Ổn định và điều khiển một số lớp hệ phương trình suy biến có trễ

Luận án gồm bốn chương.Trong Chương 1, luận án trình bày một số kiến thức toán học cơ sở về hệ phương trình suy biến có trễ; giới thiệu bài toán ổn định và bài toán điều khiển: ổn định h

VIỆN TOÁN HỌC

ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH SUY BIẾN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Luận án nghiên cứu bài toán ổn định và bài toán điều khiển (ổn định hóa, điều khiển H∞ và đảm bảo giá trị điều khiển) trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình cỡ lớn tuyến tính suy biến có trễ Luận án gồm bốn chương.

Trong Chương 1, luận án trình bày một số kiến thức toán học cơ sở về hệ phương trình suy biến có trễ; giới thiệu bài toán ổn định và bài toán điều khiển: ổn định hóa, đảm bảo giá trị điều khiển, điều khiển H∞ và một số bổ đề bổ trợ dùng chứng minh các kết quả chính ở những chương sau.

Trong Chương 2, luận án trình bày một số điều kiện đủ giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình cỡ lớn tuyến tính suy biến liên tục có trễ và nhiễu bị chặn.

Trong Chương 3, luận án trình bày các điều kiện đủ thiết kế điều khiển phản hồi của bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình cỡ lớn tuyến tính suy biến liên tục có trễ Trong Chương 4, luận án trình bày một số kết quả mới giải hai bài toán điều khiển: đảm bảo giá trị điều khiển và điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình tuyến tính cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ.

i

The thesis studies finite-time stability and control problems (stabiliza-tion, H∞ control and guaranteed cost control) for linear singular large-scale systems with delays The thesis consists of four chapters and a list of references.

In Chapter 1, the thesis present necessary mathematical knowledge of singular differential equations with delays We provide basic concepts of some control problems: stabilization, guaranteed cost control, and H∞ control Some auxiliary lemmas to be used in the thesis are given.

In Chapter 2, the thesis propose sufficient conditions for solving the finite-time stability problem of linear singular large-scale continuous-time systems with delays and bounded disturbances.

In Chapter 3, the thesis provide sufficient conditions for designing feedback controllers for the guaranteed cost control problem of linear singular large-scale continuous-time systems with delays.

In Chapter 4, the thesis present some new results for solving the two control problems: finite-time guaranteed cost control and finite-time H∞ control of linear singular large-scale discrete-time systems with delays.

ii

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng mình, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Vũ Ngọc Phát Các kết quả viết chung với tác giả đã nhận được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là những kết quả trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Phạm Thị Hương

iii

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH Vũ Ngọc Phát tại Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã chỉ dạy tôi từ những ngày tôi mới chập chững tìm hiểu và nghiên cứu Toán học Tôi may mắn được Thầy hướng dẫn khi còn tham gia học Thạc sĩ tại Viện Toán học Sau khi hoàn thành việc học Thạc sĩ, Thầy vẫn luôn khuyến khích và động viên tôi tiếp tục học tập và nghiên cứu toán học.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tôi đi học và nghiên cứu tại Viện Toán học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các Thầy, Cô và anh chị em đồng nghiệp trong Khoa đã tạo điều kiện và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn của mình tới TS Nguyễn Trung Dũng, trưởng bộ môn Toán Ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn giúp đỡ tôi trong phân công giảng dạy để tôi có thể tập trung vào học tập và nghiên cứu toán học.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô, anh chị em phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học; seminar liên môn Toán Giải tích-Ứng dụng, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã cho phép tôi được trình bày một số kết quả nghiên cứu của mình trong quá trình học tập Tôi luôn trân trọng và biết ơn Viện Toán học, nơi có những Thầy, Cô đã dạy dỗ tôi, tạo môi trường học tập tốt nhất cho tôi; cảm ơn những anh chị Phòng, Ban đã luôn vui vẻ, giúp đỡ tôi mỗi khi tôi cần phải hoàn thiện hồ sơ Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Đào tạo Sau

iv

đại học, Viện Toán học, cảm ơn các anh chị em, bạn bè nghiên cứu sinh tại Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, động viên tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn chương trình “Nghiên cứu dành cho nghiên cứu sinh xuất sắc” của Trung tâm Quốc tế Đào đạo và Nghiên cứu Toán học đã hỗ trợ kinh phí để tôi có thể tập trung nghiên cứu và học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Viện nghiên cứu Cao cấp về Toán đã tạo điều kiện để tôi hoàn thiện bản thảo nghiên cứu và luận án của mình trong thời gian làm việc tại Viện, tạo điều kiện cho tôi được gặp gỡ trao đổi với các đồng nghiệp tới làm việc tại Viện.

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Huyền Mười, Viện Toán học, người đã hỗ trợ tôi từ khi tôi còn là học viên của Viện Toán học Tôi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Trường Thanh, đại học Bách Khoa Hà Nội, người đã định hướng cho tôi những bước đầu tiên trong việc vẽ mô phỏng trên Matlab Tôi xin cảm ơn các anh chị đồng môn, đã đưa ra những ý kiến cho những bản thảo, cách trình bày để tôi có thể hoàn thiện luận án của mình.

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới những người thân yêu của tôi: Bố, mẹ, anh chị em, chồng và con trai yêu của tôi, những người luôn đồng hành và bên cạnh tôi lúc tôi khó khăn và áp lực nhất Đặc biệt, tôi luôn cảm kích trước sự hi sinh của chồng tôi, người đã dành những gì tốt đẹp nhất cho tôi trong quãng thời gian qua để tôi có thể toàn tâm tập trung vào việc học.

