(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG MỘT SỐ TÌM HIỂU TIẾP THEO VỀ BỔ TÚC XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ HÀ NỘI, 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.1.1 Trường hợp rời rạc 1.1.2 Trường hợp Gauss 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện 1.1.4 Sự tồn tính 1.1.5 Các tính chất kì vọng có điều kiện 1.2 Lý thuyết Martingale 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Dừng tùy chọn 1.2.3 Các bất đẳng thức Doob 1.2.4 Định lý hội tụ 1.3 Các ứng dụng Martingale 1.3.1 Tổng biến ngẫu nhiên độc lập 1.3.2 Martingale không âm thay đổi độ đo 1.3.3 Xích Markov 1.3.4 Điều khiển ngẫu nhiên tối ưu QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC 2.1 Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Quỹ đạo quy 2.1.3 Martingale với thời gian liên tục 2.2 Hội tụ yếu 8 8 9 11 13 13 14 15 18 21 21 22 25 27 29 29 29 30 32 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Định nghĩa 35 Định lý Prohorov 36 Hội tụ yếu hàm đặc trưng 37 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 3.1 Định lý Wiener 3.2 Tính bất biến 3.3 Martingale 3.4 Tính chất Markov mạnh 3.5 Thời điểm chạm 3.6 Tính chất quỹ đạo 3.7 Hồi quy thời 3.8 Chuyển động Brown toán Dirichle 3.9 Nguyên tắc bất biến Donsker ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 4.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 4.1.1 Cấu trúc thuộc tính 4.1.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 4.2 Quá trình Levy 4.2.1 Định nghĩa ví dụ 4.2.2 Định lý Levy-Khinchin Tài liệu tham khảo 39 39 41 42 44 46 46 48 50 54 58 58 58 60 63 63 64 67 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Phan Viết Thư Thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tơi muốn gửi tới tồn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tơi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa học TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat LỜI MỞ ĐẦU Bổ túc xác suất trình chuyển tiếp từ khái niệm xác suất bản; lý thuyết độ đo để xây dựng lý thuyết xác suất đại thông qua giải tích ngẫu nhiên Với khái niệm Lý thuyết Martingale, Xích Markov, Di động ngẫu nhiên, Quá trình ngẫu nhiên liên tục, Quá trình Wiener, làm sở để nghiên cứu tiếp trình ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên tiếp cận ứng dụng quan trọng lý thuyết xác suất tốn tài chính, phân tích chuỗi thời gian, lý thuyết dự báo, Đây lý để chúng tơi chọn đề tài: Một số tìm hiểu bổ túc xác suất Luận văn trình bày nhiều khái niệm học chương trình cao học học khái niệm, định lý, tính chất giới thiệu mà chưa có chứng minh đầy đủ Trong luận văn khái niệm, định lý, mệnh đề, tính chất chứng minh chặt chẽ Giúp tìm hiểu sâu Bổ túc xác suất Luận văn gồm có chương: Chương Martingale số ứng dụng Kỳ vọng có điều kiện: Trường hợp rời rạc, Trường hợp Gauss, hàm mật độ có điều kiện, tồn nhất, tính chất Martingale tham số rời rạc, martingale martingale trên, dừng tùy chọn, bất đẳng thức Doob, cắt ngang, định lý hội tụ, martingale ngược Các ứng dụng martingale: Tổng biến ngẫu nhiên độc lập, luật