luận văn thạc sĩ bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH HIẾU BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH HIẾU BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 Bài toán cân 1.1 Bài toán cân trường hợp riêng 1.1.1 Bài toán tối ưu 1.1.2 Bài toán điểm bất động Brouwer 1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát 1.1.4 Bài toán cân Nash 1.2 Định nghĩa tính đơn điệu, giả đơn điệu mạnh song hàm 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân Thuật toán chiếu giải toán cân giả đơn điệu mạnh 2.1 Thuật toán chiếu cho toán cân giả đơn điệu mạnh 2.2 Các thuật toán tốc độ hội tụ chúng 13 13 17 2.2.1 Thuật toán hội tụ tuyến tính 17 2.2.2 Thuật tốn khơng cần biết số Lipschitz 23 2.2.3 Thuật tốn khơng có điều kiện Lipschitz 25 c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh ii 2.3 Ví dụ áp dụng 29 Kết luận Đề nghị 33 Tài liệu tham khảo 34 luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam), người trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên em suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy, khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán ứng dụng K7A quan tâm, động viên, giúp đỡ thời gian học tập trình làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy, tồn thể bạn đọc NGUYỄN THỊ MINH HIẾU Học viên Cao học Toán K7A, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh iv Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định đây: N tập số tự nhiên R tập hợp số thực H khơng gian Hilbert ha, bi tích vơ hướng vectơ a b ∂f (x) vi phân hàm f x PC (x) hình chiếu (theo chuẩn) x lên tập C luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh Mở đầu Bài tốn cân hay cịn gọi bất đẳng thức Ky Fan đề tài quan tâm nghiên cứu, tốn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Hơn nhiều toán quan trọng toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Brouwer, tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác mơ tả toán cân Một hướng nghiên cứu quan tâm nhiều phương pháp giải thông thường Để xây dựng phương pháp giải, người ta phải có điều kiện đặt lên song hàm toán, điều kiện thường sử dụng tính đơn điệu song hàm Bản luận văn nhằm mục đích tổng hợp kiến thức toán cân Luận văn nghiên cứu toán cân với song hàm giả đơn điệu mạnh Cụ thể luận văn đề cập tới tồn nghiệm toán cân giả đơn điệu mạnh, luận văn giới thiệu số thuuật toán để giải toán đơn điệu mạnh Cuối giới thiệu mơ hình sản xuất điện Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Nguyễn Thị Minh Hiếu Học viên Cao học Toán K7A Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: ntmhieu.gv08@tuyenquang.edu.vn luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh Chương Bài toán cân Trong chương giới thiệu tốn cân trình bày số trường hợp riêng điển hình tốn Tiếp đến ta khảo sát số tính chất đơn điệu, đặc biệt song hàm giả đơn điệu mạnh Cuối chương xét đến tồn nghiệm toán cân với song hàm giả đơn điệu mạnh Các kết chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] 1.1 Bài toán cân trường hợp riêng Cho H không gian Hilbert thực với Tôpô yếu xác định tích vơ hướng h.i ứng với chuẩn k.k Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H song hàm f : C × C → R thỏa mãn f (x, x) = với x ∈ C Một hàm f gọi song hàm cân Chúng ta xét toán cân định nghĩa sau: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , x) ≥ 0, ∀x ∈ C (EP) Bài toán lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda nhằm tổng quát hóa tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác vào năm 1972, Ky Fan giới thiệu năm 1972 thường gọi bất luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh đẳng thức Ky Fan Bài toán (EP ) cịn đặt tên tốn cân tác giả L D Muu W Oettli năm 1992, E Blum W Oettli giới thiệu năm 1994; Bài toán cân (EP ) bao gồm số tốn như: tốn tối ưu hóa, điểm n ngựa, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động mơ hình cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác v.v 1.1.1 Bài tốn tối ưu Xét toán {ϕ (x) : x ∈ C} Đặt f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) Khi ϕ (x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy toán tối ưu trường hợp riêng toán (EP ) 1.1.2 Bài toán điểm bất động Brouwer Giả sử C ⊂ H tập lồi compact khác rỗng ánh xạ đơn trị F : C → C Khi tốn điểm bất động có dạng sau: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ = F (x∗ ) Đặt f (x, y) = hx − F (x), y − xi , ∀x, y ∈ C Khi tốn (F P ) trở thành toán cân (EP ) luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c (FP) luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh Tổng quát hơn, toán điểm bất động ánh xạ đa trị (M F P ) tốn: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ ∈ F (x∗ ), với F : C → 2C ánh xạ đa trị có giá trị lồi compact khác rỗng Khi đó, x∗ ∈ C nghiệm toán (M F P ) x∗ nghiệm toán cân (EP ) 1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát n Cho T : C → 2R ánh xạ nửa liên tục cho T (x) tập compact, lồi ∀x ∈ C Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân tổng quát phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C, ξ ∗ ∈ T (x) cho hξ ∗ , y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C (1.1) Nếu ta đặt f (x, y) := max hξ, y − xi , ∀x, y ∈ C ξ∈T (x) tốn cân (EP ) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân tổng quát Thật vậy, x∗ ∈ C nghiệm tốn (1.1) nên ta có: hξ ∗ , y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C, ξ ∗ ∈ T (x∗ ) Mặt khác theo cách đặt ta được: f (x∗ , y) = ∗max∗ hξ ∗ , y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C ξ ∈T (x ) Vậy x∗ ∈ C nghiệm toán (EP ) Ngược lại, cho x∗ ∈ C nghiệm toán (EP ), nghĩa luan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manhluan.van.thac.si.bai.toan.can.bang.voi.song.ham.gia.don.dieu.manh c