.2.1 Cho H 1 , H 2 và H 3 là các không gian Hilbert thực và cho A :

H 1 → H 3 , B : H 2 → H 3 là các ánh xạ tuyến tính bị chặn Khi ó, với hằng số à ∈ (0,2/(∥G∥ 2 + 2³)), ở õy, G = [A −B] : H = H 1 ìH 2 → H, ỏnh xạ

T à,t :=I −à[G ∗ G+tI] là ỏnh xạ co với hệ số co 1−àt, t∈ (0,1) Khi t= 0, thỡ

T à :=I −àG ∗ G là ỏnh xạ khụng gión.

Chứng minh Thật vậy, dễ thấy rằng

−2à(1−àt)ùG ∗ Gu−G ∗ Gv, u−vð f(1−àt) 2 ∥u−v∥ 2 +à 2 ∥G ∗ ∥ 2 ∥Gu−Gv∥ 2

−2à(1−àt)∥Gu−Gv∥ 2 f (1−àt) 2 ∥u−v∥ 2 , bởi vỡ 2à(1−àt)/∥G∥ 2 g à 2 và ∥G∥= ∥G ∗ ∥ Từ ú, T à,t là một ỏnh xạ co Rừ ràng, T à là ỏnh xạ khụng gión khi t= 0.

Bổ ề 2.2.2 Cho H là không gian Hilbert và G là ánh xạ tuyến tính bị chặn trờn H Khi ú, ZerG := {z ∈ H | Gz = 0} = Fix(T à ) ở õy T à ược xỏc ịnh như trong Bổ ề 2.2.1 với số thực dương à.

Chứng minh Rừ ràng nếu p∈ZerG thỡ p∈Fix(T à ) với mọi số thực dương à.

Ngược lại, nếu z ∈ Fix(T à ) thỡ Gz = 0 Lấy một iểm p ∈ ZerG Từ z ∈ Fix(T à ) và p ∈ ZerG, ta cú G ∗ Gz = 0 và Gp = 0, tương ứng Hơn nữa, từ

Bổ ề 2.2.1, tính chất G và ẳng thức cuối ta suy ra

Suy ra Gz = 0 với à > 0 Ta cú iều phải chứng minh.

Bổ ề 2.2.3 Tập nghiệm Ω của bài toán (MSSEP) trùng với tâp nghiệm của bài toán bất ẳng thức biến phân

Tỡm z ∗ ∈ S sao cho ùT z∗, z −z ∗ ð g0 ∀z ∈S, (VIP) với T =G ∗ G.

Chứng minh Dễ thấy rằng, nếu z ∈ Ω thì z là một nghiệm của bài toán bất ẳng thức biến phân (VIP).

Ngược lại, nếu z ∗ là một nghiệm của bài toán (VIP) thì z ∗ ∈ S, tức là, x ∗ ∈C và y ∗ ∈Q và ùGz ∗ , Gz ∗ −Gzð f 0 với mọi z = [x, y]∈S.

Với z ˜ ∈ Ω, ta có Gz˜ = 0 (xem, [57]), vì vậy, từ bất ẳng thức cuối với z ược thay bởi z, ta có ˜ Gz ∗ = 0 Kết hợp với x ∗ ∈ C và y ∗ ∈Q suy ra z ∗ ∈Ω.

Bây giờ ta sẽ ưa ra ịnh lý hội tụ mạnh của phương pháp ề xuất. ịnh lý 2.2.1 Cho H 1 , H 2 , H 3 , A và B như trong Bổ ề 2.2.1 Cho C i và Q j , với mỗi i ∈ J 1 và mỗi j ∈ J 2 với J 1 = J 2 = N + , là các tập con lồi, óng trong

H 1 và H 2 tương ứng Giả sử cỏc iều kiện (à), (´) và (t) ược thỏa món Khi ó, dãy {z k } xác ịnh bởi (2.27) và (2.28), khi k → ∞, hội tụ mạnh tới một nghiệm của bài toán MSSEP.

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh {z k } xác ịnh bởi (2.27) và (2.28) là bị chặn Thật vậy, với iểm z = [x, y]∈ Ω, ta có x ∈ C i , y ∈ Q j với mọi i, j ∈ N + và Ax =By Khi ó, dễ thấy rằng U k z =z, Gz = 0ở ây G= [A−B] và từ Bổ ề 2.2.2, ta có z =T à k z =P S i T à k z, với mọi k, i∈ N + (2.30)

Do ó, từ tính không giãn của ánh ánh xạ U k và Bổ ề 2.2.1, suy ra

Suy ra, dãy {z k } bị chặn Khi ó, tồn tại hằng số M >f 0 sao cho sup kg1

=∥z k −z∥ 2 −2à k ùGz k , Gz k ð+à k 2 ∥G ∗ Gz k ∥ 2 + (à k t k ) 2 ∥z k ∥ 2 −2à k t k ùT à k z k −T à k z, z k ð f ∥z k −z∥ 2 −2à k ∥Gz k ∥ 2 +à k 2 ∥G ∗ ∥ 2 ∥Gz k ∥ 2 + (à k t k ) 2 ∥z k ∥ 2 −2à k t k ùT à k z k −T à k z, z k ð f ∥z k −z∥ 2 −à k (2−à k ∥G∥ 2 )∥Gz k ∥ 2 + (à k t k ) 2 Mf 2 + 2à k t k Mf 2

Hơn nữa, vì U k là ánh xạ không giãn, nên

Từ tớnh chất của phộp chiếu mờtric P S i (Mệnh ề 1.1.1) với u = ˜z k := T à k ,t k z k , ta có thể viết

Vì hàm ∥.∥ 2 là hàm lồi trên H, nên từ bất ẳng thức cuối ta suy ra

Do U k là ánh xạ không giãn, P S i là ánh xạ không giãn tiệm cận với (2.30), ∥u∥ 2 là hàm lồi và T à k ,t k là ỏnh xạ co với hệ số co 1−à k t k , nờn

Ta xét hai trường hợp sau ây.

Trường hợp 1: Tồn tại số nguyên dương k 0 sao cho ∥z k+1 −z∥ f ∥z k −z∥ với mọik g k 0 Do ó, lim k→∞∥z k −z∥ tồn tại Như vậy, từ (2.32) suy ra rằng, tồn tại k→∞ lim ∥z k −z∥ và iều kiện (³), lim sup k→∞ à k (2−à k ∥G∥ 2 )∥Gz k ∥ 2 = 0 (2.38)

Từ iều kiện (à), ta cú à k (2−à k ∥G∥ 2 )g à k (2−(2∥G∥ 2 /(∥G∥ 2 + 2)) g4ε 0 /(∥G∥ 2 + 2) (2.39) iều này cùng với (2.38) suy ra k→∞ lim ∥Gz k ∥ 2 = 0 (2.40) Hơn nữa, theo (2.33), (2.40) và t k → 0, k→∞ lim ∥z k+1 −U k z k ∥= 0 (2.41)

Tiếp theo, từ sự tồn tại của giới hạn lim k→∞∥z k −z∥, (2.34) và t k → 0, ta có k→∞ lim ∥Tà k ,t kz k −z k+1 ∥= 0 (2.42) Từ

∥à k t k z k +à k G ∗ Gz k ∥ fà k t k ∥z k ∥+à k ∥G ∗ ∥∥Gz k ∥, kết hợp (2.40) và iều kiện (t) ta nhận ược k→∞ lim ∥à k t k z k +à k G ∗ Gz k ∥= 0 (2.43)

Vì vậy, từ tính bị chặn của dãy {z k }, ta có k→∞ lim ùà k t k z k +à k G ∗ Gz k , z k −z k+1 ð= 0 (2.44)

Từ (2.35), (2.42), (2.43), (2.44), ta nhận ược k→∞ lim ∥z k+1 −z k ∥ = 0 (2.45)

Từ dóy {z k } và {à k } bị chặn, khụng giảm tớnh tổng quỏt, ta cú thể giả sử rằng tồn tại một dãy con {k l } của {k} sao cho {z k l } hội tụ yếu tới z˜ ∈ H và à k l → à˜ ∈ [ε 0 ,2/(∥G∥ 2 + 2)] khi l → ∞ Ta sẽ chứng minh z˜ ∈ Γ Thật võy, sử dụng [63] và Bổ ề 2.2.2, chứng tỏ rằng z˜ ∈ Fix(U ∞ )∩Fix(T ˜ à ), ở õy,

P∞ i=1 ´ i P S i Trước hết, ta chứng minh rằngz˜∈Fix(U ∞ ) Thật vậy, từ (2.41) và (2.45) suy ra k→∞ lim ∥z k −U k z k ∥= 0 (2.46) Tiếp theo, vì

X∞ i=1 ´ i P S i u khi n → ∞ với mọi u ∈H (xem [63]), ta có thể viết

(2.47) ở ây, z là một iểm trong Ω.

