(LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình tích phân abel tổng quát trên trục thực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QT TRÊN TRỤC THỰC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Tính chất tích phân kỳ dị tốn bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tính chất tích phân kỳ dị 1.3.1 Đổi biến tính tích phân phần 1.3.2 Tớnh liờn tc Hăolder ca tích phân dạng Cauchy 1.3.3 Cơng thức Sokhotski 1.3.4 Giá trị biên đạo hàm tích phân kỳ dị 1.3.5 Đạo hàm giá trị biên tích phân kỳ dị 1.4 Bài toán bờ Riemann miền đơn liên 1.5 Bài toán bước nhảy 1.5.1 Chỉ số hàm số 1.5.2 Bài toán 1.5.3 Hàm tắc tốn 1.5.4 Bài toán bờ Riemann không 1.5.5 Bài toán bờ Riemann nửa mặt phẳng 1.6 Phương trình đặc trưng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng tốn bờ Riemann 1.6.2 Cơng thức nghiệm phương trình đặc trưng 3 5 10 17 18 19 20 21 22 25 26 29 31 34 35 Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn 39 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển 39 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh hàm số 41 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng đoạn hữu hạn 43 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Tích phân với nhân lũy thừa Phương trình tích phân Abel suy rộng Ví dụ 43 44 48 Phương trình tích phân Abel tồn trục thực 50 3.1 Phương trình Abel suy rộng trục thực 50 3.2 Phương trình Abel suy rộng trục thực với phản xạ 52 3.3 Ví dụ áp dụng 56 Kết luận 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc Mở đầu Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị tốn bờ Riemann hàm giải tích biến phức xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Carleman Từ nhiều năm nay, chun đề tốn tử tích phân kỳ dị gắn với tốn bờ lý thuyết hàm giải tích đưa vào chương trình thống cho sinh viên năm cuối bậc đại học, học viên cao học nghiên cứu sinh chun ngành Giải tích Chính vậy, tác giả chọn đề tài "Phương trình tích phân Abel tổng quát trục thực." Đề tài nhằm phần đáp ứng nhu cầu mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy Tốn cao cấp trường đại học Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, q thầy tham gia giảng dạy khóa học, gia đình, bạn bè tồn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khóa học hồn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Tính chất tích phân kỳ dị tốn bờ Riemann Chương Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc Chương Phương trình tích phân Abel tồn trục thực Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ cịn hạn chế nên kết đạt luận văn cịn khiêm tốn khơng tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận ý kiến đóng góp, bảo q báu q thầy cơ, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Học viên thực Vũ Thị Hồng Anh (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc Chương Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Phương trình tích phân phương trình mà hàm số chưa biết có xuất dấu tích phân Ví dụ 1.1 Xét phương trình tích phân Zx K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.1) a Zx ϕ(x) + K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.2) a Phương trình (1.1) gọi phương trình tích phân loại 1, cịn phương trình (1.2) gọi phương trình tích phân loại 2, K(x, t), f (x) hàm biết, ϕ(x)là hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm khơng bị chặn miền lấy tích phân (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc Dựa vào tính chất khơng bị chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành loại Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân Zb K(x, t) dt a tồn theo nghĩa Riemann, với x ∈ (a, b) Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất tồn x ∈ (a, b) cho Zb K(x, t) dt a không tồn theo nghĩa Riemann L(x, t) , |x − t|α với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) 6= α số (0 < α < 1) Khi tích phân Ví dụ 1.2 Nhân K(x, t) = Zb K(x, t) dt với a < x < b a tồn theo nghĩa Riemann Do tương ứng có phương trình tích phân kỳ dị yếu Nhân K(x, t) = L(x, t) ln |x − t|, với L(x,t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) 6= Khi phương trình tích phân Zb ϕ(x) + λ L(x, t) ln |x − t|.