3 toan~2

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP V ĐẠI SỐ TỔ HỢP C H Ư Ơ N BÀI 2, 3: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP LÝ THUYẾT I = = VỊ I HỐN = 1) Định nghĩa: Một hốn vị tập hợp có n I (với n số tự nhiên, n 1 ) phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử 2) Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn n ! n(n  1)(n  2) 3) Ví dụ: Câu 1: Có số tự nhiên có chữ số phân biệt thuộc tập Lời giải Các số tự nhiên có chữ số phân biệt thuộc tập Vậy có P5 5! 120 số  1;2;3;4;5  1;2;3;4;5 ? hốn vị phần tử Câu 2: Có cách xếp chỗ ngồi cho hành khách: a Vào ghế xếp thành dãy b Vào ghế xung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế Lời giải a hành khách xếp vào ghế dãy hốn vị phần tử Do có P5 5! 120 cách xếp b Vì bàn trịn khơng phân biệt đầu cuối nên để xếp người ngồi quanh bàn tròn ta cố định người xếp người lại quanh người cố định Vậy có P4 4! 24 cách xếp Chú ý: + Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành dãy  n  1 ! + Có cách xếp n người vào n ghế xếp quanh bàn trịn khơng có phân biệt ghế II CHỈNH HỢP 1) Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n cách xếp có thứ tự k phần tử từ tập hợp n phần tử (với k , n số tự nhiên, k n ) 2) Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử k n n! Ank n(n  1)( n  2) (n  k  1)   n k! 3) Ví dụ: Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 1: Một tổ trực gồm nam nữ Giáo viên muốn chọn học sinh trực Hỏi có cách chọn nhóm có nữ sinh Lời giải Cách 1:Làm trực tiếp - Chọn nữ, nam có C6C8 - Chọn nữ, nam có C6 C8 - Chọn nữ, nam có C6 C8 - Chọn nữ, nam có C6 C8 - Chọn nữ C6 3 Vậy có C6C8 + C6 C8 + C6 C8 + C6 C8 + C6 1946 cách Cách 2: Làm gián tiếp Chọn học sinh nam có C8 56 cách Để chọn học sinh 14 học sinh có C14 2002 cách Vậy số cách chọn học sinh có nữ 2002  56 1946 cách Câu 2: Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, khó, xếp thành đề, đề có câu đủ ba loại, số câu dễ khơng hai Hỏi lập đề? Câu 3: Có cách chia lớp 40 học sinh thành tổ cho tổ có 10 học sinh? III TỔ HỢP 1) Định nghĩa: Một tổ hợp chập k n cách chọn k phần tử từ tập hợp n phần tử (với k , n số tự nhiên, k n ) 2) Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k n) Ank n(n  1)(n  2) (n  k  1) n! k Cn    k! k! k ! n  k  ! 3) Ví dụ:  Câu 1: Cho điểm A, B, C, D, E Hỏi có vectơ khác thành lập từ hai năm điểm trên? Lời giải  Cứ hai điểm phân biệt lập vectơ số vectơ khác lập từ điểm A, B, C, D, E chỉnh hợp chập phần tử Vậy có A5 20 vectơ Câu 2: Tổ gồm 10 em, bầu cán gồm tổ trưởng, tổ phó, thư kí (khơng kiêm nhiệm) Hỏi có cách Lời giải Chọn cán 10 bạn chỉnh hợp chập 10 phần tử Vậy có A10 720 cách k IV TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ Cn Tính chất 1: k n k Cho số nguyên dương n số nguyên k với k n Khi Cn Cn Tính chất 2: k k k1 Cho số nguyên n k với k n Khi Cn 1 Cn  Cn Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI TẬP Câu Một họa sĩ cần trưng bày 10 tranh nghệ thuật khác thành hàng ngang Hỏi có cách để họa sĩ xếp tranh? Lời giải Mỗi cách xếp 10 tranh khác thành hàng ngang hoán vị 10 phần tử Vậy số cách xếp tranh là: 10! 3628800 (cách) Câu Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau? Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abc  a 0  Chọn chữ số a từ chữ số 1, 2, 3, có (cách) A2 Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại (cách) Áp dụng quy tắc nhân, số số tự nhiên có ba chữ số khác là: A42 48 (số) Câu Có cách chọn tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ 100 ? Có cách chọn tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ 100 ? a) Gọi tập hợp cần tìm có dạng Lời giải  a; b ,  a, b  100, a, b   Mỗi tập hợp tổ hợp chập 99 Vậy số cách chọn tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ 100 là: b) Gọi tập hợp cần tìm có dạng C992 4851 (cách)  a; b; c ,  a, b, c  100, a, b, c   Mỗi tập hợp tổ hợp chập 99 Vậy số cách chọn tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ 100 là: C993 156849 (cách) Câu Bạn Hà có viên bi xanh viên bi đỏ Có cách để Hà chọn viên bi khác màu? Lời giải 5 Chọn bi xanh từ viên bi xanh có (cách) Ứng với cách chọn bi xanh có số cách chọn bi đỏ từ viên bi