đồng hóa số liệu cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính hai chiều

Bài toán đồng hóa số liệu xác định điều kiện ban đầulà một trong những bài toán ngược.Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

NGUYỄN THÚY DƯƠNG

ĐỒNG HÓA SỐ LIỆU CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2021

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM482412065:44:12 PM5:44:12 PM

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM48Wednesday, June 12, 20245:44:12 PM5:44:12 PM

Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuDong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieu

48Dong hoa so lieu cho phuong trinh truyen nhiet tuyen tinh hai chieuWednesday, June 12, 2024

Trang 2

Mục lục

1.1 Bài toán thuận và một số kiến thức bổ trợ 7

1.2 Bài toán đồng hóa số liệu 11

1.3 Phương pháp số cho bài toán thuận 15

1.3.1 Nội suy hàm lưới 16

1.3.2 Rời rạc biến thời gian và lược đồ sai phân phân rã 19

Chương 2 Một số bài toán đồng hóa số liệu 242.1 Bài toán đồng hóa số liệu với quan sát tại thời điểm cuối 24

2.1.1 Công thức gradient của phiếm hàm mục tiêu 25

2.1.2 Phương pháp gradient liên hợp 30

Trang 3

Lời nói đầu

Đồng hóa số liệu (Data assimilation) là sự kết hợp của mô hình với cácquan sát để thực hiện một số mục tiêu khác nhau như: xác định trạng tháiước lượng tối ưu của mô hình, xác định điều kiện ban đầu, nội suy, Bàitoán đồng hóa số liệu được sử dụng rất rộng rãi trong những nghiên cứu vềkhí tượng thủy văn, hải dương học, dự báo thời tiết (xem [1]); ô nhiễm môitrường (xem [5]); xử lý ảnh (xem [5, 6]); sản xuất công nghiệp (xem [5, 7]); .Một trong những mục tiêu của đồng hóa số liệu là từ một số quan sát (trựctiếp hoặc gián tiếp) ta ước lượng lại điều kiện ban đầu của mô hình và khibiết điều kiện ban đầu của quá trình thì ta có thể mô tả được nó và đồng thờitừ đó cũng đưa ra những dự báo về sự tiến hóa tiếp theo.

Một cách hình thức, ta có thể mô tả như sau: giả sử Lu(x, t) là một toántử tuyến tính elliptic đều, trong đó biến không gian x ∈ Ω với Ω là miền mởbị chặn trong Rn có biên ∂Ω đủ trơn và t ∈ [0, T ] là biến thời gian Kí hiệuQ = Ω × [0, T ] Xét bài toán biên sau

ut− Lu(x, t) = f (x, t), (x, t) ∈ Q,u(x, 0) = v(x), x ∈ Ω,

Bu = g(ζ, t), (ζ, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],

ở đây B là toán tử điều kiện biên nào đó Bài toán tìm u(x, t) từ hệ trên vớicác dữ kiện về toán tử L, điều kiện ban đầu v, điều kiện biên g và hàm vế phảif đã biết được gọi là bài toán thuận (hay bài toán trực tiếp - direct problem).Ngược lại, bài toán xác định điều kiện ban đầu v hay điều kiện biên g hayhàm vế phải f , từ một số thông tin về nghiệm u được gọi là bài toán ngược(inverse problem) [2, 6] Bài toán đồng hóa số liệu xác định điều kiện ban đầulà một trong những bài toán ngược.

Trang 4

Nghiên cứu bài toán ngược nói chung và bài toán đồng hóa số liệu nóiriêng gặp rất nhiều khó khăn vì chúng thường đặt không chỉnh theo nghĩaHadamard [3].

Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard [3] nếu thỏa mãntất cả các điều kiện sau

i Tính tồn tại: Bài toán là tồn tại nghiệm;ii Tính duy nhất: Nghiệm là duy nhất;

iii Tính ổn định: Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán (theotô pô nào đó).