Ngược lại, sử dụng iều kiện(´), U k u→ U ∞ u khi k→ ∞ với mọiu∈ H và vì vậy, U k u→ U ∞ u khi k → ∞ với mọi u∈ H, bởi vì ´ ˜ k → 1 khi k → ∞ và

U k u = (1/´ ˜ k )U k u Vì vậy, với mọi ε > 0 và một iểm u ′ ∈H tồn tại số nguyên l ε (u ′ )> 0 sao cho ∥Uk lu ′ −U ∞ u ′ ∥ < ε với mọi số nguyên k l gl ε (u ′ ) Do ó, với mọi k l g l ε (u ′ ), ta nhận ược sup u∈D∥Uk luưU ∞ u∥ f sup u∈D 1

(2.48) với iểm tùy ý u ′ ∈ D 1 , tập con bị chặn H sao cho D ¦ D 1 Hơn nữa, lấy

D ={z k l }, ta có l→∞ lim ∥U k l z k l −U ∞ z k l ∥= 0 (2.49) Như vậy, từ (2.46), (2.49) và

∥z k l −U ∞ z k l ∥ f ∥z k l −U k l z k l ∥+∥U k l z k l −U ∞ z k l ∥ suy ra ∥z k l −U ∞ z k l ∥ →0 Khi ó, theo Bổ ề 2.2.2, z ˜ ∈Fix(U ∞ ) Tiếp theo, ta chứng minh rằng z ˜ ∈ Fix(T à ˜ ) Thật vậy, từ (2.42) và (2.45), ta cú ược k→∞ lim ∥z k −T à k ,t k z k ∥= 0, cùng với (2.40),

∥z k l −T ˜ à z k l ∥ f ∥z k l −T à kl ,t kl z k l ∥+∥Tà kl ,t kl z k l −T ˜ à z k l ∥ fà k l ∥G ∗ Gz k l ∥+∥T à kl z k l −T ˜ à z k l ∥+à k l t k l ∥z k l ∥ fà k l ∥G ∗ ∥∥Gz k l ∥+|à k l −à|˜ Mf+à k l t k l M ,f

(2.50) và từ giả thiết suy ra rằng ∥z k l −T à ˜ z k l ∥ → 0 Từ kết quả Bổ ề 1.1.1, ta cú z˜ ∈ Fix(T ˜ à ) Tương tự, ta thấy rằng mọi dóy con hội tụ yếu của {z k } ều hội tu yếu tới nghiệm của Bài toán (MSSEP) Tiếp theo, do Bổ ề 2.2.3, ta chứng minh rằng{z k }hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn cực tiểu z ∗ của bài toán (VIP).

Ta khẳng ịnh rằng lim sup k→∞ ùz∗, z ∗ −z k ð= lim m→∞ùz∗, z ∗ −z k m ð=ùz∗, z ∗ −zð f ˜ 0, (2.51) ở ây z ∗ là nghiệm có chuẩn cực tiểu của bài toán bất ẳng thức biến phân (VIP) Cuối cùng, sử dụng (2.37) với z ược thay bởi z ∗ , (2.51) và Bổ ề 1.1.6, ta khẳng ịnh rằng ∥z k −z ∗ ∥ →0 khi k → ∞.

Trường hợp 2: Tồn tại dãy con {kl} của dãy{k}sao cho ∥z k l −z∥ N và Q j = Q M với mọi j > M, ịnh lý ược chứng minh tương tự ịnh lý 2.2.1.

Trong trường hợp J 1 hữu hạn, tức là J 1 = {1,ã ã ã , N} và J 2 = N + , bằng cách ặt C i =C N , i = N + 1, ,∞, ta trở lại trường hợp trong ịnh lý 2.2.1. Trong trường hợp chò J 2 là hữu hạn thỡ tương tự.

Nhận xét 2.2.2 (a) Ta có thể biểu diễn phương pháp (2.27) trong các iều kiện về x và y như sau: với iểm khởi ầu x 1 ∈H 1 và y 1 ∈H 2 ,

(2.57) ở ây U ˜ k ược ịnh nghĩa như trong (2.3) và V ˜ k = (1/´ ˜ k )

(b) Có thể sử dụng phương pháp (2.57) với H 3 = H 2 và B = I cho bài toán MSSFP với J 1 =J 2 =N + , ta nhận ược phương phỏp hiệu chònh lặp mới: với iểm xuất phát x 1 ∈H 1 và y 1 ∈H 2 ,

Với cỏc iều kiện(à), (´) và(t), dóy {x k }xỏc ịnh bởi (2.58) hội tụ mạnh tới x ∗ , nghiệm của bài toán (MSSFP) khi k → ∞.

Rõ ràng, phương pháp (2.58) khác phương pháp (2.22) với ánh xạ ược ịnh nghĩa trong (2.3).

(c) Phương phỏp hiệu chònh lặp (2.58) cho bài toỏn SFP cú dạng,

Ta thấy, phương pháp này khác hoàn toàn với phương pháp của Yao trong[85].

Ta xét bài toán MSSEP trong các không gian Hilbert thực hữu hạn chiều

, ˜a i j , b i ∈(−∞; +∞), với 1fj fn và i ∈N + và

, r j > 0, a j l ∈ (−∞; +∞) với 1 f l f m và j ∈ N + , A và B là các ma trận cấp p×n và p×m, tương ứng.

Ví dụ 2.4 Trong ví dụ thứ nhất, ta xét trường hợp H 1 = E 2 , H 2 = E 3 và

H 3 = E 4 với ˜ a i 1 = 1/i,˜a i 2 = −1 và b i = 0 với mọi i g 1; r j = 1 và a j = (1/(j+ 1); 1/(j+ 1); 1/(j+ 1)) với mọi j g1 và

Khi ó, dễ thấy rằng z ∗ = [x ∗ , y ∗ ], với x ∗ = (0; 0) và y ∗ = (0; 0; 0), là nghiệm có chuẩn cực tiểu của bài toán MSSEP với các iều kiện như trên Sử dụng phương phỏp (2.57) với à k = 0.05 + 0.05/k, ´ i = 1/(i(i+ 1)), ³ k = 1/k và một iểm xuất phát z 1 = [x 1 , y 1 ] với x 1 = (−2.0;−2.0), y 1 = (−2.0;−2.0;−2.0), ta có các giá trị của ∥z k −z ∗ ∥=p

∥x k −x ∗ ∥ 2 +∥y k −y ∗ ∥ 2 ược thể hiện trong Bảng 2.6. Kết luận

Chương 2 ó ề xuất hai phương phỏp hiệu chònh lặp xấp xò nghiệm bài toán chấp nhận tách a tập (MSSFP) và bài toán trùng tách a tập (MSSEP),

Bảng 2.6: Kết quả của Ví dụ 2.4 ược tính theo công thức (2.57) k ∥z k+1 −z ∗ ∥ k ∥z k+1 −z ∗ ∥

50 0.0002940086 500 0.0000000053 chứng minh sự hội tụ mạnh của các phương pháp ề xuất, trình bày áp dụng và ưa ra một số ví dụ số minh họa Các phương pháp ược ề xuất là mới và giải quyết ược một khó khăn quan trọng khi thực hiện (khó khăn là phải tính

∥A∥) Kết quả này ược minh họa bằng ví dụ cụ thể.

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP ƯỜNG DỐC NHẤT VỚI PHƯƠNG PHÁP ISHIKAWA XẤP XỈ NGHIỆM BÀI TOÁN

BẤT ẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chương này ề xuất một phương phỏp lặp xấp xò nghiệm bài toỏn bất ẳng thức biến phân trong trường hợp tập chấp nhận ược là tập iểm bất ộng chung của một họ ánh xạ không giãn Nội dung của Chương ược viết thành hai mục Mục thứ nhất giới thiệu bài toán bất ẳng thức biến phân và trình bày một số cải biờn của phương phỏp ường dốc nhất xấp xò nghiệm cho bài toỏn này Mục thứ hai trình bày một ề xuất của tác giả luận án về cải biên phương phỏp lai ghộp ường dốc nhất xấp xò nghiệm bài toỏn bất ẳng thức biến phõn, chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp và ưa ra ví dụ số minh họa Kết quả của Chương 2 ược công bố trong bài báo [CT1] trong Danh mục công trình công bố của tác giả luận án.

3.1 Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về bài toán bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn trong không gian HilbertH hoặc không gian Banach E và trình bày phương pháp lai ghép ường dốc nhất giải bài toán này.