mạnh số lớn, đồng thức Wald, martingale không âm biến đổi độ đo, định lý Radon – Nikodym, định lý tích martingale Kakutani, kiểm tra tính vững tỷ số hợp lý, Xích Markov, điều khiển tối ưu ngẫu nhiên (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat Chương Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục: Tiêu chuẩn Kolmogorov, định lý quỹ đạo quy martingale, martingale với thời gian liên tục Hội tụ yếu Rn : hội tụ hàm phân phối, hội tụ hàm liên tục bị chặn, phép nhúng Skorokhod, định lý Helly, hàm đặc trưng, định lý liên tục Levy Chương Chuyển động Brown Chuyển động Brown: định lý Wiener, tính chất chia tỷ lệ phép đối xứng, Martingale liên quan đến chuyển động Brown, tính chất Markov mạnh, định luật phản xạ, thời gian va chạm, tính chất đường dẫn, phép hồi quy thời, chuyển động Brown toán Dirichle, nguyên tắc bất biến Donske Chương Độ đo ngẫu nhiên Poisson trình Levy Quá trình Levy: Cấu trúc túy bước nhảy q trình Levy tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson, luật chia vô hạn, định lý Levy – Khinchin Do thời gian gấp rút kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, vậy, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2014 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat BẢNG KÝ HIỆU M1 : Tập martingale khả tích Mp : Tập martingale bị chặn Lp với p > gi : Giá phát sinh chi phí lần tới i trước T fi : Giá phát sinh đến i ∈ ∂D Dn : Tập hợp số nguyên bội 2−n [0, ∞) h.c.c: hầu chắn (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat Chương MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp rời rạc Cho (Gi : i ∈ I) ký hiệu họ đếm biến cố không giao nhau, hợp chúng không gian xác suất Đặt G = σ (Gi : i ∈ I) Đối với biến ngẫu nhiên khả tích X, định nghĩa X Y = E(X |Gi ) 1Gi i đặt E (X |Gi ) = E (X1Gi ) /P (Gi ) P (Gi ) > định nghĩa E (X |Gi ) cách tùy ý P (Gi ) = Khi dễ dàng thấy Y có tính chất sau: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G 1.1.2 Trường hợp Gauss Cho (W, X) biến ngẫu nhiên Gauss R2 Đặt G = σ (W) Y = aW + b, a, b ∈ R chọn để thỏa mãn: aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X) Khi E (X − Y ) = cov (W, X − Y ) = cov (W, X) − cov (W, Y ) = (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat nên W X − Y độc lập Do Y thỏa mãn: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện Giả sử U V biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fU,V (u, v) R2 Khi U có hàm mật độ fU , xác định Z fU (u) = fU,V (u, v) dv R Hàm mật độ có điều kiện fV |U (v| u) V với U cho xác định fV |U (v| u) = fU,V (u, v)/fU (u) quy ước 0/0 = Cho h : R → R hàm Borel giả sử X = h (V ) khả tích Đặt Z g (u) = h (v) fV |U (v| u) dv R Đặt G = σ (U ) Y = g (U ) Khi Y thỏa mãn: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G Để chứng minh (b) ta ý với A ∈ G có dạng A = {U ∈ B}, với tập Borel B Khi đó, từ định lý Fubini, Z E (X1A ) = h (v) 1B (u) fU,V (u, v) d (u, v) R2  Z Z h (v) fV |U (v |u) dv fU (u) 1B (u) du = E (Y 1A ) = R 1.1.4 R Sự tồn tính Định lý 1.1 Cho X biến ngẫu nhiên khả tích G ⊆ F σ -đại số Khi tồn biến