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện nói trên không thỏa mãn thì bài toánđược gọi là bài toán đặt không chỉnh Trong thực tế có rất nhiều bài toán quantrọng là bài toán đặt không chỉnh (xem [2, 6]) và tính đặt không chỉnh củachúng gây ra nhiều vấn đề nghiêm trọng Nếu bài toán là không ổn định, tứclà từ một sai số nhỏ của dữ kiện đầu vào có thể dẫn tới sai số rất lớn củanghiệm, vì vậy việc giải số trở nên cực kì khó khăn Sau đây ta có thể lấy mộtví dụ về bài toán đồng hóa số liệu xác định điều kiện ban đầu là đặt khôngchỉnh [2]

Xét phương trình truyền nhiệt một chiều với điều kiện biên Dirichlet thuầnnhất sau đây

ut(x, t) = uxx(x, t), x ∈ (0, π), 0 ≤ t ≤ 1,u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1,

πsin(nx) và vn =q

Trang 5

v(x) =r

Nội dung của luận văn tập trung nghiên cứu bài toán đồng hóa số liệu chophương trình parabolic tuyến tính hai chiều sau đây

ut− (a1(x, t)ux1)x1 − (a2(x, t)ux2)x2 + b(x, t)u = f, (x, t) ∈ Q,u(x, 0) = v(x), x ∈ Ω,

ω(x)u(x, t)dx = h(t), t ∈ (τ, T ),

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

trong đó ω(x) là hàm trọng không âm với RΩω(x)dx > 0, ta tìm lại điều kiệnban đầu v(x).

Sử dụng phương pháp biến phân kết hợp với phiếm hàm hiệu chỉnh Tikhonovta đưa bài toán đồng hóa số liệu về bài toán biến phân tìm cực tiểu của phiếmhàm mục tiêu tương ứng với từng trường hợp Sau khi nghiên cứu bài toánbiến phân dạng liên tục, luận văn sử dụng phương pháp sai phân phân rã(splitting) để rời rạc bài toán thuận Bên cạnh việc chứng minh phiếm hàmlà khả vi Fréchet, luận văn cũng đưa ra công thức gradient của phiếm hàm.Việc tiếp theo là sử dụng các thuật toán số để giải số bài toán đã đề xuất.

Luận văn gồm 2 chương, phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu thamkhảo.

Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm các khái niệm và địnhnghĩa về bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán biến phân, bài toán đồnghóa số liệu; định nghĩa một số các không gian Sobolev, định nghĩa nghiệmyếu, định nghĩa đạo hàm Fréchet; trình bày lại tính tồn tại nghiệm yếu trongcác không gian tương ứng và các đánh giá tiên nghiệm cho bài toán thuận;chỉ ra tính tồn tại nghiệm của bài toán biến phân với phiếm hàm hiệu chỉnhTikhonov; phát biểu và chứng minh công thức Green cho bài toán thuận vàbài toán liên hợp; sử dụng lược đồ sai phân rời rạc công thức nghiệm yếu;sử dụng thuật toán gradient liên hợp (thuật toán CG - conjugate gradientmethod) để tìm cực tiểu của hàm mục tiêu.

Chương 2 của luận văn nghiên cứu bài toán đồng hóa số liệu từ quan sátvề nghiệm tại thời điểm cuối và quan sát tích phân Bằng việc đưa bài toánvề cực tiểu phiếm hàm mục tiêu tương ứng, luận văn cũng trình bày lại cáchtính gradient của phiếm hàm mục tiêu trong trường hợp bài toán liên tục vàbài toán sau khi đã rời rạc Cuối cùng sử dụng thuật toán gradient liên hợpđể tìm cực tiểu của phiếm hàm mục tiêu đồng thời trình bày một số ví dụ sốđể minh họa cho tính hữu hiệu của thuật toán đã đề xuất.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị NgọcOanh và TS Bùi Việt Hương, hai cô đã giúp đỡ em trong quá trình thực hiệnvà hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này Em xin chân thành bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh và TS Bùi Việt Hương.

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Bằng sự biết ơn và kính trọng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Bangiám hiệu nhà Trường, Phòng Đào tạo - QLKH và HTQT cùng các thầy, côkhoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã nhiệttình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện đề tài.

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên emtrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 18 tháng 01 năm 2021Học viên

Nguyễn Thúy Dương

Trang 8

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả liênquan tới bài toán thuận, bài toán đồng hóa số liệu, bài toán biến phân, địnhlý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán thuận, đánh giá tiên nghiệm,phương pháp sai phân phân rã cho bài toán thuận, chứng minh sự hội tụ củalược đồ sai phân và đề xuất phương pháp Lanczos với cải tiến trực giao hóalại tại mỗi bước lặp để ước lượng các giá trị kì dị của toán tử quan sát.