Bất ẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Cho H là không gian Hilbert,C là một tập lồi, óng, khác rỗng trong H. ChoT i :H → H, i = 1, , N, là các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert

H Bài toán tìm iểm bất ộng chung của một họ ánh xạ không giãn {T i } N i=1 trong không gian Hilbert H là bài toán:

Cho F : H → H Bài toán bất ẳng thức biến phân trong với ánh xạ giá

F và tập ràng buộc C trong không gian Hilbert H ược phát biểu như sau:

Tỡm p ∗ ∈C sao cho ùF p∗, p ∗ −pð f 0 ∀p∈C (3.2)

Nếu F là ỏnh xạ á-ơn iệu mạnh và L-liờn tục Lipschitz với á và L là cỏc số thực dương, thì bài toán bất ẳng thức biến phân (3.2) có nghiệm duy nhất Ta cũng biết rằng, bài toán này tương ương với phương trình iểm bất ộng p=P C (p−àF p), à > 0.

Trong luận án này, chúng tôi xét bài toán bất ẳng thức biến phân trong trường hợp tập ràng buộcC là tập iểm bất ộng của một ánh xạ không giãnT :H →

H, C = Fix(T) hoặc tập iểm bất ộng chung của một họ ánh xạ không giãn

Tỡm p ∗ ∈ Fix(T) sao cho ùF p ∗ , p ∗ −pð f 0, ∀p∈Fix(T) (3.3) hoặc

Fix(T i ) sao cho ùF p∗, p ∗ −pð f 0, ∀p∈

Lớp bài toán này óng một vai trò quan trọng trong thực tế, chẳng hạn như bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán iều khiển công suất và bài toán tài chính (xem [64]-[65]) Một trong những phương pháp hữu hiệu giải lớp bài toán này là phương pháp lai ghép ường dốc nhất ược Yamada ề xuất năm

Nhờ có tiến bộ áng kể trong lý thuyết iểm bất ộng của ánh xạ không giãn, vào năm 2001, Yamada [66] ã ề xuất phương pháp lai ghép ường dốc nhất: x k+1 = I −t k+1 àF

T x k , k g1 (3.5) xấp xò nghiệm cho bài toỏn bất ẳng thức biến phõn (3.3) Phương phỏp này khỏ hiệu quả khi ánh xạ F thỏa mãn iều kiện ơn iệu mạnh và liên tục Lipschitz vì nó ã khắc phục ược khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtricP C lên tập con lồi óng bất kỳ C Cụ thể, Yamada ã chứng minh ược ịnh lý hội tụ mạnh sau. ịnh lý 3.1.1 (xem, [66]) Cho F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và á-ơn iệu mạnh trờn H, T :H →H là ỏnh xạ khụng gión với Fix(T)̸= ỉ Giả sử à∈ (0,2á/L 2 ) và dóy {tk} thỏa món cỏc iều kiện:

Khi ó, với iểm ban ầu tùy ý x 1 ∈ H, dãy lặp {x k } xác ịnh bởi (3.5) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p ∗ của bài toán bất ẳng thức biến phân (3.3). ể giải bài toán (3.4), Yamada [66] ã xây dựng dãy lặp xoay vòng như sau: 

(3.6) ở ây [k] = k mod N là hàm modulo lấy giá trị trong tập {1, , N} Sự hội tụ của phương pháp (3.6) ược cho trong ịnh lý sau. ịnh lý 3.1.2 (xem [66]) Cho F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và á-ơn iệu mạnh trờn H, T i : H → H, i = 1, , N, là họ hữu hạn cỏc ỏnh xạ khụng gión với C :=∩ N i=1 Fix(T i )̸= ỉ và

C =Fix(T 1 T 2 T N ) =Fix(T 2 T 3 T N T 1 ) = ã ã ã=Fix(T N T 1 T N−1 ) (3.7) Giả sử à∈ (0,2á/L 2 ), dóy {t k } ∈(0,1] thỏa món iều kiện (t) và

Khi ó, với iểm ban ầu tùy ý x 1 ∈ H, dãy lặp {x k } xác ịnh bởi (3.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p ∗ của bài toán bất ẳng thức biến phân (3.4) trên tập C =∩ N i=1 Fix(T i ).

Năm 2003, Xu và Kim [67] chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp (3.5) và (3.6) nhưng với những iều kiện nhẹ hơn. ịnh lý 3.1.3 (xem [67]) Cho F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và á-ơn iệu mạnh trờn H,T :H → H là ỏnh xạ khụng gión vớiC :=Fix(T)̸= ỉ.Giả sử à∈ (0,2á/L 2 ) và dóy {t k } ∈ (0,1] thỏa món cỏc iều kiện (t) và

Khi ó, với iểm ban ầu tùy ý x 0 ∈ H dãy lặp {x k } xác ịnh bởi (3.5) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p ∗ của bài toán bất ẳng thức biến phân (3.3) trên tập Fix(T).

(a1) iều kiện (D3’) tương ương với iều kiện lim k→∞ [(t k −t k+1 )/t k+1 ] = 0.

(a2) iều kiện (D4’) tương ương với iều kiện lim k→∞ [(t k −t k+N )/t k+N ] = 0.

(b) Có thể thấy, iều kiện (D3’) yếu hơn iều kiện (D3), hơn nữa iều kiện (D3’)cho phép lựa chọn dãy tham số{1/k}trong khi ó(D3)không thỏa mãn.

Năm 2007, Zeng và cộng sự [68] ã ề xuất hai thuật toán lặp tương ứng với cỏc thuật toỏn (3.5) và (3.6) với tham số à khụng phải là hằng số. x 1 ∈H, x k+1 = (I −ẳ k+1 à k+1 F)T(x k ), kg 1 (3.8) và x 1 ∈H, x k+1 = (I −ẳ k+1 à k+1 F)T [k+1] (x k ), kg 1 (3.9) iều kiện ặt lên các dãy tham số cũng ược cải biên ảm bảo sự hội tụ mạnh của phương pháp (3.8) và (3.9). ịnh lý 3.1.4 (xem [68]) Cho F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và á-ơn iệu mạnh trờn H, T :H → H là ỏnh xạ khụng gión vớiC =Fix(T)̸= ỉ. Giả sử à k ∈(0,2á/L 2 ) và thỏa món cỏc iều kiện sau:

Khi ó, nếu lim sup k→∞ ùT x k −x k+1 , T x k −x k ð f 0 thì dãy lặp {x k } xác ịnh bởi (3.8) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p ∗ của bài toán bất ẳng thức biến phân (3.3) trên tập C =Fix(T). ịnh lý 3.1.5 (xem [68]) Cho F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và á-ơn iệu mạnh trờn H, T i : H → H, i = 1, , N là họ hữu hạn cỏc ỏnh xạ không giãn với C :=

Fix(T i ) ̸= ỉ và thỏa món iều kiện (3.7) Giả sử à ∈(0,2á/L 2 ) và thỏa món cỏc iều kiện (C1), (C2) và

Khi ó, nếu lim sup k→∞ ùT [k+N] T [k+1] x k −x k+N , T [k+N] T [k+1] x k −x k ð f 0 thì dãy lặp {x k } xác ịnh bởi (3.9) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p ∗ của Bài toán bất ẳng thức biến phân (3.4) trên tập C =

Một số mở rộng hoặc cải biên của phương pháp lai ghép ường dốc nhất ược giới thiệu trong những năm gần ây như nghiên cứu của Nguyễn Bường và cộng sự [69, 70] năm 2011, Zhou và Wang năm 2014 hoặc xét bài toán (3.4) trong trường hợp tổng quát hơn khi C là tập iểm bất ộng chung của một họ vô hạn ếm ược các ánh xạ không giãn: Iemoto và Takahashi [71] năm 2008,Yao và cộng sự [72] năm 2010, Wang và cộng sự [73] năm 2011, N Bường và cộng sự trong [46], [41] năm 2016

Bất ẳng thức biến phân trong không gian Banach

Xét trong không gian Banach E, E ∗ là không gian ối ngẫu của E, C là tập con lồi, óng, khác rỗng của E và F : E → E là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất ẳng thức biến phân trong không gian Banach E ược phát biểu như sau: tìm p ∗ ∈C sao cho ùF p ∗ , j(p ∗ −p)ð f0 ∀p∈C, (3.10) ở õy, ùx, x ∗ ð ược dựng thay cho x ∗ (x) với x ∈ E, x ∗ ∈ E ∗ và j là ỏnh xạ ối ngẫu của E Khi E là không gian Hilbert, ánh xạ ối ngẫuj là ánh xạ ơn vị và bài toán (3.10) trở thành bài toán bất ẳng thức biến phân (3.2) trong không gian Hilbert. ể giải bài toán bất ẳng thức biến phân trong không gian Banach (3.10) trong trường hợp C := Fix(T), tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn T :

E → E, Buong và các cộng sự [41] ã ề xuất một phương pháp lặp mới, là sự kết hợp giữa phương pháp ường dốc nhất với phương pháp Krasnoisel’skii3 Mann ể thiết lập một dóy lặp hội tụ mạnh Với xấp xò ban ầu x 1 ∈ E tựy ý, cỏc xấp xò tiếp theo ược xõy dựng như sau: x k+1 = (I −ẳ k F)(³ k I + (1−³ k )T)x k , k g 1, (3.11) ở õy F : E → E là toỏn tử á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt, cỏc tham số ẳ k và ³ k thỏa món cỏc iều kiện

Dãy lặp (3.11) bao hàm cả hai dãy lặp ược ề xuất bởi Kim và Xu trong [74], Yao cùng cộng sự trong [75].