ngẫu nhiên Y cho: (a) Y G -đo được, (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G Hơn nữa, Y thỏa mãn (a) (b), Y = Y h.c.c Chúng ta gọi Y (một của) kỳ vọng có điều kiện X với G cho viết Y = E (X |G ) h.c.c Trong trường hợp G = σ (G) với biến ngẫu nhiên G đó, viết Y = E (X |G) h.c.c Ba ví dụ cho thấy làm xây dựng cụ thể kỳ vọng có điều kiện trường hợp đơn giản Nói chung, phải tiếp cận theo cách gián tiếp cho định lý Chứng minh (Tính nhất.) Giả sử Y thỏa mãn (a) (b) Y thỏa mãn (a) (b) với biến ngẫu nhiên khả tích X khác, với X ≤ X h.c.c Xét biến ngẫu nhiên không âm Z = (Y − Y ) 1A , A = {Y ≥ Y } ∈ G Khi E (Z) = E (Y 1A ) − E (Y 1A ) = E (X1A ) − E (X 1A ) ≤ nên Z = h.c.c, suy Y ≤ Y h.c.c Trong trường hợp X = X , suy Y = Y h.c.c (Sự tồn tại.) Khởi đầu giả sử X ∈ L2 (F) Do V = L2 (G) khơng gian đóng L2 (F), có X = Y +W với Y ∈ V W ∈ V ⊥ Khi đó, với A ∈ G, có 1A ∈ V , nên E (X1A ) − E (Y 1A ) = E (W1A ) = Do Y thỏa mãn (a) (b) Bây giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi đó, Xn = X ∧ n ∈ L2 (F) ≤ Xn ↑ X n → ∞ Chúng ta phải chứng minh, với n, tồn Yn ∈ L2 (G) cho, với A ∈ G , E (Xn 1A ) = E (Yn 1A ) ≤ Yn ≤ Yn+1 h.c.c Cho Y = limn→∞ Yn , Y G -đo theo hội tụ đơn điệu, với A ∈ G , E (X1A ) = E (Y 1A ) Đặc biệt, E (X) hữu hạn E (Y ) Cuối cùng, biến ngẫu nhiên khả tích X nói chung, sử dụng cách xây dựng trước cho X − X + để thu Y − Y + Khi Y = Y + − Y − thỏa mãn (a) (b) 10 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ∆k,n = B(k−1)/n − Bk/n xét, với K > 0, biến cố  An = AK n = max {∆k,n , ∆k+1,n , ∆k+2,n } ≤ K/n, với k = 1, , n p Mật độ B1/n bị chặn n/2π nên √ P (∆k,n ≤ K/n) ≤ C (K) n Do đó, độc lập gia số, √ P (An ) ≤ nP(∆k,n ≤ K/n)3 ≤ C (K) n 47 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat Bây xét trường hợp  GK = với s ∈ [0, 1] , |Bs − Bt | ≤ K |s − t| N   1 với |s − t| ≤ với t ∈ 0, + N N 5K Đây tập cho thấy GK N ⊆ An với n ≥ 3N Do đó,
P GK N = với N K Nhưng  với t ∈ [0, 1) , s 7→ Bs khả vi t ⊆ ∪N ∈N,K∈N GK N  Mệnh đề 3.9 (Luật 0-1 Blumenthal) Cho B chuyển động B Brown Rn Nếu A ∈ F0+ P (A) ∈ {0, 1} Mệnh đề 3.10 Cho A tập mở khác rỗng hình cầu đơn vị Rn ε > Xét hình nón  C = x ∈ Rn : x = ty, với < t < ε, y ∈ A Cho B chuyển động Brown Rn TC = inf {t ≥ : Bt ∈ C} Khi TC = h.c.c 3.7 Hồi quy thời Định lý 3.6 Cho B chuyển động Brown Rn (a) Nếu n = P {t ≥ : Bt = 0} không giới nội
=1
=1 (b) Nếu n =
P Bt = với t > = với ε > P {t ≥ : |Bt | < ε} không giới nội (c) Nếu n ≥ P (|Bt | → ∞ t → ∞) = 48 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat Hệ định lý nhiều biểu diễn cách nói chuyển động Brown R hồi quy điểm, chuyển động Brown R2 hồi quy lân cận khơng có điểm va chạm chuyển động Brown Rn , n ≥ , thời Chứng minh Với (a) xem Mệnh đề 3.8(c) Để chứng minh (b) cố
định < a < < b xét trình Xt = f (Bt ) f ∈ Cb2 R2 cho f (x) = log |x| , với a ≤ |x| ≤ b Chú ý ∆f (x) = với a ≤ x ≤ b Xét thời điểm dừng  T = inf t ≥ : |Bt | < a |Bt | < b   Bởi Định lý 3.2, M f martingale Do đó, dừng tùy chọn E MTf =   f E M0 = Giả sử với |B0 | = Khi MTf = log |BT | nên p = p (a, b) = P (|BT | = a) thỏa mãn p log a + (1 − a) log b = Đầu tiên xét giới hạn a ↓ với b cố định Khi đó„ log a → −∞ nên
