PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x +2009 x +2008 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: x 2 x 45 x x 69 + 15 = 37 + 13 Câu 3: (2 điểm) a/ Chứng minh a b4 ab a 3b a 2b 2 b/ Cho hai số dương a,b a=5-b 1 Tìm giá trị nhỏ tổng P= a b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : Hãy a 2006 b 2006 a 2007 b 2007 a 2008 b 2008 tính tổng: S= a 2009 b 2009 b/ Chứng minh :A= 3 5 6 13 48 số nguyên Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD BC AH HC PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TOÁN Câu 1: (1 điểm) x +2009 x +2008 x +2009 ( x + x +1) +2008( x + x +1) ( x + x +1)( x - x +1)+ 2008( x + x +1) ( x + x +1)( x - x +2009) = = = Câu 2: ( điểm) 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ x 2 x 45 x x 69 + 15 = 37 + 13 ( x2 x 45 3x x 69 +1)+( -1)=( +1)+( -1) 13 15 37 x 15 2( x 15) 13 15 = 3( x 15) 37 + 0,25đ 4( x 15) 0,25đ 0,25 đ ( x 15)( ) 0 13 15 37 x=-15 0,25 đ Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a b4 ab a 3b a 2b 2 0,25 đ a b 2ab 2a 3b 2a 2b 0,25 đ a b 2ab 2a 3b 2a 2b 0 0,25 đ (a 2a 3b a 2b ) (b 2ab3 a 2b ) 0,25 đ (a ab) (b ab) 0 b/ (1 điểm) 1 P= a b = 20 P= 4ab a b = ab ab 20 ( a b) =5 0,25 đ 0,5 đ Vậy giá trị nhỏ P Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) 5 a=b= 0,25 đ Ta có: a 2008 b 2008 ( a 2007 b 2007 )(a b) ab(a 2006 b 2006 ) 1= a b ab 0,25 đ (1 a )(1 b) 0 0,25 đ 0,25 đ a 1, b 1 Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) A= 3 A= 3 =2 3 = 5 13 6 48 (2 1) 5 6 ( 1) 6 2 2 6 = ( )2 6 =1 Z 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 xy-3y=2x-1 y(x-3)=2x-1 0,25 đ Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 3 y=2+ x 0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA ( hai tam giác CE CB CDE CAB đồng dạng) Góc C: chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,75 đ 0,25 đ b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: BEC ADC có: ADC EDC ADE 1350 Suy ra: BEC 1350 0,5 đ Suy ra: AEB 450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vng có góc 45 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân E nên AM cịn phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD ABC DEC ED // AH , mà GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC 0,5 đ 0,5 đ