1.1.Bài toán thuận và một số kiến thức bổ trợ

Cho Ω là một miền mở, giới nội trong R2 với biên ∂Ω Ký hiệu Q =Ω × (0, T ], S = ∂Ω × (0, T ] Xét bài toán giá trị ban đầu với điều kiện biênDirichlet sau đây

∂u∂t −

aij(x, t) ∂u∂xj

+ b(x, t)u = f (x, t), (x, t) ∈ Q, (1.1)

u|S = 0, (x, t) ∈ S, (1.2)u|t=0 = v(x), x ∈ Ω, (1.3)

trong đó v ∈ L2(Ω), g ∈ L2(S), f ∈ L2(Q).

Bài toán tìm nghiệm u(x, t) của hệ (1.1)–(1.3) khi các hệ số của phươngtrình (1.1) cùng điều kiện ban đầu v và vế phải f đã biết được gọi là bài toánthuận [8].

Để đưa ra khái niệm về nghiệm yếu của bài toán thuận, chúng tôi sử

Trang 9

dụng các định nghĩa về không gian Sobolev H1(Ω), H01(Ω), H1,0(Q), H1,1(Q)H01,0(Q) và H01,1(Q) tham khảo trong các tài liệu [6, 8].

Định nghĩa 1.1 Không gian H1(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàmu(x) ∈ L2(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂x∂u

i ∈ L2(Ω), i = 1, 2 với tích vô hướng(u, v)H1(Ω) :=

Định nghĩa 1.2 Không gian H01(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàmu(x) ∈ H1(Ω) và triệt tiêu trên biên ∂Ω, tức là

(u, v)H1,0(Q) :=Z

(u, v)H1,1(Q) :=Z

∂v∂xi +

Trang 10

Định nghĩa 1.7 (Khả vi Fréchet) Cho X, Y là các không gian Banach, Ulà lân cận của điểm x Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả vi Fréchet tại xnếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn

kF (x + h) − F (x) − AhkY

Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F.

Hơn nữa, cho không gian Banach B, ta định nghĩa

L2(0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B hầu khắp nơi với t ∈ (0, T ) và kukL2(0,T ;B) < ∞},trong đó

kuk2L2(0,T ;B) =Z T

ku(t)k2Bdt.Ta cũng định nghĩa

W (0, T ) = {u : u ∈ L2(0, T ; H01(Ω)), ut ∈ L2(0, T ; (H01(Ω))0)},với chuẩn

hut, ηiH−1(Ω),H1(Ω)dt+Z Z

∂xi+ b(x, t)uη−f ηi

∀η ∈ L2(0, T ; H01(Ω))(1.4)và

Trong tài liệu [8, tr 141–152] đã chỉ ra tính tồn tại duy nhất nghiệm củabài toán (1.1)–(1.3) trong không gian W (0, T ; H01(Ω)) Hơn nữa, tồn tại hằngsố dương cD không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu v và vế phải f (chỉ phụthuộc vào aij, b và Ω) sao cho

Trang 11

Để chứng minh lược đồ sai phân phân rã là ổn định ta cần sử dụng một sốbổ đề dưới đây

Bổ đề 1.1 ([4]) Cho toán tử A là nửa xác định dương và σ là một tham sốkhông âm, khi đó ta có đánh giá sau

Chứng minh Thật vậy, đặt T = (E − σA)(E + σA)−1, ta có

Bổ đề 1.2 Cho toán tử A là nửa xác định dương và σ là một tham số khôngâm, khi đó ta có đánh giá sau

Chứng minh Để chứng minh Bổ đề 1.2, ta cần sử dụng đánh giá sau

Trang 12

k(E + σA)−1(E − σA)(E + σA)−1ψk2

≤ k(E + σA)−1k2k(E − σA)(E + σA)−1k2kψk2≤ kψk2,

Mục tiếp theo chúng tôi đi vào giới thiệu bài toán đồng hóa số liệu và đưabài toán đồng hóa số liệu về bài toán biến phân thông qua phương pháp bìnhphương tối thiểu.

1.2.Bài toán đồng hóa số liệu

Bài toán đồng hóa số liệu: Từ một số các quan sát về nghiệm u(x, t)của bài toán (1.1)–(1.3) ta xây dựng lại điều kiện ban đầu v(x).

Như đã trình bày trong phần Lời nói đầu, bài toán đồng hóa số liệu là mộtdạng của bài bài toán ngược, cụ thể là bài toán ngược xác định lại điều kiệnban đầu của hệ (1.1)–(1.3).