Trân trọng

Lời cam đoan iii

1.1 Hệ phương trình suy biến có trễ 11 1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa trong thời gian hữu hạn 15 1.2.1 Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn 15 1.2.2 Bài toán ổn định hóa trong thời gian hữu hạn 20 1.3 Bài toán điều khiển H∞ 21 1.4 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển 22 3 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu

vi

3.1 Đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn 46 3.2 Một số nhận xét và ví dụ minh họa 58 3.3 Kết luận Chương 3 63 4 Bài toán điều khiển H∞ và đảm bảo giá trị điều khiển

trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có

4.1 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn 65 4.2 Đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn 75

R Tập các số thực

Rn Không gian Euclide n chiều

Rn×r Tập các ma trận thực kích thước (n × r) kxk Chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ Rn

xTy Tích vô hướng của véc tơ x và y trên Rn λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A Re λ Phần thực của giá trị riêng λ

λmin(A) min{Re λ : λ ∈ λ(A)} λmax(A) max{Re λ : λ ∈ λ(A)}

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Trong những thập kỷ gần đây, khi nghiên cứu về tính ổn định của các hệ động lực, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stability) của các hệ động lực thu hút nhiều sự chú ý của các nhà toán học bởi những ý nghĩa thiết thực của khái niệm này so với khái niệm ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn định Lyapunov Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học người Nga là Kamenkov vào năm 1953 ([36]) và Lebedev vào năm 1954 ([44]) trong các bài báo được đăng trên tạp chí “Journal of Applied Mathematics and mechanics” (PMM) bằng tiếng Nga Bản dịch tạp chí PMM từ tiếng Nga sang tiếng Anh các kết quả của Chzhan-Sy-In công bố vào năm 1959 cùng bản dịch những kết quả của Kamenkov và Lebedev được Hahn công bố vào năm 1963 đã giới thiệu rõ hơn khái niệm này cho các độc giả phương Tây ([20]) Năm 1961, lần đầu tiên các tạp chí phương Tây đã công bố một vài kết quả nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của Dorato dưới tiêu đề “short-time stability” (ổn định trong thời gian ngắn) thu hút nhiều hơn sự quan tâm của các độc giả ([18]): Nếu giá trị đầu vào của hệ bị chặn bởi một hằng số c1 thì quỹ đạo nghiệm của hệ sẽ bị chặn bởi một hằng số c2 và điều này đúng với mọi t ∈ [0, T ]

1

trong đó c1, c2, T là các hằng số cho trước Trong khi ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn định Lyapunov nghiên cứu dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian dài vô hạn, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn cung cấp cho ta thông tin về chặn trên, chặn dưới của quỹ đạo nghiệm của hệ động lực trong một khoảng thời gian hữu hạn cố định đã cho.

Trong suốt giai đoạn 1965-1975, các kết quả nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của các hệ động lực đã tập trung phân tích tính ổn định trong thời gian hữu hạn của các hệ đã cho hơn là thiết kế các hàm điều khiển để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn ([20]) Năm 1969, lần đầu tiên Garrard đã trình bày một kết quả về việc thiết kế một hàm điều khiển đảm bảo hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phi tuyến, kết quả này đã được Dorato và các cộng sự mở rộng và công bố thành một bài báo khoa học vào năm 1972 ([20]) Các kết quả ban đầu về bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn thu được từ việc đánh giá trực tiếp công thức nghiệm của hệ ([18]), nhưng do việc mô hình hóa các hệ động lực học, hệ robot, vv ngày càng trở nên gần với thực tế hơn dẫn tới việc tìm công thức nghiệm và đánh giá dáng điệu (tính bị chặn) trở nên khó khăn hơn Phần lớn các kỹ thuật thiết kế hàm điều khiển để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn được sử dụng trong giai đoạn 1969-1976 là các kỹ thuật với tính toán rất chuyên sâu và phức tạp ([20]) Năm 1997, lần đầu tiên Dorato và các cộng sự đã trình bày một thuật toán thiết kế hàm điều khiển phản hồi để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính bằng cách sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) ([19]) Cho tới nay, phương pháp xây dựng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính cho bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn được sử dụng rộng rãi với nhiều kết quả thu được ([1, 7, 20, 35, 48, 75, 85]) Năm 2014, Amato và các cộng sự công bố sách chuyên khảo “Finite-time stability and control” ([8]), trong đó đưa ra các phương pháp giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho một số hệ động lực, cũng như chỉ rõ những khác biệt của tính ổn định này so với ổn định cổ điển-ổn định

theo nghĩa Lyapunov Từ đó, bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn đã và đang thu hút các nhà nghiên cứu về lý thuyết điều khiển ([57, 58, 62, 63, 70, 76, 84, 88]), ứng dụng giải một số bài toán điều khiển như ổn định hóa (stabilization), điều khiển H∞ (H∞ control), đảm bảo giá trị điều khiển (guaranteed cost control), vv

Bài toán ổn định hóa (stabilization) trong thời gian hữu hạn là bài toán quan tâm tới việc khi hệ thống không ổn định trong thời gian hữu hạn đã cho, ta thiết kế một hàm điều khiển sao cho với hàm điều khiển này, hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn Bài toán này gắn liền với sự phát triển của bài toán phân tích tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ động lực.

Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn xuất phát từ bài toán điều khiển tối ưu được đề xuất bởi S.L Sheldon, S.S.L Chang và T.K.C Peng ([66]) Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển là bài toán thiết kế một hàm điều khiển để hệ thống không những là ổn định hóa mà còn đảm bảo một mức tựa tối ưu về hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Cho đến nay bài toán đảm bảo giá trị điều khiển được mở rộng và phát triển Trong các bài báo [5, 25, 40, 63, 72, 73], các tác giả đã công bố một kết quả về thiết kế hàm điều khiển phản hồi cho các lớp hệ không suy biến có trễ Các kết quả mở rộng cho các hệ suy biến cũng được nghiên cứu ([9, 63, 73, 74]) Chú ý rằng, phần lớn các kết quả này liên quan đến thiết kế hàm điều khiển phản hồi cho bài toán đảm bảo giá trị điều khiển theo ổn định Lyapunov Các kết quả nghiên cứu về bài toán đảm bảo giá trị điều khiển theo ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ suy biến có trễ còn ít Trong bài báo [41], các tác giả đã thiết lập các điều kiện đủ cho việc thiết kế các hàm điều khiển phản hồi của hệ cỡ lớn không suy biến có trễ Trong [74, 76] các tác giả đã đề xuất một số kết quả tương tự cho hệ cỡ lớn suy biến nhưng không có trễ.

Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn là bài toán xây dựng

hàm điều khiển phản hồi không những đảm bảo hệ thống là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo mức tựa tối ưu về hiệu suất của hệ thống (suboptimal level of performance) ([4, 14, 21, 27, 87]) Trong bài báo [80], Xu và các cộng sự đã nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho hệ suy biến không có trễ Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ suy biến rời rạc được nghiên cứu trong [51, 88] Với hệ cỡ lớn, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ có trễ được công bố trong [68] và sau đó, Li và các cộng sự đã mở rộng kết quả này cho hệ cỡ lớn suy biến ([47]) Có rất ít các kết quả nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho hệ cỡ lớn vừa suy biến vừa có trễ, đặc biệt các hệ cỡ lớn suy biến rời rạc có trễ.

Các hệ suy biến có trễ xuất hiện nhiều trong việc mô phỏng các hệ thống trong thực tế, được sử dụng để mô tả các đường truyền không mất mát (lossless transmission lines) ([11]), các hiện tượng chuyển động ngắn hạn của áp suất hơi nước tách ra trong quá trình kết hợp sản xuất nhiệt và điện ([32]), các hệ thống kỹ thuật hóa học ([37]) Hệ suy biến có trễ ngày càng được chú ý vì tầm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực học Năm 2002, Fridman và cộng sự đã giới thiệu một phép biến đổi mô hình suy biến (singular model transformation) cho các kiểu hệ thống có trễ (retarded system) và hệ trung lập (neutral system) ([24]) và được sử dụng để phát triển một số kết quả cho các hệ này ([33]).

Nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ suy biến có trễ phức tạp hơn nhiều so với nghiên cứu các hệ thông thường bởi:

ˆ Bài toán về sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của hệ suy biến không phải bao giờ cũng giải được, ngay cả với trường hợp hệ là hệ tuyến tính ([17, 30, 46]).

ˆ Xây dựng hàm Lyapunov và đánh giá đạo hàm của hàm Lyapunov là khó khăn và phức tạp hơn so với hệ thông thường ([20, 31, 38, 60, 73]).

ˆ Nghiệm của hệ suy biến có trễ thường xuất hiện thành phần dạng

xung (impulse) với trường hợp liên tục, và non-causal với trường hợp hệ là rời rạc ([17, 20, 85]), nên việc nghiên cứu các hệ suy biến có trễ đòi hỏi những phương pháp và kỹ thuật đánh giá riêng để đảm bảo bài toán ổn định có lời giải.

Lớp hệ được nghiên cứu trong luận án là lớp hệ cỡ lớn suy biến có trễ Nhiều hệ thống trong thực tế gồm các hệ thống con liên kết với nhau bởi một số lượng lớn các biến và có sự tương tác chặt chẽ với những cấu trúc phức tạp như: hệ thống kinh tế, hệ thống năng lượng, hệ thống điện, hệ thống giao thông vận tải, Những hệ thống như vậy được gọi là những hệ cỡ lớn ([49, 50, 52, 61, 67]) Mô hình của một hệ cỡ lớn có kích thước rất lớn, có thể gồm các yếu tố nhiễu và trễ kết nối cần được xem xét một cách cụ thể trong tất cả các bước phân tích và thiết kế Sự phức tạp của các hệ cỡ lớn làm cho việc áp dụng trực tiếp các kỹ thuật điều khiển thông thường trở nên không thích hợp hoặc thậm chí không thể thực hiện được, và đòi hỏi các phương pháp, kỹ thuật phân tích và thiết kế mới để phân tách toàn bộ hệ thống về các bài toán nhỏ hơn có thể giải quyết được ([50]) Việc định nghĩa chính thức cho hệ cỡ lớn, một cách khách quan, là không cần thiết Thay vào đó, một cách nhìn thực dụng hơn đã được áp dụng: một hệ thống được coi là cỡ lớn nếu nó cần thiết phải phân chia hay tổng hợp thành các bài toán con có thể giải được ([4]) Kết quả là hệ thống không còn được điều khiển bởi một bộ điều khiển duy nhất mà bởi nhiều bộ điều khiển độc lập cùng nhau đại diện cho một bộ điều khiển phân quyền.

Bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến, đặc biệt là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ trở nên phức tạp hơn không chỉ do số chiều lớn của phương trình hệ thống mà còn bởi những đặc điểm về cấu trúc của hệ có tính chất không những suy biến mà còn có trễ ([3, 13, 29]) Các bài toán xuất phát từ thực tế thường được mô tả bởi các hệ phương trình suy biến thay vì chỉ là hệ phương trình vi phân thường với những ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, kinh tế (Leontief dynamic model) ([49]), mạng lưới điện ([17]), hay trong cơ

Hình 1: Mô hình của hệ cỡ lớn (Xem [4])

học ([55]) Hơn nữa, hầu hết các quá trình vật lý, quá trình sinh học, hay hóa học, các hệ thống mô tả mạng lưới điện, hoạt động của lò phản ứng hạt nhân đều liên quan tới độ trễ thời gian ([38, 39]) “Trễ” là khái niệm mô tả trạng thái hoạt động của một hệ động lực không chỉ phụ thuộc vào thời điểm hiện tại quan sát, mà quỹ đạo của hệ còn phụ thuộc vào trạng thái của hệ cả thời điểm trước đó Một mô hình có trễ dễ dàng nhận thấy là mô hình hệ dân số ([22]) Độ trễ thời gian là nguồn gốc ảnh hưởng trực tiếp tới tính ổn định và gây hiệu suất kém (poor performance) cho các hệ động lực ([39, 59]) Cho đến nay đã có một số kết quả về bài toán ổn định và điều khiển của hệ cỡ lớn Phần lớn các kết quả này nhận được hoặc cho các hệ cỡ lớn không có trễ ([16, 54, 56, 65, 69, 74, 75]) hoặc liên quan tới bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov (asymptotic stability) cho hệ cỡ lớn không suy biến ([15, 41, 53, 62, 64, 78, 79, 83]) Theo tìm hiểu của chúng tôi, các kết quả đã công bố cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn còn ít, đặc biệt chưa có kết quả nghiên cứu nào về bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ Các tác giả trong [42, 71, 76] đã đề xuất một số điều kiện đủ giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn không suy biến hoặc không có trễ Hơn nữa, nghiên

cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ (interconnected delays) phức tạp hơn so với hệ không suy biến có trễ, thể hiện ở cấu trúc của lớp hệ này, bao gồm cả các phương trình vi phân có trễ lẫn các phương trình đại số có trễ Chính các lý do kể trên là động lực để chúng tôi chọn đề tài về bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến có trễ.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là:

ˆ Thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số.

ˆ Thiết kế hàm điều khiển phản hồi chấp nhận được sao cho hệ đóng của hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét là ổn định trong thời gian hữu hạn.

ˆ Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo giá trị điều khiển

ˆ Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo tính tựa tối ưu mức của hệ thống.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số bài toán định tính trong lý thuyết ổn định và điều khiển, gồm bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bài toán điều khiển trong thời gian hữu hạn (ổn định hóa, đảm bảo giá trị điều khiển, điều khiển H∞).

Phạm vi nghiên cứu của luận án là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số Đây là một lớp hệ phức tạp và có nhiều ứng dụng trong thực tế ([52, 67]).

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi đã sử dụng và mở rộng các phương pháp sau đây:

ˆ Phương pháp phân tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) ˆ Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii.

ˆ Kỹ thuật trong giải tích ma trận, đại số tuyến tính.

ˆ Công cụ LMI Control Toolbox trong Matlab để giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) và vẽ mô phỏng cho các kết quả.

4 Kết quả nghiên cứu và cấu trúc của luận án

Trong luận án này, kết quả đầu tiên chúng tôi nhận được là thiết lập được một số điều kiện đủ về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hằng số với số chiều thích hợp; ϕi(.) ∈ C([−d, 0]; Rni) là hàm trễ ban đầu cho trước; các hàm nhiễu wi(t) thỏa mãn điều kiện sau:

Kết quả tiếp theo chúng tôi thu được là thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian

hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ dạng: C([−d, 0], Rni), i = 1, K là hàm điều kiện ban đầu.

Cuối cùng, chúng tôi thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho bài toán điều khiển H∞ và bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ dạng:

trong đó zi(k) ∈ Rpi là hàm quan sát cùng giả thiết về các ma trận và hàm ban đầu được cho tương tự như các bài toán trước và hàm nhiễu wi(k) ∈ Rqi thỏa mãn điều kiện bị chặn:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu, danh mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương.

Chương 1 Cơ sở toán học

Chương 2 Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ.

Chương 3 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ.

Chương 4 Bài toán điều khiển H∞ và đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ.

Các kết quả của luận án được trình bày từ ba bài báo [1,2,3] liệt kê trong Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án Các kết quả đã được báo cáo tại:

- Seminar tại Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

- Seminar Giải tích-Ứng dụng, Khoa Toán, Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2.

- Hội thảo Một số hướng nghiên cứu chọn lọc trong Giải tích hiện đại, Trường đại học Khoa học, Đại học Huế, tháng 8 năm 2022.

- Hội thảo Khoa học các nhà nghiên cứu trẻ, Trường đại học Sư phạm

Cơ sở toán học

Trong chương này, luận án trình bày một số kiến thức toán học cơ bản dùng cho các chương sau, gồm: hệ phương trình suy biến có trễ, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn, các bài toán điều khiển liên quan, các bổ đề, mệnh đề bổ trợ dùng cho chứng minh các kết quả chính trong luận án Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [8, 17, 30, 81].

1.1Hệ phương trình suy biến có trễ

Xét hệ phương trình vi phân dạng:

f ( ˙x(t), x(t), u(t), t) = 0, t ≥ 0,

g(x(t), u(t), y(t), t) = 0, t ≥ 0, (1.1) trong đó x(t) là trạng thái của hệ, u(t) là hàm điều khiển đầu vào, y(t) là hàm đo được đầu ra, f và g là các hàm véc tơ của x(t), ˙x(t), u(t), y(t) và t Công thức (1.1), theo thứ tự được gọi là hệ trạng thái và hệ phương

trong đó E là ma trận suy biến; H, J là các hàm véc tơ của x(t), u(t) và t với số chiều thích hợp Các hệ được mô tả như trên được gọi là hệ suy biến Nếu H, J là các hàm tuyến tính của x(t), u(t) và t, hệ có dạng:

E ˙x(t) =Ax(t) + Bu(t), y(t) =Cx(t), t ≥ 0,

với x(t) ∈ Rn; u(t) ∈ Rm; y(t) ∈ Rr; E, A ∈ Rn×n; B ∈ Rn×m và C ∈ Rr×n là các ma trận hằng số; E là ma trận suy biến với rank E = r < n, khi đó hệ được gọi là hệ suy biến tuyến tính.