Bổ ề 3.1.1 (xem [41]) Cho F là toỏn tử á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt với á+à >1 trong khụng gian Banach trơn ều E Cho T : E → E là một ỏnh xạ không giãn sao cho Fix(T) ̸= ∅ Với t ∈ (0,1), chọn ³ t ∈ (a, b) ¢ (0,1) và à t ∈(0,1) tựy ý sao cho à t → 0 khi t→ 0 và y t ược xỏc ịnh bởi: y t = (I −à t F)T t y t , T t =³ t I + (1−³ t )T.

Khi ó, dãy y t hội tụ mạnh ếnp ∗ là nghiệm của bài toán (3.10)với C :=Fix(T) khi t→ 0.

Bổ ề 3.1.2(xem [41]) Cho E, F và T như trong Bổ ề 3.1.1 Giả sử các tham số à k và ³ k thỏa món cỏc iều kiện (C1), (C2) và (C3) Khi ú, nếu dóy x k ược xác ịnh bởi (3.11) là bị chặn và lim k→∞∥x k −T x k ∥= 0, thì lim sup k→∞ ùF p ∗ , j(p ∗ −x k )ð f 0. ịnh lý 3.1.6 (xem [41]) Cho E, F, A, ẳ k và ³ k như trong Bổ ề 3.1.1 Khi ó, dãy x k xác ịnh bởi (3.11) hội tụ mạnh ến phần tử p ∗ là nghiệm của bài toán (3.10) với C :=Fix(T).

Nhận xét 3.1.2 (a) Nếu F = (1 −a)I với a ∈ (0,1) là một iểm cố ịnh. Khi ó, ta có thể viết F =I −f với f = aI và F : E → E là một ánh xạ á-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt trờn E với cỏc số dương á, à thỏa món á+à > 1 Lấy à ∈[0,1), rừ ràng á+à > 1 khi á = 1−a và à ∈ (a,1) bất kỳ Thay F bởi (1−a)I trong (3.11), ta có thuật toán sau: x k+1 = (1−ẳ ′ k )(³ k I + (1−³ k )T)x k , k g 1, (3.12) ở õy, ẳ ′ k =ẳ k (1−a).

Sự hội tụ mạnh của (3.1.2) ược chứng minh bởi ịnh lý sau: ịnh lý 3.1.7 (xem [41]) Cho T : E → E là ánh xạ không giãn trên không gian Banach trơn ều hoặc phản xạ và lồi chặt E với chuẩn khả vi Gâteaux ều.Giả thiết rằng ẳ k và ³ k thỏa món cỏc iều kiện (C1), (C2) và (C3) Cố ịnh một số a∈ (0,1) Khi ó, dãy x k xác ịnh bởi (3.12) hội tụ mạnh tới một iểm thuộc tập Fix(T).

Phương pháp lai ghép ường dốc nhất với phương pháp Ishikawa xấp xò nghiệm bài toỏn bất ẳng thức biến phõn

Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán bất ẳng thức biến phân (3.10) khi C :=Fix(T), tức là bài toán

Tỡm p ∗ ∈Fix(T) sao cho ùF p ∗ , j(p ∗ −p)ð f 0 ∀p∈ Fix(T) (3.13)

Ta xét bài toán (3.13) trong trường hợpE là không gian Banach trơn ều hoặc phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux ều, ánh xạ giá F : E → E là á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt ể tỡm iểm bất ộng của ỏnh xạ khụng giãn T : E → E trên E hoặc tìm nghiệm của lớp bài toán bất ẳng thức biến phân (3.13), luận án kết hợp phương pháp ường dốc nhất với phương pháp Krasnosel’skii3Mann [41] hoặc kết hợp với phương pháp Ishikawa Dãy lặp ược xõy dựng như sau: với iểm xấp xò ban ầu x 1 ∈ E tựy ý, cỏc xấp xò tiếp theo ược xác ịnh bởi x k+1 = (I −t k F)T k x k , k g1, (3.14) ở ây,

, k g1, (3.15) và các tham số t k , ´ k và ³ k thỏa mãn các iều kiện:

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp (3.14) ược chứng minh trong ịnh lý sau ây. ịnh lý 3.2.1 Cho F : E → E là ỏnh xạ á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt trên không gian Banach hoặc trơn ều hoặc phản xạ lồi chặt E, có chuẩn khả vi Gõteaux, sao cho á +à > 1 và T : E → E là ỏnh xạ khụng gión sao choFix(T) ̸= ∅ Giả sử t k , ´ k và ³ k thỏa mãn các iều kiện (t), (´) và (³) tương ứng Khi ó, dãy {x k } ược xác ịnh bởi (3.14) với T k ược ịnh nghĩa trong(3.15) hội tụ mạnh tới p ∗ là nghiệm của bài toán (3.13).

Chứng minh Từ T k p=p với mỗi p∈ Fix(T) và k g1, theo Bổ ề 1.1.4,

(1−á)/à Do ú, dóy {x k } bị chặn Vỡ vậy, cỏc dóy {T x k }, {T x k+1 }, {T k x k }, {T k+1 x k }, {F T k x k } và {T y k } cũng bị chặn, ở ây, y k =

(1−³ k )x k +³ k T x k Không giảm tính tổng quát, ta giả sử các dãy này bị chặn bởi một hằng số dương M 1 Dễ thấy rằng, x k+1 = t k (I −F)T k x k + (1−t k )T k x k

Rõ ràng, từ các iều kiện (t) và (´), ta có

Tiếp theo, ta có thể viết t k+1 (I −F)T k+1 x k+1

= t k+1 (1−Ä 1 ) + (1−t k+1 )´ k+1 t k+1 +´ k+1 −t k+1 ´ k+1 ∥x k+1 −x k ∥+ ˜c k , f ∥x k+1 −x k ∥+ ˜c k , ở ây, c˜ k là tổng các thành phần còn lại và với các iều kiện (t), (´) và (³), c˜ k → 0 khi k → ∞ Vì vậy, lim sup k→∞

Từ kết quả của Bổ ề 1.1.7, ta có k→∞ lim ∥x k −w k ∥= 0 (3.17)

Từ (3.16) và (3.17), suy ra k→∞ lim ∥x k+1 −x k ∥= lim k→∞ (1−h k )∥x k −w k ∥= 0 (3.18)

Theo (3.14), ∥x k+1 −T k x k ∥ f t k M 1 → 0, khi k → ∞ iều này cùng với (3.18) suy ra k→∞ lim ∥x k −T k x k ∥= 0 (3.19) Bây giờ, ta chứng minh k→∞ lim ∥x k −T x k ∥= 0 (3.20) ể làm ược iều ó, ầu tiên ta chứng minh lim k→∞∥x k −T y k ∥= 0 Thật vậy, từ ịnh nghĩa của T k và y k , ta suy ra x k −T k x k =´ k (x k −T y k ) và vì vậy sử dụng iều kiện ´), ta ược

∥x k −T y k ∥ f ∥x k −T k x k ∥/a, cùng với (3.19) suy ra giới hạn cần chứng minh Hơn nữa, từ

=∥x k −T y k ∥+³ k ∥x k −T x k ∥ và ³ k thỏa mãn iều kiện (³), ∥x k −T x k ∥ f ∥x k −T y k ∥/(1−a), ta có (3.20). Bây giờ, ta ước lượng giá trị ∥x k+1 −p ∗ ∥ 2 như sau.

Từ P ∞ k=1 t k = ∞, nên P ∞ k=1 b k = ∞ Vì vậy, từ (3.18), (3.21), Bổ ề 1.1.6 và tính chất của j, suy ra ược lim k→∞∥x k −p ∗ ∥ 2 = 0 ây là iều phải chứng minh. Nhận xét 3.2.1 (a) ịnh lý 3.2.1 vẫn có giá trị ối với phương pháp:y 1 ∈ E là một phần tử bất kỳ và y k+1 =T k (I −t k F)y k , k g1, (3.22) với các iều kiện tương tự vềE, F, T, t k , ´ k và ³ k như trong ịnh lý 3.2.1. Thật vậy, ặt y k = T k x k trong (3.14) ta có y k+1 = T k+1 x k+1 = T k+1 (I − t k F)y k ặt ´ k :=´ k+1 và ³ k :=³ k+1 , ta khẳng ịnh (3.22).