Trang 13

Các quan sát ở đây đóng vai trò rất quan trọng, luận văn tập trung nghiêncứu bài toán đồng hóa số liệu ước lượng lại điều kiện ban đầu chưa biết từquan sát sau đây:

• Quan sát nghiệm tại thời điểm cuối u(x, T ) = ξ(x);• Quan sát tích phân trong miền

lu(x, t) =Z

ωi(x)u(x, t)dx = h(t), t ∈ (τ, T ),

trong đó ω(x) là các hàm trọng không âm với RΩωi(x)dx > 0.

Để nhấn mạnh sự phụ thuộc của nghiệm u(x, t) của bài toán (1.1)–(1.3)vào điều kiện ban đầu v, kí hiệu nghiệm là u(x, t; v) (đôi khi ta viết gọn làu(v) nếu không có gì nhầm lẫn) Từ các quan sát có được, sử dụng phươngpháp bình phương tối thiểu [6, 7, 8], ta thu được bài toán biến phân, tức làbài toán cực tiểu hóa các phiếm hàm mục tiêu tương ứng, cụ thể như sau

• Từ quan sát tại thời điểm cuối u(x, T ) = ξ(x), x ∈ Ω, xây dựng lại điềukiện ban đầu của bài toán (1.1)–(1.3), ta cực tiểu hóa phiếm hàm

J0(v) = 1

2ku(·, T ; v) − ξk2L2(Ω) (1.10)• Từ quan sát tích phân trong miền lu = h(t), xây dựng lại điều kiện banđầu của bài toán (1.1)–(1.3), ta cực tiểu hóa phiếm hàm

J0(v) = 1

2klu(x, ·; v) − hk2L2(0,T ) (1.11)Ta biết rằng các bài toán biến phân (1.10), (1.11) là không ổn định [6], vì vậythay vì sử dụng phiếm hàm mục tiêu J0 ta sử dụng phiếm hàm mục tiêu hiệuchỉnh Tikhonov Jγ được xác định như sau

Jγ(v) = J0(v) + γ

2kv − v∗k2L2(Ω) (1.12)với γ > 0 là tham số hiệu chỉnh Tikhonov và v∗ là ước lượng của v (ta có thểchọn v∗ = 0).

Tính tồn tại nghiệm của bài toán biến phân với phiếm hàm hiệu chỉnhTikhonov (1.12) đã được chứng minh là tồn tại nghiệm (tham khảo trong tàiliệu [2]).

Trang 14

Luận văn sử dụng thuật toán gradient liên hợp [7] (thuật toán CG) đểtìm cực tiểu phiếm hàm (1.12) Phương pháp này đòi hỏi phải sử dụng tớigradient của phiếm hàm mục tiêu Chương tiếp theo sẽ chỉ ra rằng phiếm hàmmục tiêu là khả vi theo nghĩa Fréchet và công thức gradient được tính thôngqua nghiệm của bài toán liên hợp Một trong những phương pháp hữu hiệuđể đạt được điều này là sử dụng công thức Green dựa trên bài toán thuận vàbài toán liên hợp được trình bày thông qua các định lý dưới đây [8].

Định lý 1.1 [8] Cho y ∈ W (0, T ; H01(Ω)) là nghiệm của bài toán

aij(x, t) ∂y∂xj

+ c0y = bQ trong Q,

y(ζ, t) = 0 trên S,y(x, 0) = bΩ trong Ω,

với các hệ số c0, bQ ∈ L∞(Q), bS ∈ L∞(S), và bΩ ∈ L∞(Ω).Xét bài toán liên hợp với nghiệm yếu p ∈ W (0, T ; H01(Ω))

aij(x, t) ∂p∂xj

+ c0p = aQ trong Q,

p(ζ, t) = 0 trên S,p(x, T ) = aΩ trong Ω,

aQydxdt =Z

bΩp(·, 0)dx +Z Z

c0ypdxdt =Z Z

Sử dụng công thức tích phân từng phần cho vế trái đẳng thức trên, ta nhận

Trang 15

Z T0

hyt, piH1(Ω)0,H1(Ω)dt −Z Z

∂Nypdsdt +Z Z

aij(x, t)yxjpxidxdt

+Z Z

c0ypdxdt =Z Z

Từ điều kiện biên của bài toán (1.13) ta có y(ζ, t) = 0 nên

Z T0

hyt, piH1(Ω)0,H1(Ω)dt +Z Z

aij(x, t)yxjpxidxdt +Z Z

=Z Z

Z T0

hyt, piH1(Ω)0,H1(Ω)+ a[t; y, p] dt =Z Z

bQpdxdt, (1.16)