Việc nghiên cứu hệ suy biến đã bắt đầu từ cuối những năm 1970, mặc dù nó được nhắc đến lần đầu tiên vào năm 1973 (Singh and Liu, 1973) Trong nhiều bài báo, hệ suy biến còn được gọi là hệ mô tả các biến, hệ trạng thái tổng quát, hệ nửa ổn định, hệ phương trình vi phân đại số Hệ suy biến xuất hiện trong rất nhiều hệ thống như các hệ kỹ thuật (hệ động lực, hệ thống điện, hàng không vũ trụ ), hệ kinh tế xã hội, công nghệ sinh học ([17, 49, 55])

Tiếp theo, chúng tôi đi tìm hiểu sự tồn tại, tính duy nhất và cấu trúc nghiệm của hệ phương trình vi phân suy biến Xét hệ:

E ˙x(t) = Ax(t) + f (t), (1.2) trong đó A, E ∈ Rn×n và f (t) ∈ Rn; f (t) được xem là khả vi tới bậc cần thiết.

Định nghĩa 1.1.1 Hàm x(t) được gọi là nghiệm của hệ (1.2) trên khoảng (a, b) nếu x(t) là hàm khả vi liên tục trên (a, b) và khi thay x(t) vào hệ (1.2) thì ta được đẳng thức đúng với mọi t ∈ (a, b).

Khi E là ma trận suy biến, vấn đề tồn tại nghiệm của hệ (1.2) sẽ trở nên phức tạp hơn do ràng buộc đại số Trong luận án này, chúng tôi trình bày vấn đề tồn tại nghiệm của hệ suy biến tuyến tính theo kết quả trong [17, 30, 81].

Định nghĩa 1.1.2 ([17]) i) Cặp ma trận (E, A) được gọi là chính quy (regular) nếu tồn tại s ∈ C sao cho det (s.E − A) khác 0, hay đa

thức det (s.E − A) không đồng nhất bằng 0 ii) Cặp ma trận (E, A) được gọi là không có xung (impulse-free) nếu tồn tại s ∈ C sao cho deg(det (s.E − A)) = r = rank E.

Theo [17], để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.2) thì E, A là các ma trận vuông, cặp (E, A) là chính quy và f (t) là hàm khả vi tới bậc cần thiết.

Bổ đề 1.1.3 ([17]) Cặp ma trận (E, A) là chính quy khi và chỉ khi tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q sao cho:

QEP = diag(In1, N ), QAP = diag(A11, In2), (1.3) trong đó n1+n2 = n, A11 ∈ Rn1×n1, N ∈ Rn2×n2 là ma trận lũy linh cấp k Bổ đề 1.1.4 ([82]) Giả sử rằng cặp ma trận (E, A) là chính quy và tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q sao cho điều kiện (1.3) xảy ra Khi đó cặp ma trận (E, A) là không có xung (impulse-free) khi và chỉ khi N = 0.

Theo Bổ đề 1.1.3, khi hệ (1.2) chính quy, tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q sao cho QEP = diag(In1, N ) với ma trận lũy linh N có chỉ số k Khi đó k được gọi là chỉ số của hệ (1.2) Nếu hệ (1.2) có chỉ số k = 1 hay N = 0, hệ sẽ có tính chất không có xung Kết hợp với tính chất chính quy ở trên, hệ (1.2) sẽ có nghiệm duy nhất không có xung.

Khi hệ (1.2) là chính quy, với phép biến đổi y1(t)

Nhận xét 1.1.5 Tính khả vi hoặc liên tục của y2(t) phụ thuộc vào các đạo hàm của hàm f2(t) Nếu hệ (1.2) chính quy và không có xung, khi đó N = 0 và có nghiệm y2(t) = −f2(t) Do đó nếu f (t) là hàm liên tục thì y2(t) là liên tục và tính không có xung của hệ (1.2), trong trường hợp này nghĩa là nghiệm của hệ (1.2) là liên tục.

Các khái niệm chính quy và không có xung (impulse-free) cũng được xét cho các hệ suy biến có trễ Xét hệ suy biến có trễ dạng:

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A, D, E ∈ Rn×n; E là ma trận suy biến với rank E = r < n; d > 0 là trễ hằng số, ϕ(t) ∈ C([−d, 0], Rn) là hàm giá trị ban đầu.

Định nghĩa 1.1.6 ([81]) Hệ (1.5) được gọi là chính quy và không có xung nếu cặp ma trận (E, A) là chính quy và không có xung.

Mệnh đề 1.1.7 ([81]) Giả sử cặp ma trận (E, A) là chính quy và không có xung, khi đó hệ (1.5) luôn có nghiệm duy nhất không có xung xác định

Mệnh đề 1.1.8 ([30, 81]) Hệ (1.5) là chính quy và không có xung nếu ma trận A22 khả nghịch hay det(A22) 6= 0.

1.2Bài toán ổn định và ổn định hóa trong thời gian hữu hạn

Xét hệ phương trình:

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(0) = x0, (1.6) trong đó x(t) ∈ Rn, f (.) : R+× Rn

→ Rn.