Hơn nữa, nếu t k → 0 thỡ {x k } là hội tụ khi và chò khi {y k } cũng hội tụ và giới hạn của chúng trùng nhau Thật vậy, từ (3.14), suy ra rằng

∥x k+1 −y k ∥ f t k ∥F y k ∥ Từ ó, khi {x k } hội tụ, {x k } bị chặn, và vì vậy

{y k } bị chặn Từ ó ta suy ra{F y k }cũng bị chặn Từ t k → 0 khik → ∞, từ bất ẳng thức cuối và sự hội tụ của {x k } suy ra sự hội tụ của {y k } và giới hạn của hai dãy trùng nhau Trong trường hợp {y k } hội tụ, ta chứng minh tương tự.

(b) Ta lấy F =I −f với f =a ′ I và một hằng số cố ịnh a ′ ∈(0,1) Khi ó, F là một ỏnh xạ á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt trờn E với cỏc hằng số dương á và à sao cho á +à >1 Thật vậy, từ ùF x−F y, j(x−y)ð= (1−a ′ )∥x−y∥ 2

=∥x−y∥ 2 − 1 a ′ ∥(I −F)x−(I −F)y∥ 2 f ∥x−y∥ 2 −à∥(I −F)x−(I −F)y∥ 2 , ở õy à ∈ [0,1) là một hằng số cố ịnh Rừ ràng, á+à > 1 với á = 1−a ′ và hằng số à ∈(a ′ ,1) cho trước Thay F bởi I−f = (1−a ′ )I trong (3.14), ta nhận ược thuật toán sau: x k+1 = (1−t ′ k )T k x k , k g1, (3.23) ở ây t ′ k =t k (1−a ′ ). ịnh lý 3.2.2 Cho T là ánh xạ không giãn trên không gian Banach trơn ều hoặc phản xạ lồi chặt E với chuẩn khả vi Gâteaux ều Giả sử rằng t k , ´ k và ³ k thỏa mãn các iều kiện (t), (´) và (³), tương ứng, hằng số a ′ ∈(0,1) Khi ó, dãy {x k } ược cho bởi (3.23), hội tụ mạnh tới một iểm bất ộng của ánh xạ T.

Nhận xét 3.2.2 (a) Ta xét trường hợp khiT là ánh xạ không giãn trên một tập con lồi óng Q của E Rõ ràng, với iểm khởi ầu x 1 ∈ Q, x k ∈ Q,

T k x k ∈ Q với mọi k Như vậy, nếu tập Q chứa các iểm gốc của E thì x k+1 ∈ Q, bởi vì x k+1 =Ä k T k x k với Ä k = 1−t ′ k ∈ (0,1) iều ó có nghĩa là phương pháp (3.23) ược xác ịnh với mỗi x 1 ∈ Q, và vì vậy, ịnh lý3.2.2 có giá trị trong trường hợp này.

Khi tập Q không chứa iểm gốc nào của E, ta lấy f =a ′ I + (1−a ′ )u với iểm cố ịnh u∈Q Từ ú dễ thấy rằng F =I−f cũng là ỏnh xạ á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt sao cho á +à > 1 Từ ú, thay cho (3.23), ta có phương pháp Halpern3Ishikawa:

(3.24) ó là phương pháp (1.14) với phép ặt t k :=t ′ k Rõ ràng, t k thỏa mãn iều kiện (t) khi và chò khi t ′ k cũng như vậy Phương phỏp (3.24), theo ịnh lý 3.2.2, hội tụ mạnh trong không gian Banach trơn ều hoặc phản xạ lồi chặt E, iều ó có nghĩa là phương pháp (1.14) cần các iều kiện mạnh hơn vềt k ,´ k và ³ k , cần thêm iều kiện (1.15), so với phương pháp ề xuất trong luận án.

(b) Cho ˜a >1 và f là ánh xạ a-j˜ ồng bức trên E, tức là, ùf x−f y, j(x−y)ð ga∥f x˜ −f y∥ 2 , ∀x, y∈ E.

Dễ thấy rằngf là một ánh xạ co với hệ số 1/a˜∈ (0,1), và vì vậy, F :=I−f là một ỏnh xạ á-j-ơn iệu mạnh với á = 1−(1/a˜ ) Hơn nữa, ùF x−F y, j(x−y)ð=∥x−y∥ 2 − ùf x−f y, j(x−y)ð f ∥x−y∥ 2 −a∥f x˜ −f y∥ 2 f ∥x−y∥ 2 −à∥(I −F)x−(I −F)y∥ 2 , với mỗià ∈ (0,a˜ ] Với số à ∈((1/a˜ ),˜a]nào ú, ta cú F là một ỏnh xạà-giả co chặt với á +à > 1 Tiếp theo, thay thế F bởi I −f trong (3.22), luận ỏn ưa ra một phương phỏp xấp xò mềm Ishikawa mới: y k+1 =T k (t k f y k + (1−t k )y k ), y 1 ∈E, k g 1, (3.25) ây là một cải tiến của (1.14) và khác với (1.16) Rõ ràng, nếu f là một ánh xạa-j-ồng bức trên˜ Q, một tập con lồi óng củaE, thì phương pháp(3.25) cũng xác ịnh với y 1 ∈ Q nào ó.

Với một ánh xạ ³-j-ồng bức f, ta có thể nhận ược ánh xạ³-j-ồng bức˜ f˜ với ³ >˜ 1 bằng cách xét f ˜ := ´f với hằng số dương ´ < ³ Thật vậy, ³˜ =³/´ > 1 và ùf x ˜ −f y, j ˜ (x−y)ð=ù´f x−´f y, j(x−y)ð g ´³∥f x−f y∥ 2 = ˜³∥f x ˜ −f y∥ ˜ 2

Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng chung của họ ánh xạ không giãn

họ ánh xạ không giãn

Mục này xét bài toán (3.10) trong trường hợp C = ∩ ig1 Fix(T i ) ̸= ∅, với {T i } là họ vô hạn ánh xạ không giãn trên E, tức là

Tỡm p ∗ ∈ ∩ig1Fix(T i ) sao cho ùF p∗, j(p ∗ −p)ð f 0 ∀p∈ ∩ig1Fix(T i ) (3.26)

Ta ịnh nghĩa T k như sau:

, (3.27) ở ây {W k } là một dãy thỏa mãn các iều kiện:

(i) Tồn tại W x := lim k→∞W k x với mọi x ∈ E và nếu ∩ ig1 Fix(T i ) ̸= ∅ thì ta có Fix(W) =∩ ig1 Fix(T i ).

(ii) lim k→∞ sup x∈B ∥W k x−W x∥= 0 với B là tập con bị chặn.

Nhận xét 3.2.3 Có thể thấy

V k =T 1 ′ ã ã ãT k ′ ở õy, T i ′ = à i I + (1−à i )T i với à i ∈ (0,∞) sao cho P ∞ i=1 à i = ˜à < ∞ cũng thỏa mãn các iều kiện (i) và (ii) như W k

Luận án ưa ra một phương pháp mới là một mở rộng của kết quả trong [41] xấp xò nghiệm bài toỏn (3.26) Chỳng tụi kết hợp phương phỏp ường dốc nhất với phương pháp lặp Ishikawa Một trong các trường hợp riêng của phương pháp mới ược ề xuất là phương pháp lặp Halpern. ịnh lý 3.2.3 Cho F là ỏnh xạ á-j-ơn iệu mạnh và à-giả co chặt trong không gian Banach lồi, hoặc trơn ều hoặc phản xạE, có chuẩn khả vi Gâteaux, sao cho á + à > 1 và {T i } là họ vụ hạn ỏnh xạ khụng gión trờn E sao cho

∩ ig1 Fix(T i ) ̸=∅ Giả sử t k , ´ k và ³ k tương ứng thỏa mãn các iều kiện (t), (´) và (³) Khi ó, dãy lặp {x k } ược xác ịnh bởi (3.14) với T k cho trong (3.27) hội tụ mạnh tới nghiệm p ∗ của bài toán (3.26).

