luận văn thạc sĩ bài toán giá trị riêng bậc hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017 c Mục lục Mở đầu Danh sách ký hiệu Bài toán giá trị riêng bậc hai 1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Một số thuật tốn tìm giá trị riêng 1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng Bài toán giá trị riêng bậc hai 13 1.2.1 Khái niệm 13 1.2.2 Tuyến tính hóa toán giá trị riêng bậc hai 15 1.2.3 Bộ ba Jordan Q(λ ) 18 1.2.4 Một số tính chất toán giá trị riêng bậc hai 19 Một số ứng dụng khác toán giá trị riêng bậc hai 21 1.2 1.3 1.3.1 Biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 21 1.3.2 Bài toán hạn chế bình phương nhỏ 22 1.3.3 Một vài ví dụ 23 Giải số toán giá trị riêng bậc hai 2.1 26 Phương pháp số cho toán đặc 26 2.1.1 26 Phương pháp Newton c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng 28 2.2 Phương pháp số cho toán thưa 29 2.3 Ví dụ số 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai Mở đầu Trong chương trình đại học sinh viên giới thiệu toán giá trị riêng bậc tiêu chuẩn Trong đó, có nhiều tốn, đặc biệt lĩnh vực học, qui tốn giá trị riêng bậc hai, ta đưa toán giá trị riêng suy rộng bậc một, mặt khác nghiên cứu độc lập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Bài tốn giá trị riêng bậc hai" Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1: Bài toán giá trị riêng bậc hai Chương chúng tơi trình bày khái niệm tốn giá trị riêng bậc hai, tính chất ứng dụng toán giá trị riêng bậc hai Chương 2: Giải số toán giá trị riêng bậc hai Chương trình bày vài phương pháp giải tốn giá trị riêng bậc hai Chúng tơi chia tốn hai loại dựa kích thước tốn dạng liệu Bài tốn đặc (thơng thường) cỡ tốn nhỏ Cịn tốn thưa tốn có kích cỡ lớn liệu dạng thưa Căn vào đặc điểm tốn, phương pháp giải có nhiều khác biệt Chúng tơi trình bày phương pháp Newton phương pháp phân tích Schur cho tốn đặc phương pháp dựa khơng gian Krylov cho tốn thưa Ngồi có thêm vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Em muốn gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Thanh Sơn giúp đỡ, hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để em hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, gia đình luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai tơi bạn lớp cao học toán K9Y tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học thực luận văn Trong q trình viết luận văn khơng tránh khỏi sai sót mong nhận góp ý chân thành độc giả Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Phí Thị Nho luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: A ma trận A AT chuyển vị ma trận thực A A∗ = (A)T liên hợp phức ma trận A A liên hợp số phức ma trận A ker(A) nhân ma trận A span(A) không gian sinh cột ma trận A A > (A ≥ 0) ma trận A xác định dương (nửa xác định dương) deg(P) bậc đa thức P det(A) định thức ma trận A rank(B) hạng ma trận B QEP toán giá trị riêng bậc hai ||x|| chuẩn Ơclit ∇P gradien P K j (x, A) không gian Krylov luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai Chương Bài tốn giá trị riêng bậc hai Nội dung chương định nghĩa, tính chất số ứng dụng toán giá trị riêng bậc hai Tuy nhiên, dành thời lượng đáng kể cho việc trình bày tốn giá trị riêng tiêu chuẩn toán giá trị riêng suy rộng Lí ta chuyển toán giá trị riêng bậc hai toán giá trị riêng bậc để giải Thêm vào đó, nhiều phương pháp giải số toán bậc hai xuất phát từ ý tưởng tương tự cho toán bậc Khi viết chương tham khảo tài liệu [1–3] 1.1 1.1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn Khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vng A ∈ Rn×n Tìm đại lượng vô hướng λ ∈ R véc tơ x ∈ Rn , x 6= 0, cho: Ax = λ x (1.1) (A − λ I)x = (1.2) hay có nghiệm khơng tầm thường Cho cặp (λ , x) nghiệm (1.1) (1.2) tương ứng (1) λ gọi giá trị riêng A; luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai (2) x gọi véc tơ riêng A; (3) (λ , x) gọi cặp riêng A; (4) Đặt σ (A) tất giá trị riêng A gọi phổ A; (5) Tất véc tơ riêng có giá trị riêng λ với véc tơ tạo thành không gian tuyến tính R gọi khơng gian riêng λ ; (6) Một nghiệm không tầm thường y y∗ A = λ y∗ gọi véc tơ riêng trái tương ứng với λ Một véc tơ riêng trái A véc tơ riêng phải AT tương ứng với giá trị riêng λ , ta viết : AT y = λ y 1.1.2 Một số thuật tốn tìm giá trị riêng • Cơ sở trực giao cho không gian Krylov Cho không gian Krylov K j (x) = K j (x, A) ta lấy {x, Ax, , A( j−1) x}, làm hệ sinh Tuy nhiên vectơ Ak x hội tụ đến vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có modul lớn A nên chúng sớm có xu hướng phụ thuộc tuyến tính Do q trình trực giao hố Gram-Schmidt áp dụng cho vectơ sở để tìm sở trực chuẩn không gian Krylov Giả sử {q1 , q2 , , qi } sở trực chuẩn cho K i (x), i ≤ j Chúng ta xây dựng vectơ q j+1 cách trực chuẩn hóa A j x với q1 , q2 , , q j j y j := A x − ∑ qi q∗i A j x, j i=1 sau chuẩn hóa vectơ kết q j+1 = y j /||y j || luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai Ta {q1 , q2 , , q j+1 } sở trực chuẩn K j+1 (x), gọi chung sở Arnoldi Các vectơ gọi vectơ Arnoldi tương ứng Các vectơ qi tính sau K j+1 (x, A) = ℜ([x, Ax, , A j x]), (q1 = x/||x||), = ℜ([q1 , Aq1 , , A j q1 ]) (Aq1 = αq1 + β q2 , β 6= 0), = ℜ([q1 , αq1 + β q2 , A(αq1 + β q2 ), , A j−1 (αq1 + β q2 )]), = ℜ([q1 , q2 , Aq2 , , A j−1 q2 ]), = ℜ([q1 , q2 , , q j−1 , Aq j ]) Vì vậy, thay trực chuẩn hoá A j q1 với q1 , q2 , , q j , trực chuẩn hố Aq j với q1 , q2 , , q j để có q j+1 Điều có lợi mặt tính tốn giúp giảm số phép tính cần thực Các thành phần r j Aq j trực chuẩn với q1 , q2 , , q j cho j r j = Aq j − ∑ qi (q∗i Aqi ) (1.3) i=1 Nếu r j = thủ tục dừng lại Điều có nghĩa tìm thấy không gian bất biến, cụ thể span{q1 , q2 , , q j } Nếu ||r j || > ta có q j+1 q j+1 = rj ||r j || Do q j+1 r j phương, ta có q∗j+1 r j = ||r j || = q∗j+1 Aq j (1.4) Phương trình cuối suy từ việc q j+1 trực chuẩn với tất vectơ Arnoldi trước Đặt hij = q∗i Aq j (1.3) - (1.4) viết j+1 Aq j = ∑ qihij i=1 luan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hailuan.van.thac.si.bai.toan.gia.tri.rieng.bac.hai c (1.5)