ϕ(t)dt = f (x) a phương trình tích phân kỳ dị yếu Nhân L(x, t) K(x, t) = với a < x < b, x−t (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc với L(x, t) hàm khả vi L(x, x) 6= Khi nhân K(x, t) nhận điểm t = x điểm kỳ dị mạnh Do phương trình tích phân tương ứng phương trình tích phân kỳ dị mạnh 1.3 1.3.1 Tính chất tích phân kỳ dị Đổi biến tính tích phân phần Tích phân kỳ dị có số tính chất hồn tồn giống tích phân thơng thường, tích phân tổng ln tổng tích phân số nhân biểu thức tích phân đưa ngồi dấu tích phân Tiếp theo ta xét cơng thức đổi biến cách tính tích phân phần Khái niệm giá trị tích phân dạng Cauchy quan trọng chỗ lân cận cần phải loại bỏ chọn cách đối xứng theo điểm khảo sát ε1 Thực vậy, trường hợp ε1 = ε2 limε1 ,ε2 →0 = 1, điểm ε2 t1 , t2 nằm đường tròn tâm t (|t2 − t| = |t1 − t|) ξ2 − ξ = lim =1 lim t1 →t t1 − t ξ1 →t ξ1 − ξ t2 →t ξ2 →ξ Điều kiện biến đổi tương ứng - đóng vai trị cốt yếu, đảm bảo tồn tích phân thường Định lý 1.2 (Cơng thức tích phân phần) Khi ϕ(τ ) hàm khả vi liên tục điểm t không trùng với đầu mút chu tuyến Γ (a b) cơng thức tích phân phần đúng: Z Z ϕ(τ ) dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) − ϕ0 (τ ) ln(τ − t)dτ τ −t Γ Γ (1.5) Số hạng thứ lấy dấu dương chọn lát cắt nối điểm t với điểm vô cho nhánh đơn trị ln(τ − t) nhận giá trị dương phía bên phải Γ nhận giá trị âm trường hợp ngược lại Chứng minh Trước hết ta xét tích phân vế phải Z ϕ0 (τ ) ln(τ − t)dτ Γ (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc Để tính giá trị ta biến đổi sau Z Z b h Z t1 i 0 ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ = lim ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ + ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ ρ→0 Γ a t2 Tích phân phần tích phân thường móc vng, ta thu Z t1 Z b ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ + ϕ0 (τ ) ln(τ − t)dτ a t2 = ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) + ϕ(t1 ) ln(t1 − t) − ϕ(t2 ) ln(t2 − t) Z b Z t1 ϕ(τ ) ϕ(τ ) dτ − dτ − t2 τ − t a τ −t Chuyển qua giới hạn ρ → 0, ta thấy hai số hạng đầu giới hạn dạng R ϕ(τ ) thơng thường, cịn hai số hạng cuối cho ta tích phân − dτ lấy Γ τ −t theo nghĩa giá trị Để tính giới hạn số hạng lại ta sử dụng biến đổi ϕ(t1 ) ln(t1 − t) − ϕ(t2 ) ln(t2 − t) = ϕ(t)[ln(t1 − t) − ln(t2 − t)] +[ϕ(t1 ) − ϕ(t)] ln(t1 − t) − [ϕ(t2 ) − ϕ(t)] ln(t2 − t) Hàm số ϕ(t) hàm khả vi liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz Vậy nên, từ kết giới hạn limx→0 x ln x = 0, ta thấy giới hạn hai số hạng cuối Vậy giới hạn ln(t1 − t) − ln(t2 − t) khảo sát xong Giới hạn +iπ lát cắt thực bên phải chu tuyến Γ, −iπ trường hợp ngược lại Vậy định lí chứng minh Nhận xét , Γ chu tuyến đóng, trơn (a = b), cơng thức (1.5) có dạng đơn giản Z Z ϕ(τ ) dτ = ±iπϕ(t) − ϕ0 (τ ) ln(τ − t)dτ (1.6) τ t 1.3.2 Tớnh liờn tc Hă older ca tích phân dạng Cauchy Ta chứng minh giá trị Φ+ (t) Φ− (t) tích phân dạng Cauchy hàm liên tục chu tuyến Γ Trong phần này, ta (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.abel.tong.quat.tren.truc.thuc hàm số có tính chất tốt tính liên tục thơng thường, ú l nú tha iu kin Hăolder vi mt số xác định Tính chất mơ tả định lí sau Định lý 1.3 Khi Γ chu tuyến đóng, đơn, trơn ϕ(t) thỏa trờn iu kin Hăolder vi ch s , giá trị tích phân dạng Cauchy Φ+ (t) v (t) cng tha iu kin Hăolder vi số, < λ < 1, đủ gần tới λ, λ = Chứng minh Từ hệ thức (1.6), ta cần chứng minh định lý hàm số sau Z ϕ(τ ) − ϕ(t) ψ(t) = dτ 2πi Γ τ −t Xét biểu thức Z h i