(LUẬN văn THẠC sĩ) tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH THU TRANG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, thầy giảng dạy cao học ngành Tốn học dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập trường Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè người bên cạnh cổ vũ, động viên giúp đỡ Đặc biệt cho gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình người chăm lo, động viên cổ vũ tinh thần cho Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014 Học viên Trịnh Thu Trang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên 1.1 1.2 Chuyển động Brown tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai 1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 10 1.1.4 Biến phân chéo chuyển động Brown 11 1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown 12 1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown 15 Tích phân Itơ, công thức Itô 18 1.2.1 Xây dựng tích phân Itơ 18 1.2.2 Tích phân Itô hàm ngẫu nhiên bậc thang 19 1.2.3 Một số tính chất tích phân Itô hàm ngẫu nhiên bậc thang 20 1.2.4 Tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên 21 1.2.5 Tính chất tích phân Itô hàm ngẫu nhiên 21 1.2.6 Biến phân bậc hai tích phân Itơ 22 1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.2.8 Ingersoll-Ross 24 Công thức Itô nhiều chiều 26 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.2 Tính chất Markov 29 1.3.3 Mật độ chuyển 29 1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov 30 1.3.5 Liên hệ tính tốn ngẫu nhiên phương trình lùi 1.2.9 1.3 Giá trị trung bình phương sai trình Cox- Kolmogorov 31 1.3.6 Định lý Girsanov độ đo trung hòa rủi ro 32 1.3.7 Biểu diễn Martingale 39 1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều 39 Tính tốn ngẫu nhiên số mơ hình tài 2.1 2.2 Mơ hình Black-Scholes 41 47 2.2.1 Mơ hình thị trường d-chiều 47 2.2.2 Mơ hình thị trường hai chiều 48 2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out 53 2.4 Quyền chọn kiểu châu Á 60 2.4.1 Định lý Feynman-Kac 61 2.4.2 Xây dựng bảo hộ 62 2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á 63 Lý thuyết độ chênh thị giá 64 2.5.1 Mơ hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ 64 2.5.2 Thiết lập mơ hình liên tục 67 2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 69 2.5.4 Thực định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 72 2.5 Mơ hình thị trường nhiều chiều 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.6 Quyền chọn rào cản 73 2.6.1 Tính tốn giá trị quyền chọn 76 2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn 2.6.3 ngồi rảo cản 78 Bảo hộ 80 Kết luận 82 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Mở đầu Toán tài ngành tốn học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài Tốn tài nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dưng mơ hình tốn học ứng dụng chúng việc tính tốn thị trường tài thực Đây lĩnh vực Việt Nam Nội dung luận văn trình bày số lý thuyết giải tích ngẫu nhiên ứng dụng vào lĩnh vực tài Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên Chương 2: Tính tốn ngẫu nhiên số mơ hình tài Trong chương 1, kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho luận văn Ở đây, trình bày chuyển động Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale Trong chương 2, trình bày ứng dụng giải tích ngẫu nhiên vào tài chính, cụ thể mơ hình Black-Sholes, mơ hình thị trường hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết độ chênh thị giá, quyền chọn rào cản Tuy có nhiều cố gắng, luận văn tránh (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh thiếu sót Tơi mong nhận bảo góp ý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Chương Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên 1.1 Chuyển động Brown tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1 Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, trình ngẫu nhiên B (t, w) : [0, ∞) × Ω → R thỏa mãn điều kiện sau: i) B (0) = 0, tức P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) hàm liên tục theo t, iii) Nếu = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn , Y1 = B (t1 ) − B (t0 ), , Yn = B (tn ) − B (tn−1 ), gia số Y1 , Y2 , , Yn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Yj ∼ N (0, tj − tj−1 ) ∀j (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai Biến phân bậc hai thước đo cho biến động Đầu tiên ta xem xét biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V (f ) hàm f (t) Hình 1.1: Hàm f (t) Đối với hàm f (t) hình trên, biến phân khoảng [0, T ] cho bởi: F V[0,T ] (f ) = [f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )] Z t1 Z t2 Z T 0 = f (t)dt + (−f (t))dt + f (t)dt t1 T Z t2 |f (t)|dt = Như biến phân đo tổng lượng biến động lên xuống quỹ đạo chuyển động Định nghĩa chung biến phân sau: Định nghĩa 1.1.2 Cho phân hoạch π = {t0 , t1 , tn } đoạn [0, T ], cho: = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = T ||π|| = max (tk+1 − tk ) k=0, ,n−1 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Biến phân hàm f đoạn [0, T ] xác định bởi: n−1 X F V[0,T ] (f ) = lim ||π||→0 |f (tk+1 ) − f (tk )| k=0 Giả sử f khả vi Định lý giá trị trung bình nghĩa đoạn [tk , tk+1 ] có điểm t∗k f (tk+1 ) − f (tk ) = f (t∗k )(tk+1 − tk ) Nên n−1 X n−1 X |f (tk+1 ) − f (tk )| = k=0 |f (t∗k )| (tk+1 − tk ), k=0 F V[0,T ] (f ) = n−1 X E X F(s) = E XZ(t) F(s) Z(s) Bổ đề 1.3.3 Dùng kết định lý Girsanov ta có tính chất martingale sau:  e B e (t) F(s) = B e (s), E  ≤ s ≤ t ≤ T Định nghĩa 1.3.1 (Độ đo tương đương)Hai độ đo không gian xác suất, có tập độ đo-khơng gọi tương đương Hai độ đo xác suất Pe P định lý Girsanov tương đương Thật vậy, độ đo Pe xác định Z Pe(A) = Nếu P (A) = R A Z(T )dP, Z(T )dP = Vì Z(T ) > với w, ta đảo ngược lại cơng thức tính Pe để Z P (A) = dPe, Z(T ) A Nếu Pe(A) = R A A ∈ F A ∈ F dP = Z(T ) Độ đo trung hòa rủi ro Định nghĩa 1.3.2 Độ đo trung hòa rủi ro (hay độ đo martingale) độ đo xác suất tương đương với độ đo xác suất P thị trường mà giá chiết khấu tài sản thị trường martingale Ví dụ 1.3.6 Cho cổ phiếu sau: dS(t) = µ(t)S(t)dt + σ(t)S(t)dB (t) 36 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Q trình µ(t) σ(t) thích nghi với lọc F(t) Gọi r(t), ≤ t ≤ T lãi xuất, X(0) = x dX(t) ∆(t)dS(t) + r(t)[X(t) − ∆(t)S(t)]dt   µ(t) − r(t) = r(t)X(t)dt + ∆(t)σ(t)S(t) dt +dB (t) σ(t) | {z } phí rủi ro =θ(t) = Q trình chiết khấu:  R  Rt − 0t r(u)du d e S(t) = e− r(u)du [−r(t)S(t)dt + dS(t)]  R  Rt − 0t r(u)du d e X(t) = e− r(u)du [−r(t)X(t)dt + dX(t)]  R  − 0t r(u)du = ∆(t)d e S(t) Đặt β(t) = e Rt r(u)du Rt = e− r(u)du β(t)   r(t) d dt =− β(t) β(t) , dβ(t) = r(t)β(t)dt, Do   S(t) = d β(t) [−r(t)S(t)dt + dS(t)] β(t) [(µ(t) − r(t))S(t)dt + σ(t)S(t)dB (t)] = β(t) = σ(t)S(t)[θ(t)dt + dB (t)], β(t)     X(t) S(t) d = ∆(t)d β(t) β(t) ∆(t) = σ(t)S(t)[θ(t)dt + dB (t)] β(t) Thay đổi độ đo Ta xác định độ đo sau: Z t e (t) = B θ(u)du + B (t) 37 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Khi   S(t) d = β(t)   X(t) d = β(t) Vì độ đo xác suất Pe, S(t) β(t) e (t), σ(t)S(t)dB β(t) ∆(t) e (t) σ(t)S(t)dB β(t) S(t) β(t) martingale Định lý Girsanov nhiều chiều Định lý 1.3.4 (Định lý Girsanov d-chiều) • Cho B (t) = (B1 (t), , Bd (t)), ≤ t ≤ T , gọi chuyển động Brown d-chiều không gian xác suất (Ω, F, P ); • F(t), ≤ t ≤ T lọc kèm, rộng lọc xây dựng B ; • θ(t) = (θ1 (t), , θd (t)), ≤ t ≤ T q trình thích nghi d-chiều Cho ≤ t ≤ T , xác định Z t f Bj (t) = θj (u)du + Bj (t), j = 1, , d   Z t Z t kθ(u) duk , Z(t) = exp − θ(u).dB (u) − 0 Z Pe(A) = Z(T )dP A độ đo Pe, trình e (t) = (B f1 (t), , B fd (t)), B ≤ t ≤ T, chuyển động Brown d-chiều 38 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh 1.3.7 Biểu diễn Martingale Định lý biểu diễn Martingale chiều Định lý 1.3.5 Cho B (t), ≤ t ≤ T chuyển động Brown không gian xác suất (Ω, F, P ) thỏa mãn lọc