Định nghĩa 1.2.1 ([8]) Cho trước thời điểm ban đầu t0, số dương T và hai tập X0, X1 trong Rn Hệ (1.6) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stable) theo bộ (t0, T, X0, X1) nếu:

x(t0) ∈ X0 ⇒ x(t) ∈ X1, t ∈ [t0, t0 + T ] (1.7) Trong trường hợp hệ có dạng:

˙x(t) = Ax(t), x(0) = 0, (1.8) trong đó x(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn được phát biểu cụ thể như sau:

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử T, c1, c2 là các số dương và R là ma trận đối xứng xác định dương cho trước Hệ (1.8) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R) nếu:

x>(0)Rx(0) ≤ c1 ⇒ x>(t)Rx(t) < c2, t ∈ [0, T ].

Các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (1.8) được thiết lập qua định lí sau.

Định lí 1.2.3 ([19]) Hệ (1.8) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R) đã cho nếu tồn tại số không âm α và một ma trận đối xứng xác định dương Q ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau:

trong đó hàm nhiễu w(t) ∈ Rl thỏa mãn điều kiện w>(t)w(t) ≤ d; A ∈ Rn×n, G ∈ Rn×l, F Amato và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (1.9) như sau:

Định nghĩa 1.2.4 ([6]) Cho trước các số dương d, T, c2 > c1 và R là ma trận đối xứng xác định dương Hệ (1.9) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R, d), nếu

x>0Rx0 < c1 ⇒ x>(t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ], ∀w(t) : w>(t)w(t) ≤ d Định lí sau đây cho ta một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (1.9).

Định lí 1.2.5 ([6]) Hệ (1.9) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R, d) nếu tồn tại một hằng số dương α, và hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rl×l sao cho các điều kiện sau

Với hệ suy biến tuyến tính, các kết quả khởi đầu nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn đã được trình bày trong [35] Xét hệ phương trình suy biến tuyến tính dạng: là ma trận thực đối xứng xác định dương, Wk là không gian chứa các điều kiện ban đầu tương thích để hệ có nghiệm trơn; J = {t : t0 ≤ t ≤ t0+ T } với T là số dương cho trước, (T có thể là +∞.)

Định nghĩa 1.2.6 ([35]) Hệ (1.10) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {J, α, β, Q}, α < β nếu:

k x(t0) kQ< α ⇒k x(t) kQ< β,

với mọi t ∈ J, ∀x(t0) = x0 ∈ Wk và Q = E>P E trong đó P là ma trận đối xứng xác định dương.

Định lí 1.2.7 ([35]) Hệ (1.10) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {J, α, β, Q}, α < β nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

trong đó x(t) là véc tơ trạng thái, A0, A1 là các ma trận hằng số cho trước với số chiều thích hợp, τ > 0 là trễ thời gian, Ψx(t) là hàm điều kiện ban đầu Đặt Sβ là tập các trạng thái chấp nhận được của hệ và Sα là tập chứa các trạng thái ban đầu của hệ sao cho Sα ⊆ Sβ, trong đó

Sρ = {x :k x(t) k2Q< ρ}, với Q là ma trận thực đối xứng xác định dương.

Định nghĩa 1.2.8 ([43]) Hệ (1.11) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (ξ(.), β, τ ) nếu: với Φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.11).

Định lí 1.2.9 ([43]) Hệ (1.11) với điều kiện ban đầu đã cho là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (α, β, τ, T ) nếu:

k Φ(t) k< pβ/α

1 + τ k A1 k, ∀t ∈ [0, T ], trong đó k k là chuẩn Euclide.

Xét hệ tuyến tính suy biến có trễ dạng: là véc tơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến, ϕ(t) ∈ C([−τ, 0], Rn) là hàm điều kiện ban đầu, τ > 0 là trễ hằng số Tính chính quy, không có xung của hệ (1.12) được định nghĩa tương tự trong Định nghĩa 1.1.6.

Định nghĩa 1.2.10 ([12]) Hệ (1.12) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (α, β, Γ ), α < β nếu:

ϕ>(t)ϕ(t) ≤ α ⇒ x>(t)E>Ex(t) < β, ∀t ∈ Γ, với Γ = [t0, t0 + T ] ⊆ R.

Định lí sau đây trình bày điều kiện đủ để hệ (1.12) là ổn định trong thời gian hữu hạn.

Định lí 1.2.11 ([12]) Hệ thỏa mãn điều kiện chính quy, không có xung (1.12) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {α, β, T }, α < β, nếu tồn tại một số dương η thỏa mãn các điều kiện sau:

1.2.2Bài toán ổn định hóa trong thời gian hữu hạn

Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình dạng:

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.13) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ L2([0, +∞), Rn) là véc tơ điều khiển, hàm f là hàm cho trước thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.2.12 ([8]) Hệ (1.13) được gọi là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn (finite-time stabilization) nếu tồn tại hàm h : Rn → Rm, h(0) = 0, sao cho với điều khiển phản hồi u(t) = h(x(t)), thì hệ đóng

˙x(t) = f (x(t), h(x(t))), t ≥ 0 (1.14) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (t0, T, X0, Xt) đã cho.

Đối với hệ tuyến tính có điều khiển dạng:

với x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái; A, B là các ma trận hằng số nhận giá trị thực với số chiều thích hợp; u(t) = Kx(t) ∈ Rm là hàm điều khiển phản hồi, F Amato và các cộng sự trong [8] đưa ra quy tắc thiết kế điều khiển phản hồi và điều kiện đủ để kiểm tra tính ổn định trong thời gian hữu hạn như sau:

Định lí 1.2.13 ([6]) Cho các số dương T , c2 > c1, và ma trận đối xứng xác định dương R Giả sử tồn tại ma trận xác định dương Q ∈ Rn×n, ma trận N ∈ Rm×n và số α > 0 thỏa mãn các điều kiện sau:

A eQ + eQA> + BN + N>B>− α eQ < 0, cond(Q) < c2

−αT.