Chứng minh Chứng minh tương tự như ịnh lý 3.2.1, dãy {x k } ược xác ịnh bởi (3.14) và (3.27) là bị chặn Do ó tồn tại hằng số dương M 2 sao cho các dãy {x k }, {T k x k }, {T k+1 x k }, {F T k x k }, {W k x k } và {W k+1 x k } thuộc S(0, M 2 ), hình cầu tâm 0 bán kính M 2 Hơn nữa, ta có ẳng thức (3.16) tương tự với h k , y k = (1−³ k )x k +³ k W k x k và w k = t k (I −F)T k x k

1−h k Trong ước lượng giá trị ∥w k+1 −w k ∥, ầu tiên ta cần tính toán giá trị ∥T k+1 x−

T k x∥với mỗi x∈S(0, M 2 ) ặty ˜ k = (1−³ k )x+³ k W k x Dễ dàng kiểm tra ược rằng y ˜ k ∈S(0, M 2 ) và W k y˜ k ∈ S(0, M 2 ) với mỗi x ∈S(0, M 2 ) Từ ó,

Từ các iều kiện (´) và (³), có thể thấy rằng tồn tại dãy con{km}của {k}sao cho ´ k m → ´ ′ khi m → ∞ Khi ó, |´k m +1 −´ k m | → 0 và |³k m +1−³ k m | → 0 khi m→ ∞ Bây giờ, thay x và k trong (3.28) bởi x k m và k m , tương ứng, và sử dụng iều kiện (ii) với B =S(0, M 2 ) ối với W k m , ta có giới hạn m→∞ lim ∥T k m +1 x k m −T k m x k m ∥= 0. Xét phương trình x k m +1 = h k m x k m + (1−h k m )w k m , (3.29) ở ây h k m = (1−t k m )(1−´ k m ) và w k m = t k m (I −F)T k m x k m

Do vậy, như trong chứng minh ịnh lý 3.2.1,

1−´ k m +1 +t k m +1 ´ k m +1 ∥x k m +1 −x k m ∥+c k m , f ∥x k m +1 −x k m ∥+c k m , c k m → 0 as m → ∞ Vì vậy, ta có kết quả tương tự (3.17) với k ược thay bởi k m , tức là, ∥x k m − w k m ∥ → 0, và vì vậy, theo Bổ ề 1.1.7 và (3.29), ta có

∥x k m +1 −x k m ∥ → 0, iều này cùng với ∥x k m +1 −T k m x k m ∥ f t k m M 1 → 0 khi m→ ∞ suy ra rằng m→∞ lim ∥x k m −T k m x k m ∥= 0 (3.30)

Bây giờ, ta chứng minh rằng m→∞ lim ∥x k m −W k m x k m ∥= 0 (3.31)

Với mục ích như vậy, ầu tiên ta chứng minh rằng lim m→∞∥x k m −W k m y k m ∥= 0, ở ây iểm y k m = (1−³ k m )x k m +³ k m W k m x k m

Từ x k m −T k m x k m =´ k m (x k m −W k m y k m ), và vì vậy, với iều kiện (´),

∥x k m −W k m y k m ∥ f ∥x k m −T k m x k m ∥/a, cùng với (3.30) suy ra giới hạn cuối Mặt khác,

=∥x k m −W k m y k m ∥+³ k m ∥x k m −W k m x k m ∥ ta ạt ược bất ẳng thức cuối ∥x k m −W k m x k m ∥ f ∥x k m −W k m y k m ∥/(1−a), từ ây cùng với giới hạn cuối, ta có (3.31) Tiếp theo, kết hợp (3.31), bất ẳng thức cuối

∥W k m x−W x∥, và iều kiện (ii) ối với W k m , ta có ược lim m→∞∥x k m −W x k m ∥ = 0 Như trong chứng minh ịnh lý 3.2.1, dãy{x k m }hội tụ mạnh tớip ∗ trong (3.26) khim→ ∞. Bằng lập luận tương tự, bất kỳ dãy con hội tụ của dãy {x k } ều hội tụ tới p ∗

Do nghiệm p ∗ của bài toán 3.26 là duy nhất nên tất cả các dãy {x k } hội tụ tới p ∗ Ta hoàn thành chứng minh ịnh lý.

Nhận xét 3.2.4 (a) Các Nhận xét 3.2.1 và 3.2.2 vẫn còn úng với T k ược ịnh nghĩa bởi (3.27).

(b) Lấy ³ k = 0 trong (3.14) và (3.27), ta có phương pháp ường dốc nhất Krasnoselskii3Mann trong [4] và mở rộng của nó tới họ vô hạn ánh xạ không giãn T i trên E, cụ thể là phương pháp x k+1 = (I −t k F)((1−´ k )I +´ k W k )x k , k g 1, và dạng tương ương của nó x k+1 = (1−´ k )I +´ k W k

(I −t k F)x k , kg 1, (3.32) (xem Nhận xét 3.2.1) ThayF trong (3.32) bởi(1−a ′ )I, ta có phương pháp y k+1 = (1−´ k )I +´ k W k

Sự hội tụ mạnh của nó ược chứng minh trong [79] trong không gian Banach lồi ều và trơn ều với các iều kiện (t), (´),

∥W k+1 x−W k x∥= 0 và iều kiện (i) trong ịnh nghĩa về W k Marino và Muglia [81] thay thế iều kiện (ii) trong ịnh nghĩa về W k bởi lim k→∞∥W k+1 x−W k x∥ = 0 ều với x ∈ B và kết hợp phương pháp ường dốc nhất với phương pháp Krasnosel’skii3Mann, ã nghiên cứu các phương pháp x k+1 =´ k x k + (1−´ k )(I −t k D)W k x k và x k+1 =´ k (I −t k D)x k + (1−´ k )W k x k , k g1,

(3.33) trong khụng gian Hilbert thựcH, ở õyD là ỏnh xạá-ơn iệu mạnh vàL- liên tục Lipschitz Sự hội tụ mạnh của (3.33) ược chứng minh dưới các iều kiện(t)với lim k→∞|tk−tk+1|/tk+1 = 0,´ k ∈ (0, a]với lim k→∞|´k−´k+1|/´k+1 = 0 và thêm iều kiện về W k liên quan ến họ ánh xạ {Ti} Ta chú ý rằng các ỏnh xạ V k = T 1 ′ ã ã ãT k ′ ở õy T i ′ = à i I + (1−à i )T i với à i ∈ (0,∞) sao cho

Pk i=1 à i T i /à˜ k với à ˜ k =à 1 +ã ã ã+à k cũng thỏa món cỏc iều kiện (i) và (ii) trong ịnh nghĩa về W k (xem [46], [76]) Trong [76], Buong cùng các cộng sự ã giới thiệu các phương pháp x k+1 = (1−´ k )x k +´ k S k (I −t k F)x k và x k+1 = (1−´ k )S k x k +´ k (I −t k F)x k , ưa ra kết quả hội tụ mạnh trong không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux với các iều kiện (t) và (´).

(c) Li [56] ã nghiên cứu phương pháp (1.16), ở ây, T k ược ịnh nghĩa trong (3.27) với W k -ánh xạ của Shimoji và Takahashi (xem, [77]) Katchang và Kumam [78] ã ưa ra phương pháp: x k+1 =t k àf(x k ) + (I −t k A)T k x k , k g1, một cải biên của (1.16) và chứng minh rằng nó hội tụ trong không gian

Banach với một ánh xạ ối ngẫu j dưới các iều kiện (t), lim k→∞´ k = 0 và k→∞ lim ³ k = 0, ở õy, A là ỏnh xạ tuyến tớnh bị chặn dương trờn E và à là hằng số dương nào ó.

Mục này ưa ra ví dụ số minh họa phương pháp ường dốc nhất dạng Ishikawa giải bài toán bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của một hoặc một họ ánh xạ không giãn.

Với họ các ánh xạ không giãn T i = (1 − 1/(i + 1))I, E = R 1 , ta có

∩ ig1 Fix(T i ) = {0} và lim k→∞T k x = Ix với mỗi x ∈ R 1 Vì vậy, iều kiện (i) trong ịnh nghĩa về W k không thỏa mãn vì Fix(I) =R 1

Họ {T i = P C i }, ở ây P C i là phép chiếu mêtric của H = E 2 , một không gian Euclide, lên tậpC i ={x= (x 1 , x 2 )∈ H | a i fx 2 f b i }vớia i = 1−1/(i+ 1) và b i = 2 + 1/(i+ 1) với mọi i g 1, thỏa mãn các iều kiện (i) và (ii) trong ịnh nghĩa về W k Trong trường hợp này, ta có C = ∩ ∞ i=1 C i = {x ∈E 2 | 1f x 2 f2} và ta có thể lấy W k = T k với mọi k g 1 Lấy u = (1.0; 0.0), ta có nghiệm của (3.26) là p ∗ = (1.0; 1.0) Trong nội dung tiếp theo, ta sẽ sử dụng phần mềm Matlab ể tính toán ví dụ này.

Bây giờ sử dụng phương pháp (3.24) và T k trong (3.27) với iểm bắt ầu x 1 = (2.5; 2.5), t k = 1/(k + 1), ´ k = 0.2 + 1/(k + 1) và ³ k = 1/(k+ 1) Kết quả tính toán ược ưa ra trong Bảng 3.1.