trong đó a[t; y, p] là dạng song tuyến tính được xác định bởi

a[t; y, p] :=Z

−hpt, yiH1(Ω)0,H1(Ω)+ a[t; y, p] dt =Z Z

−hy, ptiH1(Ω)0,H1(Ω)+ a[t; y, p] dt + hy, pi|t=Tt=0 =

Z Z

hayZ T

−hpt, yiH1(Ω)0,H1(Ω) + a[t; y, p] dt =Z Z

(yp)|t=Tdx +Z

Trang 16

Chú ý rằng y(x, 0) = bΩ, và p(x, T ) = aΩ nên đẳng thức trên trở thànhZ T

−hpt, yiH1(Ω)∗,H1(Ω) + a[t; y, p] dt =Z Z

aΩy(T )dx +Z

Từ phương trình (1.17) và (1.18) ta cóZ Z

aQydxdt =Z Z

bQpdxdt −Z

aΩy(T )dx +Z

aΩy(T )dx =Z Z

bQpdxdt +Z

Ta có điều phải chứng minh.

1.3.Phương pháp số cho bài toán thuận

Luận văn sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để rời rạc hóa bài toánthuận (1.1)–(1.3) Sử dụng kĩ thuật được trình bày trong [6, 7], xây dựng lượcđồ sai phân cho công thức nghiệm yếu (1.4) thay vì xây dựng lược đồ sai phâncho bài toán gốc Ta rời rạc bài toán theo các biến không gian thuộc miền Ωđể đưa ra một hệ phương trình vi phân thường theo biến thời gian t, sau đóta tiếp tục rời rạc biến thời gian trên đoạn (0, T ] đưa bài toán về một chuỗicác hệ tuyến tính.

Trong mục này, ta tập trung nghiên cứu miền vật lý Ω dạng hình hộp trongkhông gian R2 và đạo hàm cấp hai trong phương trình (1.1) không xét cácđạo hàm hỗn hợp Trước khi đi vào chi tiết, ta viết lại bài toán với kiện biênDirichlet (1.1)–(1.3) trong trường hợp không chứa đạo hàm hỗn hợp như sau:

∂u∂t −

ai(x, t)∂u∂xi

Trang 17

và nghiệm yếu u(x, t) ∈ W (0, T ; H01(Ω)) của bài toán (1.19) thỏa mãn đồngnhất thức

∂xi +b(x, t)uη − f ηi

dxdt = 0,

∀η ∈ L2(0, T ; H01(Ω)),u|t=0 = v(x), x ∈ Ω.

1.3.1 Nội suy hàm lưới

Giả sử rằng miền Ω là miền hình hộp dạng Ω = (0, L1) × (0, L2) Ta chianhỏ miền Ω thành các hình hộp nhỏ bởi lưới đều xác định bởi

0 = x0i < x1i = hi < · · · < xNi

i = Li, i = 1, 2.Kí hiệu

• hi = Li/Ni là bước lưới trên trục xi, i = 1, 2;• k := (k1, k2), 0 ≤ ki ≤ Ni, i = 1, 2;

Trang 18

k∈ ¯Ωh

duk(t)dt η

Z Z

ai(x, t)∂u∂xi

∂xidxdt ≈ ∆hZ T

aki+(t)ukxi(t)ηxki(t)dt, (1.25)

Z Z

b(x, t)uηdxdt ≈ ∆hZ T

∆hZ T

i = X

k− uk−ei

h2i − aki+u

k+ei − uk

Trang 19

Thay vào phương trình (1.29), ta được hệ xấp xỉ dưới đây cho bài toán (1.20)

dt + (Λ1+ Λ2)¯u − ¯F = 0,¯

u(0) = ¯v.

với ¯u = {uk, k ∈ ¯Ωh}, hàm ¯v = {vk, k ∈ ¯Ωh} là hàm lưới xấp xỉ cho điều kiệnban đầu v và ¯F = {fk, k ∈ Ωh} với fk được xác định theo công thức (1.28).Ma trân hệ số Λi có dạng

(Λiu)¯ k = b

aki−h2i u

k − uk−ei−a

h2i u

k+ei − uk, 2 ≤ ki ≤ Ni− 2,aki−

h2i u

k − a

h2i u

k+ei − uk, ki = 1,aki−

uk − uk−ei+a

uk, ki = Ni− 1,

(1.32)Việc khẳng định các ma trận hệ số Λi trong công thức (1.32) là nửa xác địnhdương được chỉ ra trong bổ đề dưới đây.