Khi đó, hệ (1.15) là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R) Ma trận điều khiển phản hồi được xác định bởi K = N eQ−1, trong đó eQ = R−12 QR−12 và cond(Q) = λmax(Q)

1.3Bài toán điều khiển H∞

Với bài toán ổn định hóa, khi hệ thống có chứa nhiễu, trong nhiều trường hợp, ta không chỉ quan tâm tới việc thiết kế một hàm điều khiển phản hồi để hệ là ổn định mà còn quan tâm tới việc hàm điều khiển này cần phải đảm bảo tác dụng của nhiễu gây ra là nhỏ hơn một hạn mức cho trước Bài toán này được gọi là bài toán điều khiển H∞.

Ký hiệu H∞ được đặt theo tên của nhà toán học G H Hardy (H viết tắt của chữ Hardy), người đã nghiên cứu về lý thuyết không gian H∞ vào năm 1915 ([86]) Năm 1981, G Zames đã áp dụng thành công lý thuyết này vào điều khiển, lần đầu tiên đưa bài toán thiết kế điều khiển cho hệ thống một đầu vào và một đầu ra về bài toán tựa tối ưu.

Phương pháp thường được sử dụng để giải quyết bài toán điều khiển H∞ cho các hệ suy biến có trễ là phương pháp hàm chuyển (miền tần số) (the transfer function method) và phương pháp chức năng (miền thời gian) (the functional method) ([30]) Trong phương pháp hàm chuyển, một bộ điều khiển ổn định sẽ được thiết kế sao cho hàm chuyển vòng kín kết quả từ nhiễu w(.) tới hàm đầu ra được kiểm soát z(.), ký hiệu là Tzω

càng nhỏ càng tốt, nghĩa là ảnh hưởng của nhiễu lên đầu ra được kiểm soát là tối thiểu hóa Hàm chuyển Tzω là một hàm tần số, khó có thể xác định xem nó lớn hay nhỏ Do vậy, chuẩn H∞ (k.k∞) được sử dụng như một đại lượng đo lường kích thước của hàm chuyển Thông thường,

hiệu quả của hệ thống do phản ánh tỉ số cực đại của năng lượng tín hiệu đầu ra kzk2 với năng lượng tín hiệu đầu vào kwk2, nghĩa là tỉ số hiệu chỉnh năng lượng cực đại của hệ thống Trong thực tế ω(.) là hàm nhiễu đầu vào và z(.) là hàm lỗi (hàm ta muốn giảm thiểu) Do đó, việc nghiên cứu chuẩn H∞ đã và đang trở thành vấn đề thời sự trong lý thuyết cũng như áp dụng chúng trong thực tế.

Mục đích của bài toán điều khiển H∞ là thiết kế các điều khiển chấp nhận được K nhằm giảm thiểu ảnh hưởng của các tín hiệu lỗi z(.) Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được phát biểu như sau: Cho trước số dương γ > 0 và T > 0, tìm điều khiển phản hồi u(t) sao cho hệ đóng của hệ đang xét là ổn định trong thời gian hữu hạn và điều kiện sau thỏa mãn:

1.4Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển

Trong các bài toán kỹ thuật, ngoài việc tìm cách thiết kế một hệ thống điều khiển cho hệ điều khiển là ổn định, ta còn quan tâm tới việc hàm điều khiển đó đảm bảo một mức độ đầy đủ về hiệu suất Bài toán thiết kế một hàm điều khiển để hệ không những ổn định mà còn đảm bảo rằng một hàm chi phí toàn phương liên hệ với hệ thống có giá trị hữu

hạn, đảm bảo một mức độ đầy đủ về hiệu suất được gọi là bài toán đảm bảo giá trị điều khiển.

Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển xuất phát từ các bài toán điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính Xét hệ có dạng:

với T > 0 và các ma trận không âm U ∈ Rn×n, V ∈ Rm×m Gọi UΩ là lớp các hàm điều khiển chấp nhận được đưa hệ từ trạng thái x0 về trạng thái x1 Bài toán điều khiển tối ưu là bài toán tìm một hàm điều khiển u∗(t) ∈ UΩ sao cho J (T, u∗(t)) = min

J (T, u) Khi đó u∗(t) được gọi là hàm điều khiển tối ưu và J (T, u∗(t)) được gọi là giá trị tối ưu Lớp hàm điều khiển chấp nhận được UΩ thường là lớp hàm có tính chất đặc biệt nào đó (lồi, compact, liên thông, ) do các hàm điều khiển thường chịu một số hạn chế nào đó, phụ thuộc vào cấu trúc của đối tượng sử dụng nó Ví dụ như, hàm điều khiển u(t) trong quá trình vật lý sẽ là năng lượng, nhiệt độ, cường độ dòng điện, điện thế, Do vậy những hàm này không thể cho tùy ý mà phải chịu hạn chế nào đó như không được vượt quá mức cho phép (giới nội), phải nằm trong một lớp hàm quy định cho trước (đo được, liên tục, khả vi, ) ([2]) Thông thường lớp hàm UΩ thường được quy định là lớp hàm L2([0, T ], Rn) Bài toán này đã được giải quyết bằng một số phương pháp như nguyên lý cực đại Potriagin hay trong quy hoạch toàn phương tuyến tính.

và hàm chi phí toàn phương dạng:

với T > 0 và các ma trận không âm U ∈ Rn×n, V ∈ Rm×m cho trước Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu bao gồm bài toán ổn định hóa và bài toán tối ưu mức: Tìm hàm điều khiển u∗(t) ∈ US (lớp tất cả các hàm điều khiển để hệ đóng của hệ (1.17) là ổn định) và hàm chi phí J (T, u∗(t)) = min