Trong trường hợp a i = 1 + 1/(i+ 1), ta có C = {x ∈ E 2 | 1.5 f x 2 f 2} và p ∗ = (1.0; 1.5) Hơn nữa, iều kiện (i) trong ịnh nghĩa về W k ối với T k ,tức là W k = T k , không xảy ra ể tính toán bằng phương pháp (3.24), ta

Bảng 3.1: Kết quả tính theo công thức (3.24) và (3.27) với W k =T k k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2

Pk i=1 à i T i /à˜ k với à˜ k = à 1 +ã ã ã+à k với à i = 1/i(i+ 1) Cỏc kết quả tớnh toỏn ược ưa ra trong Bảng 3.2.

Bảng 3.2: Kết quả tính theo công thức (3.24) và (3.27) với W k =S k k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2

Chương 3 của Luận án ề xuất một số phương pháp tìm nghiệm bài toán bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của một hoặc một họ ánh xạ không giãn, chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp ề xuất Các kết quả mới ề xuất (Gọi là phương pháp mới) có 3 ưu iểm sau:

1 Phương pháp mới này hội tụ mạnh, còn phương pháp Ishikawa hội tụ yếu.

2 Dãy W k ược chọn ở phương pháp mới này là tổng quát của dãy S k và

V k trong các nghiên cứu trước (Xem [40] và [45]) Nghĩa là kết quả trong nghiên cứu [40] và [45] là hai trường hợp riêng của kết quả mới này.

3 Phương pháp Halpern là trường hợp riêng của phương pháp mới này. Cuối chương 3, luận án cũng ưa ra các ví dụ số minh họa cho tốc ộ lội tụ của các phương pháp ề xuất.

KẾT LUẬN VÀ CÁC HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

Luận án ã ạt ược các kết quả sau:

1 ề xuất phương phỏp hiệu chònh lặp giải bài toỏn chấp nhận tỏch a tập (MSSFP) trong một số không gian Hilbert thực, chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp ề xuất và tính toán ví dụ minh họa (xem [CT2] trong Danh mục các công trình công bố của tác giả) Hiệu quả của phương phỏp ề xuất là tham số lặp à k ược chọn khụng phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển.

2 Giới thiệu phương phỏp hiệu chònh lặp giải bài toỏn trựng tỏch a tập (MSFEP) trong một số không gian Hilbert thực, chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp ề xuất và tính toán ví dụ minh họa (xem [CT3] trong Danh mục các công trình công bố của tác giả) Phương pháp ược ề xuất trong cỏc trường hợp tập chò số J 1 và J 2 là cỏc họ vụ hạn tập ếm ược hoặc là các tập có số phần tử hữu hạn hoặc một trong hai tập có số phần tử hữu hạn, tập còn lại có số phần tử vô hạn Phương pháp ược ề xuất trong luận án tốt hơn phương pháp của Chen và cộng sự trong [36], ú là, ở mỗi bước lặp chò phải tớnh toỏn trờn một tổng hữu hạn thay cho việc tính toán trên một tổng vô hạn như trong nghiên cứu của Chen và các cộng xự Chú ý rằng, việc tính toán trên các tổng vô hạn là rất phức tạp và tốn kém về chi phí tính toán.

3 ề xuất một một số phương pháp lặp mới, kết hợp giữa phương pháp ường dốc nhất với phương phỏp Ishikawa xấp xò nghiệm cho bài toỏn bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của một ánh xạ không giãn hoặc trên tập iểm bất ộng chung của một họ các ánh xạ không giãn trong không gian Banach Chứng minh sự hội tụ mạnh của các phương pháp ề xuất, xét các trường hợp ặc biệt của phương pháp và tính toán ví dụ minh họa (xem [CT1] trong Danh mục các công trình công bố của tác giả).

HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

1 Chúng tôi nghiên cứu mở rộng các kết quả trong Chương 2 và Chương 3 cho trường hợp T i , U i là các ánh xạ giả co trên không gian Hilbert.

2 Nghiờn cứu phương phỏp hiệu chònh lặp loại Extragradient cho bài toỏn xột trong Chương 3 với F là ỏnh xạ á-ơn iệu mạnh và L-liờn tục Lipschitz.

3 Nghiên cứu sự kết hợp giữa thành phần quán tính và các phương pháp lặp hiệu chònh ể làm tăng ộ hội tụ của phương phỏp này.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ

[CT1] Buong Ng., Anh Ng.T.Q., Binh K.T., (2020), Steepest-Descent Ishikawa Iterative Methods for a Class of Variational Inequalities in Banach Spaces, Filomat 34 (5), (2020) 155731569 (SCI-E, Q2).

[CT2] Buong Ng., Hoai P.T.T, Binh K.T, (2020), New Iterative regularization methods for the multiple-sets split feasibility problem, Journal of Com- putational and Applied Mathematics 388(3), 113291 DOI 10-1016/j cam

[CT3] Buong Ng., Anh Ng.T.Q., Binh, K.T., 2020, Iterative methods for the multiple-sets split equality problem in Hilbert spaces, Kÿ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XXIII: Một số vấn ề chọn lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông 3 Quảng Ninh, 536/11/2020, 1513157.

[1] C Byrne, A unified treatment of some iterative algorithm in signal processing and image reconstruction, Inverse Problems., 2004, 20, 1003-1020.

[2] Y Censor, T Elfving, N Knop, T Bortfeld, The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems, Inverse Problems., 2005,

[3] Y Censor, T Bortfeld, B Martin, A Trofimov,A unified approach for inverse problems in intensity-modulated radiation therapy,Phys Med Biol., 2006,51, 2353-2365.

[4] M.A Krasnosel’skii, Two remarks on the method of successive approxima- tions, Uspekhi Matematicheskikh Nauk., 1995, 10, 123-127.

[5] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proceedings of the American Mathematical Society., 1953, 4, 5063510.

[6] S Ishikawa, Fixed points by a new iteration method,Proc Amer Math Soc.,

[7] B Halpern, Fixed points of nonexpansive maps, Bull Amer Math Soc.,

[8] A Moudafi,, Viscosity approximation methods for fixed-points problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 2000, 241,, 46 - 55.

[9] Y Yao, H Zhou, Y.Ch Liou, Strong convergence of a modified Krasnosel’skii- Mann iterative algorithm for nonexpansive mapping,J Appl Math Comput.,

[10] T.H Kim, H.K Xu, Strong convergence of modified Mann iterations, Nonl. Anal., 2005, 61, (1-2), 51-60.

[11] J Zhao, A Yang, A simple projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem,Inverse Problems in Science and Engineering., 2013, 21(3), 537-546.

[12] W Zhang, D Han, Zh Li, A self-adaptive projection method for solving the multiple-sets split feasibility problem, Inverse Problems., 2009,25, 115001.

[13] J Zhao, Y Zhang, Q Yang, Modified projection methods for the split feasibility problem and the multiple-sets split feasibility problem Applied Math, Comput., 219, 2012, 1644-1653.

[14] G López, V.M Marquez, F Wang, H.K Xu, (2012), Solving the split feasibility problem without prior knowledge of matrix norms, Inverse Problems.,

[15] H.K Xu, A variable Krasnosel’skiiM-ann algorithm and the multiple-set split feasibility problem, Inverse Problems, 2006, 22, 2021-2034.

[16] J Wang, Y Hu, C.K.W Hu, X Zhuang, A family of projection gradient methods for solving the multiple-sets split feasibility problem, J Optim Theory Appl., 2019, 183, 520-534.

[17] Wen, M., Peng, J., Tang, Y (2015), A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem, J Optim The- ory Appl.,, 166, 844 - 860.

[18] H.K Xu, Iterative methods for the split feasibility problem in infinite- dimensional Hilbert spaces, Inverse Problems., 2010, 26, Article ID 105018.

[19] Bruck R E., (1974), A strong convergent iterative method for the solution

0∈ U xfor a maximal monotone operatorU in Hilbert spaces, J Math Anal. Appl., 48, 114-126.

[20] A.B Bakushinsky Methods for solving monotonic variational inequalities based on the principle of iterative regularization, Comput Math and Math. Physics., 2011 17, (1977), 12-24.

[21] M Tian, H.F Zhang, The regularized CQ algorithm without a priori knowledge of operator norm for solving the split feasibility problem J Ineq Appl.

[22] Ng Buong, Ph.Th Hoai, Kh.Th Binh Iterative regularization methods for the multiple-sets split feasibility problem in Hilbert spaces,Acta Appl Math.,

[23] H Attouch, A Cabot, P Frankel, J Peypouquet, Alternating proximal algorithms for constrained variational inequalities Application to domain decomposition for PDEs, Nonl Anal., 2011, 74, 7455-7473.

[24] H Attouch, Alternating minimization and projection algorithms From con- vexity to nonconvexity, Commmunication in Instituto Nazionale di AltaMatematica Citta Universitaria-Rome, Italy, June 2009, 8-12.