Bổ đề 1.3 Với mỗi t, các ma trận hệ số Λi, i = 1, 2 là nửa xác định dương.Chứng minh Ta sẽ chứng minh Λ1 là nửa xác định dương, chứng minh làhoàn toàn tương tự với Λ2 Ta có

Trang 20

1+ + h2b(0,k2)2 U(0,k2)− a(0,k2)1+ U(1,k2)

.−a(N1,k2)

1− U(N1−1,k2)+ a(N1,k2)

1− + h2b(N1,k2)2 U(N1,k2)

.U(N1,k2)

Như vậy Λk1 là nửa xác định dương Ta có điều phải chứng minh.

1.3.2 Rời rạc biến thời gian và lược đồ sai phân phân rã

Tiếp theo ta tiến hành rời rạc biến thời gian t Ta chia đoạn [0, T ] thành Mđoạn con bởi các điểm ti, i = 0, , M, t0 = 0, t1 = ∆t, , tM = M ∆t = T Đểđơn giản các kí hiệu, ta đặt uk,m := uk(tm) Trong phần dưới đây, nếu khôngcó gì nhầm lẫn, ta tạm thời bỏ qua chỉ số không gian Kí hiệu Fm := ¯F (tm).Để thu được lược đồ sai phân phân rã cho bài toán Cauchy (1.31), ta đặtum+δ := ¯u(tm + δ∆t), Λmi := Λi(tm + ∆t/2) Khi đó lược đồ phân rã cho bàitoán (1.31) có dạng sau [6]

um+2n1 − um∆t

m+ ∆t8 Λ

Trang 21

um+n+12n − um+12∆t

m− ∆t8 Λ

mnFm,· · ·

um+2n−12n − um+2n−22n∆t

um+2n1 =E1− ∆t4 Λ

E2+ ∆t4 Λ

um+2n2 =E2− ∆t4 Λ

um+2n1 , .

En + ∆t4 Λ

um+12 − ∆t2 F

m=En− ∆t4 Λ

um+n−12n ,

En + ∆t4 Λ

um+n+12n =En − ∆t4 Λ

um+12 + ∆t2 F

.

E2+ ∆t4 Λ

um+2n−12n =E2− ∆t4 Λ

um+2n−22n ,

E1+ ∆t4 Λ

um+1 =E1− ∆t4 Λ

um+2n−12n ,u0 = ¯v.

trong đó Ei là các ma trận đơn vị tượng ứng với Λi, i = 1, 2 Lược đồ phânrã (1.35) có thể viết gọn dưới dạng sau

um+1 = Amum + ∆tBmFm,u0 = ¯v,

Am = Am1 · · · Am

nAmn · · · Am1 ,Bm = Am1 · · · Amn,

Trang 22

trong đó Ami = (Ei+ ∆t4 Λmi )−1(Ei− ∆t

4 Λmi ) Tính ổn định của lược đồ (1.36)được cho qua định lý dưới đây.

Định lý 1.2 Lược đồ phân rã (1.36) là ổn định.

Chứng minh Thật vậy, từ phương trình đầu tiên của (1.36), ta có

kum+1k ≤ kAmumk + ∆tkBmFmk≤ kAmkkumk + ∆tkBmkkFmk

≤ kAm1 k kAmn kkAmnk kAm1 kkumk + ∆tkAm1 k kAmnkkFmk.Hơn nữa, áp dụng Bổ đề 1.2, ta có

kAmi k = k(Ei+ ∆t4 Λ

i )−1(Ei− ∆t4 Λ

i )k ≤ 1.Vì thế, ta nhận được

kum+1k ≤ kumk + ∆tkFmk,kumk ≤ kum−1k + ∆tkFm−1k,

um+1 = Amum+ Fm, m = 0, 1, , M − 1,u0 = C,

Xét bài toán liên hợp sau đây

ηm = (Am+1)∗ηm+1+ Km+1, m = 0, 1, , M − 1,ηM = D.

Trang 23

Khi đó ta có công thức Green dạng rời rạc sau đây

Trang 24

Từ phương trình (1.40) và (1.41) ta nhận được đẳng thức sau

Ta nhận được điều phải chứng minh.