J (T, u) Do lớp các hàm điều khiển chấp nhận được US không có các tính chất tô pô, giải tích (liên thông, compact, lồi, ) nên bài toán này đến nay chưa giải được Một giải pháp đặt ra là thay vì đi tìm một hàm điều khiển u∗(t) ∈ US để J (T, u∗(t)) = min

J (T, u), ta cần tìm một hàm điều khiển u∗(t) ∈ US sao cho với hàm điều khiển này hàm chi phí là hữu hạn và có giá trị càng nhỏ càng tốt (dưới tối ưu, tựa tối ưu) Vậy, bài toán đảm bảo giá trị điều khiển của hệ (1.17) là bài toán tìm một hàm điều khiển u∗(t) và một số J∗ > 0 sao cho với hàm điều khiển vừa tìm được, hệ (1.17) là ổn định và J (T, u∗) ≤ J∗ Khi đó J∗ được gọi là giá trị đảm bảo điều khiển và u∗(t) được gọi là hàm điều khiển đảm bảo giá trị.

Bổ đề 1.5.3 Cho các ma trận hằng E, X ∈ Rn×n với X là ma trận đối xứng xác định dương Ta có:

−XE>X−1EX ≤ −XE>− EX + X.

Chứng minh: Từ Bổ đề 1.5.2, cho a = X−1/2EXz; b = X1/2z; R = In

trong đó z ∈ Rn, In là ma trận đơn vị cỡ n, khi đó ta thu được

Bổ đề 1.5.4 (Phân tích giá trị kỳ dị, [28]) Cho ma trận E ∈ Rn×n với rank E = r ≤ n Khi đó, tồn tại hai ma trận trực giao U, V ∈ Rn×n sao cho:

E = U ΣV>,

trong đó Σ là ma trận đường chéo, với các phần tử trên đường chéo chính là σ1, σ2, , σr, 0, , 0 với σ1 ≥ σ2 ≥ ≥ σr > 0.

Bổ đề 1.5.5 ([28]) Cho ma trận suy biến E ∈ Rn×n với rank E = r < n Khi đó, tồn tại hai ma trận không suy biến M, N có số chiều thích hợp

Bổ đề 1.5.6 ([77]) Cho ma trận suy biến E ∈ Rn×n với rank E = r < n Khi đó, luôn tồn tại ma trận N có số chiều thích hợp sao cho rank N =

Bài toán ổn định trong

thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ

Việc đề xuất một số điều kiện đủ giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của các hệ cỡ lớn không suy biến hoặc không có trễ đã được xem xét trong một số tài liệu như [42, 71, 76] Trong chương này, bằng việc xây

với giả thiết về các ma trận, véc tơ được cho trong chương, kết hợp phương pháp phân tích giá trị kì dị khi đưa hệ phương trình suy biến về hệ phương trình vi phân thường và hệ đại số, luận án đã xây dựng các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn tuyến tính suy biến có trễ thông qua Định lí 2.1 Các điều kiện được thiết lập chứa các bất đẳng thức ma trận tuyến tính phức tạp được giải với sự hỗ trợ của công cụ Matlab Thêm vào đó, một ví dụ về mô hình hoạt động của một động cơ máy với 3 hệ thống con được trình bày để minh họa cho kết quả thu được Nội dung được trình bày trong chương dựa trên bài báo [1] trong danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.

26

2.1Điều kiện đủ về tính ổn định trong thời số với số chiều thích hợp; ϕi(.) ∈ C([−d, 0]; Rni) là hàm trễ ban đầu cho trước; các hàm nhiễu wi(t) thỏa mãn điều kiện sau:

là một hệ phương trình vi phân suy biến có đa trễ Theo Mệnh đề 1.1.7, nếu cặp ma trận ( ˆE, ˆA) chính quy và không có xung, hệ (2.3) có nghiệm duy nhất, không có xung trên [0, ∞) Mặt khác, đặc điểm của hệ (2.1) là hệ cỡ lớn với các giả thiết được đưa ra cho từng hệ con cụ thể, nếu đưa hệ về dạng (2.3), các điều kiện xây dựng cho tính ổn định là rất khó khăn (cỡ của ma trận lớn, không tận dụng được các giả thiết đã cho) Hơn nữa, tính chính quy và không có xung của các cặp ma trận (Ei, Ai) là tương đương với tính chính quy và không có xung của cặp ma trận ( ˆE, ˆA) Vì vậy, chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn dựa trên các giả thiết cụ thể của các hệ con dạng (2.1).

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) được gọi là chính quy nếu: (i) det(sEi− Ai) không đồng nhất bằng không (ii) không có xung nếu deg(det(sEi − Ai)) = ri = rank Ei, i = 1, K, s ∈ C.

Định nghĩa 2.1.2 Cho trước các số dương c1, c2, T và ma trận xác định dương R > 0, hệ (2.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R) nếu hệ là chính quy, không có xung và thỏa mãn điều kiện sau:

{ϕ>(s)Rϕ(s)} ≤ c1 → x>(t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0, T ], với mọi hàm nhiễu wi(t) thỏa mãn điều kiện (2.2).

Từ giả thiết rank Ei = ri < ni, theo Bổ đề 1.5.5 tồn tại hai ma trận

Định lí 2.1.4 Cho trước các số dương T, c1, c2, (c2 > c1) và các ma trận đối xứng xác định dương Ri ∈ Rni×ni, i ∈ 1, K Khi đó, hệ (2.1) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1, c2, T, R1, , RK) nếu tồn tại các ma trận không suy biến Pi, các ma trận đối xứng xác định dương Qi, các ma trận tự do Ui, i = 1, K và một số β > 0 thỏa mãn các điều kiện sau: PiEi = Ei>Pi> ≥ 0; (2.5)