Mơc lơc Trang phơ b×a Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Ch−¬ng 1.1 1.2 15 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển phơng trình vi phân elliptic 15 Bài toán biên cổ điển phơng trình parabolic 22 Chơng 2.1 Tổng quan Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP elliptic 30 Không gian hµm 30 2.1.1 Định nghĩa 30 2.1.2 TÝnh chÊt 31 2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) Rn 34 2.3 Bài toán biên nửa không gian Rn+ 40 2.4 Bài toán biên miền bị chặn 47 Ch−¬ng Bài toán biên không cổ điển phơng trình elliptic 62 3.1 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic tuyến tính 3.2 62 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP elliptic nửa tuyÕn tÝnh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 82 Chơng Bài toán biên không cổ điển phơng trình parabolic 88 4.1 Không gian hàm 88 4.1.1 Định nghÜa 88 4.1.2 TÝnh chÊt 91 4.2 Bài toán biên cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa trụ vô hạn 4.3 96 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic tuyến tính nửa trụ vô h¹n 102 4.4 Bài toán biên không cổ điển phơng trình GVP parabolic nửa tuyến tính nửa trụ vô hạn 114 Kết bàn luận 122 Kết nghiên cứu bàn luận 122 KÕt luËn 124 Kiến nghị nghiên cứu 125 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh môc ký hiệu chữ viết tắt N = {1, 2, } : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m 0} : tập số nguyên không ©m Zn+ = {α = (α1 , α2 , , αn ) | αj ∈ Z, αj ≥ 0, j = 1, 2, , n} : tập đa n P số víi α ∈ Zn+ ký hiƯu |α| = αj j=1 √ R : tËp sè thùc, C : tËp số phức Đơn vị ảo = i Với z C ký hiệu =z phần ảo, 0}, ¯ n = {x = (x1, x2 , , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} R + ¯ n ) ký hiÖu x0 = (x1 , , xn−1 ) Víi x Rn (hay R + Nếu đặc biƯt, ký hiƯu Ω lµ tËp më Rn Với k Z+ ký hiệu tập nh sau: C k (Ω) = {u : Ω → C u khả vi liên tục đến cấp k}, liên tục C(Ω) = C (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω) supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C k,1 () = {u C k () đạo hàm riêng cấp k u hàm Lipschitz}, k ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), ¯ n ) = {u : R ¯ n → C ∂ L Bj (x, Dx, )(L−1U ) ∂Ω = Bj (x, Dx, q)U ∂Ω = Lgj , j = 1, , s, ∂t nªn ∂ A(x, Dx, )(L−1U ) = f Ω, t > 0, ∂t ∂ Bj (x, Dx , )(L−1 U ) ∂Ω = gj , t > 0, j = 1, , s, t hay L1 U nghiệm toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) Nh vậy, để giải toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) M I Vishik- M S Argranovich đà làm bớc sau ã xây dựng không gian nghiệm cho toán biên parabolic (1.12) (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15) (1.16), ã giải toán biên elliptic víi hƯ sè phơ thc tham sè (1.15) − (1.16) Trớc hết, ta xây dựng không gian nghiệm Cho Với R, không gian P(eàt ) không gian bao gồm hàm xác định nửa trục t mà 24 (LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05 (i) e−µt u(t) ∈ Hα (R+ ), (ii) thác triển hàm u(t) lên toàn trơc sè R b»ng c¸ch cho u(t) = t < eàt u(t) H (R), với chuÈn ||u||Pα(e−µt ) = ||e−µtu(t)||Hα(R+ ) ∂ k u NhËn xÐt 1.2.2 a NÕu u ∈ Pα (R+ ) th× k = 0, k = 0, 1, , [α] ∂t t=0 b Kh«ng gian Pα(R+ ) không gian đầy đủ, tập C0 (R+ ) trù mËt Pα (R+ ) Cho µ ≥ 0, α Không gian E (à) không gian bao gồm hàm U (q) = U ( + i ) hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng phức µ cho chuÈn ||U (q)||Eα(µ) = sup σ>µ Z |U (σ + iτ )|2|σ + iτ |2αdτ < + R Mệnh đề 1.2.3 Cho > Phép biến đổi Laplace phép đẳng cấu không gian P(eàt ) không gian E (à) Cho số nguyên dơng, số thực không âm Với số nguyên dơng `, không gian P`, ` (eàt , ì (0, +)) không gian bao gồm hàm u(x, t) xác định nửa trụ vô hạn ì (0, +) cho (i) với hầu hết x hàm u(x ) P ` (eàt ), (ii) với hầu hết t > hµm u(., t) ∈ Hl (Ω), (iii) chuÈn ||u||P`, ` (eàt ,ì(0,+)) = Z + ||eàtu(., t)||Hl (Ω) dt 0Z ||e−µtu(x, )||H ` (R+ ) dx + hữu hạn 25 (LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05(LUAN.an.TIEN.si).bai.toan.bien.gia.vi.phan.trong.khong.gian.hl.p.(p.khac.2) differential.problem.in.the.space.hl p.(p.2).62.46.01.05 ∂ k u NhËn xÐt 1.2.4 a NÕu u ∈ P`, ` (eàt , ì (0, +)) k = 0, k = λ ∂t t=0 h`i 0, 1, , λ b Kh«ng gian P`, ` (eàt , ì (0, +)) không gian đầy đủ, tập C0( ì (0, +)) trù mật P (R+ ) Cho số nguyên không âm ` số thực không âm Không gian E`, ` (à, ) không gian bao gồm hàm U (x, q) xác định tập ì{q C | µ} cho (i) víi mäi q, hầu hết q,