Tôi xin cám ơn Ban Giám Hiệu cùng tồn thể các thầy cơ đồng nghiệptrường THPT Bình Lư nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốtthời gian học tập, nghiên cứu để tơi có thể t
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ LIÊN VỀ CÁC SỐ FIBONACCI VÀ LUCAS BẬC k TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thu Hằng Thái Nguyên – 2024 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất của mình tới cô giáo TS Nguyễn Thu Hằng người luôn tận tụy hết lòng hướng dẫn tôi, tạo mọi điều kiện giúp đỡ trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường, các thầy cô giáo trong khoa Toán- Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin cám ơn Ban Giám Hiệu cùng toàn thể các thầy cô đồng nghiệp trường THPT Bình Lư nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu để tôi có thể tập trung hoàn thiện luận văn đúng tiến độ Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, anh chị đã động viên giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian tôi thực hiện luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024 Học viên Hoàng Thị Liên ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Về các số Fibonacci và các số Lucas 3 1.2 Các số Fibonacci và số Lucas bậc k tổng quát 8 2 Về tính chất của các số Fibonacci và Lucas bậc k tổng quát 22 2.1 Một số liên hệ giữa các số Fibonacci và số Lucas tổng quát bậc k 22 2.2 Công thức Binet tổng quát 26 2.3 Biểu diễn tổ hợp của các số Fibonacci và số Lucas bậc k tổng quát 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Một số ký hiệu và viết tắt N tập số tự nhiên tập số nguyên Z dãy số Fibonacci dãy số Lucas (Fn)n∈N dãy Fibonacci bậc k tổng quát thứ n dãy Lucas bậc k tổng quát thứ n (Ln)n∈N tổng của các số Fibonacci bậc k tổng quát gni Vandermonde cỡ k × k lni Sn hệ số nhị thức thứ m của n B n m iv Mở đầu Dãy Fibonacci và dãy Lucas là hai dãy số nổi tiếng thường được nghiên cứu một cách song hành Tương tự như dãy Fibonacci, dãy Lucas cũng được định nghĩa rằng mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền kề trước nó, tuy nhiên giá trị bắt đầu của dãy Lucas sẽ khác Hai dãy này có nhiều mối quan hệ qua lại giữa các số hạng, chẳng hạn như việc cộng hai số Fibonacci bất kỳ cách nhau hai số hạng sẽ tạo ra số Lucas ở giữa Trong những thập kỷ gần đây, người ta thường đặt vấn đề nghiên cứu các mở rộng của hai dãy này Khi xét các mở rộng thì các bài toán có liên quan đặt ra là: hệ thức truy hồi của dãy mới là gì, số hạng tổng quát có thể tìm được hay không và các mối liên hệ giữa các số hạng trong dãy của hai dãy mở rộng này có tương tự như hai dãy ban đầu, Một trong những phương pháp được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng trong việc giải quyết các vấn đề kể trên đối với các mở rộng của dãy Fibonacci và dãy Lucas là dùng ma trận để nghiên cứu, cách giải quyết này mang lại nhiều kết quả thú vị và đặc biệt là đưa ra cách quan sát rất rõ ràng khi làm việc với các mở rộng khó Đề tài luận văn "Về các số Fibonacci và Lucas bậc k tổng quát" nghiên cứu về một mở rộng hai dãy Fibonacci và Lucas cổ điển bằng cách mỗi số hạng của dãy sẽ bằng tổng của k số hạng trước nó Bằng phương pháp ma trận, nhiều tính chất về sự mở rộng này được trình bày lại và từ đó có thể đưa ra các tính chất đã có hoặc bổ sung thêm các tính chất mới cho các dãy ban đầu 1 2 Luận văn được chia thành hai chương chính Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kiến thức chuẩn bị về hai dãy số Fibonacci và Lucas như: Định nghĩa, công thức Binet về số hạng tổng quát, một số mối liên hệ giữa số hạng của hai dãy và đưa ra định nghĩa, ví dụ về hai dãy số Fibonacci và Lucas bậc k tổng quát Chương 2 Về tính chất của các số Fibonacci và Lucas bậc k tổng quát Chương 2 là nội dung chính của luận văn Chúng tôi trình