[25] C Byrne, A Moudafi, Extensions of the CQ algorithm for the split feasibility and split equality problems, Working paper., 2013, UAG.

[26] P.T Polyak, Introduction for Optimization, New-York., 1987.

[27] Y Alber, I.P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer, 2006.

[28] A.B Bakushinsky, A Goncharsky, Ill-Posed Problems: Theory and Applica- tions, Kluwer Academic Publishers., 1989.

[29] R Chen, J Wang, H Zhang, General split equality problems in Hilbert spaces, Fixed Point Theory and Applications., 2014, 35.

[30] Q.L Dong, S He, H.B Yan, Several projection algorithms for the split equality problem, Wseas Transaction on Mathematics., 2013,12, (11), 1087-1096.

[31] Q.L Dong, S He, J Zhao, Solving the split equality problem without prior knowledge of operator norms, Optimization., 2015, 64, (9) 1887-1906.

[32] P.T Vuong, J.J Strodiot, Ng.V Hien, A gradient projection method for solving split equality and split feasibility problems in Hilbert spaces, Opti- mization., 2015, 64 (11) 2321-2341.

[33] H Yu, F Wang, Relaxed alternating CQ algorithms for the split feasibility problem in Hilbert spaces,J Ineq Appl., 2018, 2018 335.

[34] L Shi, R Chen, Y.J Wu, An iterative algorithm for the split equality and multiple-sets split equality problems, Abstr Appl Anal., 2014, 2014 Article

[35] D Tian, L Shi, R Chen, Iterative algorithm for solving the multiple-sets split equality problem with split self-adaptive step size in Hilbert spaces, Journal of Ineq Appl., 2016, 2016 (34) DOI: 10.1186/s13660-016-0982-7.

[36] R Chen, J Li, Y Ren, Regularization method for the approximate split equality problem in infinite-dimensional Hilbert spaces, Abstr Appl Anal.,

[37] M Eslamian, A Latif, General split feasibility problem in Hilbert spaces, Abstr Appl Anal., 2013, Article ID 805104 DOI: 10.1155/2013/805104.

[38] Ch.Sh.Chuang, W.sh Du, Hybrid simultaneous algorithms for the split equality problem and applications, Journal of Ineq Appl., 2016, 2016 198,DOI:10.1186/s13660-016-1141-x.

[39] A.A Goldstein, Convex programming in Hilbert space, Bull.Am Math Soc.,

[40] L.C Ceng, Q.H Ansari, J.C Yao, Mann-type steepest-descent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces, Num Funct Anal Optim., 2008, 29, (9-10), 98731033.

[41] Ng Buong, V.X.Quynh, Ng.Th.Th.Thuy, A steepest-descent Krasnnosel’skii- Mann algorithm for a class of variational inequalities in Banach spaces, J. Fixed Point Theory Appl., 2016, 18, 519-532.

[42] Hoàng Tụy Hàm thực và Giải tích hàm, Nhà xuất bản ại học Quốc gia Hà Nội 2005

[43] K Goebel, W.A Kirk Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud- ies in Advanced Math., 199028, Cambridge Univ Press, Cambridge.

[44] L.C Ceng, H.K Xu, J.Ch Yao, Strong convergence of an iterative method with perturbed mappings for nonexpansive and accretive operators, Num. Funct Anal Optim., 2008, 29(3-4), 324-345.

[45] P.E Mainge’, Strong convergence of projected subgradient methods for nons- mooth and nonstrictly convex minimization,Set-Valued Var Anal., 2008, 16 899-912.

[46] Ng Buong, Ng.Th.H Phuong, Regularization methods for a class of variational inequalities in Banach spaces, Comput Mat and Mat Phyics., 2012, 52(11), 1487-1496.

[47] I Cioranescu, Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems,Kluwer Acad Publ., Dordrecht., 1990, 260 pp.

[48] H.K Xu, Iterative algorithms for nonlinear operators, J Lond Math Soc.,

[49] T Suzuki, Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces, J Fixed Point Theory and Appl., 2005,

[50] F.E Browder, Convergence of approximants to fixed points of nonexpansive nonlinear mappings in Banach spaces, Archive for Rational Mechanics and Analysis., 1967, 24, 82390.

[51] S Reich, Weak convergence theorem for nonexpansive mappings in Banach spaces, J Math Anal Appl., 1979,67, 274-276.

[52] A Genel, J Lindenstrass, An example concerning fixed points,Israel Journal of Mathematics., 1975, 22, 81 - 86.

[53] P.L Lions, Approximation de points fixes de contractions, CR Acad Sci. Paris Ser.AB., 1997, 284, 1357 - 1359.

[54] R Wittmann, Approximation of fixed points of nonexpansive mappings, Archivder Mathematik., 1992, 58, 486 - 491.

[55] H.K Xu, Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings, J. Math Anal Appl., 2004, 298, 2793291.

[56] Y Li, Convergence of modified Ishikawa iterative processes for an infinite family of nonexpansive mappings, Fixed Point Theory., 2012 13, 307-317.

[57] Y Censor, T Elfving, A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product spaces, Numer Algorithms., 1994, 8 221-239.

[58] Y Censor, A Motova A, A Segal, Perturbed projections and subgradient projections for the multiple-sets split feasibility problem, J Math Anal Appl.,

[59] Y Censor, A Segal, Iterative projection methods in biomedical inverse problems, Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Radiation Therapy (IMRT), ed Y Censor, M Jiang and A.K Louis, (Edizioni della Normale, Pisa, Italy)., 2008, 65-96.

[60] S Chen, D Donoho, M Sauders, Atomic decomposition by basic pursuit, SIAM J Sci Comput., 1998, 20, 33-61.

[61] J.R Palta, T.R Mackie, Intensity-Modulated Radiation Therapy: The State of the Art Madison, WI: Medical Physics Publishing, 2003.

[62] Takahashi, S., Takahashi, W., Toyota, M (2010), Strong convergence theorems for maximal monotone operators with nonlinear mappings in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 147, 27 - 41.

[63] R.E Bruck, Properties of fixed point sets of nonexpansive mappings in Ba- nach spaces, Trans AMS., 1973,179 251-262.

[64] I Iiduka,, An egordic algorithm for the power-control games in CDMA data networks, J Math Model Algorithms., 2009, 8, 1-18.

[65] I Iiduka,, Fixed point optimization algorithms for distributed optimization in network systems, SIAM J Optim., 2013, 23, 1-26.

[66] I Yamada, The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings.In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (Eds) Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, North-Holland, Amster- dam., 2001, 473-504.

[67] H.K Xu, T.H Kim, Convergence of hybrid steepest-descent methods for variational inequalities, J Optim Theory Appl., 2003,119, 185-201.

[68] L.C Zeng, N.C Wong, J.C Yao, Convergence analysis of modified hybrid steepest-descent methods with variable parameters for variational inequalities,J Optim Theory Appl., 2007, 132, 51-69.

[69] Ng Buong, Ng.Th.Q Anh, An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces,Hindawi Publish Coporation, Fixed Point Thoery Applications., volume 2011, article ID 276859.

[70] Ng Buong, L.Th Duong, An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 2011, 151, 513-524.

[71] Sh Iemoto, W Takahashi, Strong convergence theorems by a hybrid steepest descent method for countable nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Sci. Math Jpn., 2008, 21, 555-570.

[72] Y Yao, M.A Noor, Y.C Liou, A new hybrid iterative algorithm for variational inequalities, Appl Math Comput., 2010, 216, 822-829.

[73] H Wang, Y Song, An iteration scheme for nonexpansive mappings and variational inequalities, Bull Korean Math Soc., 2011, 48(5), 991-1002.

[74] T.H.Kim, H.K Xu, Strong Convergence of modified Mann iterations Non- linear Anal.2005, 61, 51-60.

[75] Y Yao, H Zhou, Y.Ch Liou, Strong Convergence of a modified Krasnosel’skii-Mann iterative algorithm for non-expansive mappings.J Appl. Math Comput 2009, 29, 383-389.

[76] Ng Buong, Ng.S Ha, Ng.Th.Th Thuy, A new explixit iteration method for a class of variational inequalities, Numer Algorithm., 2016, 72, 467-481.

[77] K Shimoji, W Takahashi,, Strong convergence to common fixed points of infinite nonexpansive mappings and applications, Taiwa J Math., 2001, 5,3873404.

Tiêu đề	Một Số Phương Pháp Lặp Cho Bài Toán Chấp Nhận Tách Và Các Bài Toán Liên Quan
Tác giả	Khuất Thị Bỡnh
Người hướng dẫn	GS.TS. Nguyễn Bường
Trường học	Học Viện Khoa Học Và Công Nghệ
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng
Thể loại	Luận Án Tiến Sĩ
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	101
Dung lượng	533,34 KB