F(t), ≤ t ≤ T Lấy X(t), ≤ t ≤ T martingale độ đo P Khi tồn q trình thích nghi δ(t), ≤ t ≤ T , cho: Z t X(t) = X(0) + δ(u)dB (u), ≤ t ≤ T Đặc biêt quỹ đạo X liên tục Nhận xét Nếu X(t) trình thỏa mãn dX(t) = X(0) + δ(u)dB (u), ≤ t ≤ T X(t) martingale Ngược lại X(t) martingale thích nghi với lọc xây dựng chuyển đông Brown B (t), tức chuyển động Brown B (t) nguồn trình ngẫu nhiên X(t) dX(t) = δ(t)dB (t) 1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều Định lý 1.3.6 (Biểu diễn Martingale d- chiều) • Cho B (t) = (B1 (t), , Bd (t)), ≤ t ≤ T , gọi chuyển động Brown d-chiều không gian xác suất (Ω, F, P ); • F(t), ≤ t ≤ T lọc kèm, rộng lọc xây dựng B ; Nếu X(t), ≤ t ≤ T martingale độ đo P lọc F(t), ≤ t ≤ T , có q trình thích nghi d-chiều θ(t) = (θ1 (t), , θd (t)), thỏa mãn Z t X(t) = X(0) + δ(u).dB (u), ≤ t ≤ T 39 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Hệ 1.3.1 Nếu có q trình thích nghi d-chiều θ(t) = (θ1 (t), , θd (t)), e , Z, Pe định lý Girsanov Nếu ta xác định giá trị B Y (t), ≤ t ≤ T martingale độ đo Pe thích nghi lọc F(t), ≤ t ≤ T tồn q trình thích nghi d-chiều γ(t) = (γ1 (t), , γd (t)) thỏa mãn Z Y (t) = Y (0) + t e (u), γ(u).dB ≤ t ≤ T 40 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Chương Tính tốn ngẫu nhiên số mơ hình tài 2.1 Mơ hình Black-Scholes Năm 1973, hai nhà tốn học Mỹ Fisher Black Myron Scholes công bố báo quan trọng định giá quyền chọn Từ đời mơ hình Black-Scholes để định giá tài sản không rủi ro thị trường với thời gian liên tục Mơ hình Black-Scholes mơ tả phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau: dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB (t) Nhà đầu tư có tài sản ban đầu X0 thời điểm t mua ∆(t) cổ phiếu Giá cổ phiếu mơ hình chuyển động Brown hình học sau: dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dB (t) 41 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Phương án đầu tư có lãi suất vay cho vay r Gọi X(t) tài sản phương án đầu tư thời điểm t Thì dX(t) = ∆(t)dS(t) + r[X(t) − ∆(t)dS(t)]dt = ∆(t)[µS(t)dt + σS(t)dB (t)] + r[X(t) − ∆(t)dS(t)]dt = rX(t)dt + ∆(t)S(t) (µ − r) dt + ∆(t)S(t)σdB (t) | {z } phí rủi ro Giá trị quyền chọn Xét quyền chọn kiểu châu Âu với giá g(S(T )) thời điểm T Lấy v(t, x) biểu thị giá quyền chọn thời điểm t giá cổ phiếu S(t) = x Nói cách khác giá trị quyền chọn thời điểm t ∈ [0, T ] là: v(t, x) = v(t, S(t)) Vi phân giá trị là: dv(t, S(t)) = vt dt + vx dS + vxx dSdS = = vt dt + vx [µS(t)dt + σSdB ] + vxx σ S dt 2 [vt + µSvx + σ S vxx ]dt + σSvx dB Với phương án đầu tư có phịng hộ khởi điểm với vài tài sản ban đầu X0 phải đầu tư cho tài sản X(t) thời điểm giá trị v(t, S(t)) Từ ta thấy: dX(t) = [rX + ∆(µ − r)S] + σS∆dB , X(t) = v(t, S(t)) với t,ta cân hệ số hai phương trình Cân hệ số dB ta tính : ∆(t) = vx (t, S(t)), gọi luật phòng hộ-∆ Cân hệ số dt ta tính được: vt + µSvx + σ S vxx = rX + ∆(µ − r)S 42 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh Từ ta có, ∆ = vx , ta cần X = v Như vậy, vt + µSvx + σ S vxx = rv + vx (µ − r)S, v = v(t, S(t)) S = S(t) Do vt + rSvx + σ S vxx = rv Tóm lại, ta coi v nghiệm phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes vt (t, x) + rxvx (t, x) + σ x2 vxx (t, x) = rv(t, x) thỏa mãn điều kiện cuối v(T, x) = g(x) Một phương án đầu tư bắt đầu với X0 = v(0, S(0)) dùng bảo hộ ∆(t) = vx (t, S(t)) với giá trị t, X(t) = v(t, S(t)) Đặc biệt T, X(T ) = g(S(T )) Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên: dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB (t), với điều kiện ban đầu là: S(t) = x Nghiệm phương trình là: S(u) = x exp {σ(B (u) − B (t)) + (r − σ )(u − t)}, u ≥ t Như vậy, v(t, x) = = E t,x h(S(T ))    Eh x exp σ(B (T ) − B (t)) + (r − σ )(T − t) , h hàm xác định sau 43 (LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh(LUAN.van.THAC.si).tinh.toan.ngau.nhien.trong.tai.chinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com