p (a, b) → Do đó, Px Bt = với t > = |x| = Lập luận mở rộng chia tỉ lệ cho trường hợp |x| > Cho x = có với ε > 0, tính chất Markov Z

P Bt = với t > ε = p (ε, 0, y) Py Bt = với t > dy = Rn
Khi ε > tùy ý, ta suy P0 Bt = với t > = Bây xét giới hạn b ↑ ∞ với a = ε > cố định Khi log b → ∞, nên
p (a, b) → Do Px |Bt | < ε với t > = |x| = Lập luận mở rộng chia tỉ lệ cho trường hợp |x| > hiển nhiên tính liên tục
với x = Sau tính chất Markov, với n, P |Bt | < ε với t > n =
P {t ≥ : |Bt | < ε} không giới nội = Chuyển sang chứng minh (c) Khi ba thành phần chuyển động Brown Rn , n ≥ có dạng chuyển động Brown R3 , đủ để xét trường hợp n = Chúng ta thấy rằng, hầu chắn, với N ∈ N, |Bt | > N , với t đủ lớn Cố định N ∈ N Định nghĩa dãy thời điểm dừng (Tk : k ≥ 0) đặt S0 = với k ≥ 0, Tk = inf {t ≥ Sk : |Bt | = N } , Sk+1 = inf {t ≥ Tk : |Bt | = N + 1} 49 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat
Đặt p = Px |Bt | = N với t , |x| = N + Ta sử dụng lập luận tương tự sử dụng (b), thay hàm log |x| 1/|x|, thấy p = N /(N + 1) < Bởi tính chất Markov mạnh, P (T1 < ∞) ≤ PN (T1 < ∞) = p với k ≥ 2, P (Tk < ∞) = P (T1 < ∞) PN (Tk−1 < ∞) Do P (Tk < ∞) ≤ pk

P {t ≥ : |Bt | = N } không giới nội = P Tk < ∞ với k = 3.8 Chuyển động Brown toán Dirichle Cho D tập mở liên thông Rn với biên trơn ∂D cho f : ∂D → [0, ∞) g : D → [0, ∞) hàm đo Bởi nghiệm toán Dirichle (trong D với liệu f g ), ta hiểu hàm
¯ thỏa mãn ψ ∈ C (D) ∩ C D − ∆ψ = g, D ψ = f, ∂D Khi thay dấu = ≥ ( hai lần) định nghĩa nói ψ nghiệm Chúng ta cần đặc trưng sau hàm điều hịa theo ngơn ngữ trung bình Kí hiệu µx,ρ phân phối hình cầu S (x, ρ) bán kính ρ tâm x Mệnh đề 3.11 Cho φ hàm đo không âm D Giả sử Z φ (x) = φ (y) µx,ρ (dy) S(x,ρ) S (x, ρ) ⊆ D Khi đó, φ ≡ ∞, φ ∈ C ∞ (D) với ∆φ = Cho B chuyển động Brown Rn Với hàm đo g t ≥ 0, định nghĩa hàm Pt g Gg Z ∞ x x Pt g (x) = E g (Bt ) , Gg (x) = E g (Bt ) dt tồn tích phân định nghĩa 50 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat Mệnh đề 3.12 Chúng ta có (a)  n/2 kPt gk∞ ≤ ∧ (2πt)  vol (suppg) kgk∞ , (b) Với n ≥ 3, kGgk∞ ≤ (1 + vol (suppg)) kgk∞ , (c) Với n ≥ g ∈ C (Rn ) có giá compact, Gg ∈ C b (Rn ) − ∆Gg = g Chứng minh (c) Chú ý ∞ Z Gg (x) = E g (x + Bt ) dt Bằng cách lấy vi phân cơng thức dấu tích, sử dụng cách tính (b), thấy Gg ∈ C b (Rn ) Để thấy − ∆Gg = g , cố định < s < t viết Z s Z tZ Z ∞ 0 Gg (x) = E g (x + Br ) dr+ p (r, x, y) g (y) dydr+E g (x + Br ) dr s Rn t Bằng cách lấy vi phân dấu tích phân thu Z Z Z t 1 s E ∆g (x + Br ) dr + ∆Gg (x) = ∆x p (r, x, y) g (y) dydr+ 2 s Rn Z ∞ + E ∆g (x + Br ) dr t Bởi cách tính (a), điều kiện thứ thứ ba bên phải tiến đến s ↓ t ↑ ∞ Từ ∂p/∂t = ∆p, điều kiện thứ hai Z Z t Z Z (∂/∂r) p (r, x, y) g (y) drdy = p (t, x, y) g (y) dy − p (s, x, y) g (y) dy Rn Rn s Rn = Pt g (x) − Ex g (Bs ) → −g (x) s ↓ t ↑ ∞ 51 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tim.hieu.tiep.theo.ve.bo.tuc.xac.suat ¯ , đặt Định lý 3.7 Với x ∈ D Z x φ (x) = E T  g (Bt ) dt + f (BT ) 1T