bày một số tính chất của hai dãy số Fibonacci và Lucas bậc k tổng quát như: các mối liên hệ giữa các số hạng trong hai dãy đó, hoặc giữa các số hạng của hai dãy với nhau và đưa ra công thức Binet biểu diễn số hạng tổng quát của hai dãy mở rộng này Cuối cùng chúng tôi biểu diễn lại một số tính chất về tổ hợp của chúng Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày lại định nghĩa của dãy Fibonacci và dãy Lucas cùng với công thức Binet về số hạng tổng quát và một số các liên hệ giữa các số hạng của hai dãy Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại định nghĩa về hai dãy số Fibonacci và số Lucas bậc k tổng quát Chúng tôi đưa ra biểu diễn ma trận của hai dãy này nhằm phục vụ cho hầu hết các chứng minh của chương sau Tất cả các kết quả của chương này đều nằm trong các tài liệu tham khảo [1, 2, 4, 6, 7] 1.1 Về các số Fibonacci và các số Lucas Trước hết chúng tôi nhắc lại về dãy Fibonacci quen thuộc Định nghĩa 1.1.1 Dãy Fibonacci, ký hiệu là (Fn)n∈N, được định nghĩa bởi công thức truy hồi sau đây: (1.1) F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2, với mọi n ≥ 2 Ta gọi Fn là số hạng thứ n của dãy Fibonacci Nói cách khác ta có dãy Fibonacci 3 là dãy số sau đây 4 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Chúng ta có kết quả đầu tiên về công thức Binet để biểu diễn số hạng tổng quát của dãy Fibonacci như sau Bổ đề 1.1.2 Cho n ≥ 0 là số tự nhiên Khi đó số hạng tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức Fn = 1 + √5 n 1 − √5 n − 2√2 5 Chứng minh Từ hệ thức truy hồi (1.1) của dãy Fibonacci ta có Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0, với mọi n 2 Do đó ta có phương trình đặc trưng (1.2) x2 − x − 1 = 0 Phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm là: √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = 2 , λ2 = 2 Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.1) là: Fn = c1λ1n + c2λn2 , trong đó c1, c2 là các hằng số tự do Với F0 = 0, F1 = 1 ta có c1 + c2 = 0, c1λ1 + c2λ2 = 1, 5 hay 1 √ c1 = 5 , c2 1 5 = −√ Ta suy ra điều phải chứng minh Bổ đề tiếp theo nói về mối liên hệ giữa các số hạng trong dãy Fibonacci Bổ đề 1.1.3 Cho (Fn)n∈N là dãy Fibonacci Khi đó ta có Fm = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1, (1.3) với mọi 1 ≤ k ≤ m Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo k như sau Với k = 1 ta có F2Fm−1 + F1Fm−2 = Fm−1 + Fm−2 = Fm Giả sử bổ đề đúng với mọi k, tức là Fm = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1 Với k + 1 ta có Fk+2Fm−(k+1) + Fk+1Fm−(k+1)−1 = Fk+2Fm−k−1 + Fk+1Fm−k−2 = (Fk+1 + Fk)Fm−k−1 + Fk+1Fm−k−2 = Fk+1(Fm−k−1 + Fm−k−2) + FkFm−k−1 = Fk+1Fm−k + FkFm−k−1 = Fm Từ đó ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.4 Công thức trong Bổ đề 1.1.3 còn có thể được viết dưới dạng Fm+n = FmFn−1 + Fm+1Fn (1.4) Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu lại về dãy Lucas và dãy k−Lucas, trong đó dãy k−Lucas là một mở rộng của dãy Lucas quen thuộc Trước hết, chúng tôi nhắc lại về dãy Lucas như sau 6 Định nghĩa 1.1.5 Dãy Lucas, ký hiệu là (Ln)n∈N, được định nghĩa bởi công thức truy hồi sau đây: (1.5) L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2, với mọi n 2 Ta gọi Ln là số hạng thứ n của dãy Lucas Nói cách khác ta có dãy Lucas (Ln)n∈N là dãy số sau đây 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, Bổ đề 1.1.6 Cho n 0 là một số tự nhiên, số hạng tổng quát của dãy Lucas được cho bởi công thức 1 + √5 n 1 − √5 n Ln = + 2 2 Chứng minh Từ hệ thức truy hồi (1.5) của dãy Lucas ta có Ln − Ln−1 − Ln−2 = 0, với mọi n 2 Do đó ta có phương trình đặc trưng (1.6) x2 − x − 1 = 0 Phương trình đặc trưng (1.6) có hai nghiệm là: √ √ 1+ 5 1− 5 γ1 = 2 , γ2 = 2 Do đó công thức nghiệm tổng quát của Dãy số (1.5) là: Ln = t1γ1n + t2γ2n, trong đó t1, t2 là các hệ số