đỏ (cách) Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn viên bi khác màu là: 5.7 35 (cách) Câu Một câu lạc cờ vua có 10 bạn nam bạn nữ Huấn luyện viên muốn chọn bạn thi đấu cờ vua Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP a) Có cách chọn bạn nam? b) Có cách chọn bạn khơng phân biệt nam, nữ? c) Có cách chọn bạn, có bạn nam bạn nữ? Lời giải a) Mỗi cách chọn bạn nam từ 10 bạn nam tổ hợp chập 10 Số cách chọn là: C104 210 (cách) b) Mỗi cách chọn bạn không phân biệt nam, nữ tổ hợp chập 17 Số cách chọn là: C174 2380 (cách) C 45 (cách) c) Số cách chọn bạn nam từ 10 bạn nam 10 C 21 (cách) Ứng với cách chọn bạn nam, số cách chọn bạn nữ từ nữ Vậy số cách chọn bạn nam bạn nữ là: 21.45 945 (cách) Câu Có số tự nhiên chia hết cho mà số có bốn chữ số khác nhau? Gọi số cần tìm có dạng abcd Lời giải a 0, c, d   0;5 TH1: d 0 Chọn chữ số a có (cách) A2 Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại (cách) Số số lập là: A82 504 (số) TH1: d 5 Chọn chữ số a có (cách) A2 Ứng với cách chọn a có số cách chọn bc từ chữ số lại (cách) Số số lập là: A82 448 (số) Vậy số số tự nhiên chia hết cho có bốn chữ số khác là: 448  504 952 (số) II HỆ THỐNG BÀ I TẬ P TỰ LUẬN = = = 1: HOÁN VỊ: DẠNG I Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP = = = I PHƯƠNG PHÁP Khi giải tốn chọn tập X có n phần tử, ta dùng hốn vị có dấu hiệu sau: *Chọn hết phần tử X *Có xếp theo thứ tự BÀI TẬP = = Câu Có hai dãy ghế, dãy ghế Xếp nam, nữ vào dãy ghế trên, có cách, : = a Nam nữ xếp tùy ý b Nam dãy ghế, nữ dãy ghế I Lời giải a Mỗi cách xếp nam nữ vào hai dãy ghế cách tùy ý hốn vị 10 người Vậy có 10! 3628800 cách xếp b Chọn dãy để xếp nam ngồi vào có cách; xếp nam vào dãy ghế chọn có 5! cách ; xếp nữ vào dãy ghế cịn lại có 5! cách Vậy có tất 2.5!.5! cách xếp thỏa điều kiện tốn Câu Cho bàn dài có 10 ghế 10 học sinh có học sinh nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh cho : a Nam, nữ ngồi xen kẽ ? b Những học sinh giới ngồi cạnh ? Lời giải a Cách 1: Xếp học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau xếp học sinh nữ vào vị trí cịn lại có 5! cách  có 5!.5! cách Cách 2: Xếp học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau xếp học sinh nữ vào vị trí cịn lại có 5! cách  có 5!.5! cách Vậy tất có 2.5!.5! 28800 cách b Xem nam tổ nữ tổ, ta có tổ Xếp tổ ngồi vào bàn ta có 2! cách Đổi chỗ nam cho có 5! cách, đổi chỗ nữ cho có 5! cách Vậy ta có 2!.5!.5! 28800 cách Câu a) Hỏi có cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn, cho nam nữ ngồi xen kẻ nhau? b) Hỏi có cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn, cho bà ngồi cạnh chồng mình? Lời giải a) Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn Bước 1: Xếp nam ngồi quanh bàn trịn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp Bước 2: Ta xem người nam vừa xếp vách ngăn, người nam ngồi quanh bàn trịn nên có khoảng trống để xếp người nữ, có 6! Cách xếp Theo quy tắc nhân có 5!.6! = 86400 cách b) Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn Bước 1: Xếp người chồng ngồi quanh bàn trịn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp (vì vợ ngồi gần chồng) Bước 2: Mỗi cặp vợ chồng đổi chổ cho có cách xếp mới, có 26 cách Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Theo quy tắc nhân có 5!.26 = 7680 cách Câu Một trường trung học phổ thơng có học sinh giỏi khối 12, có học sinh giỏi khối 11, có học sinh giỏi khối 10 Hỏi có cách xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đồn đại biểu, nếu: a) Các học sinh xếp b) Các học sinh khối phải đứng kề Lời giải a) Mỗi cách xếp 15 học sinh thành hàng ngang hoán vị 15 phần tử Vậy có 15!cách xếp 15 học sinh thành hàng ngang b) Bước 1: Xếp khối có 3! cách xếp Bước 2: Xếp bạn khối 12 có 4! cách Bước 3: Xếp bạn khối 11 có 5! cách Bước 4: Xếp bạn khối 10 có 6! cách Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600 cách xếp thỏa yêu cầu Câu Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, biết tổng chữ số 18? Lời giải n abc,  a 0  Gọi số cần tìm A  0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Từ tập ta có tập A gồm phần tử cho tổng  9,8,1 ; 9, 6,3 ;  9;5; 4 ;  8; 7;3 ;  8;6; 4 ;  7; 6;5 ;  2;7; 9 Vậy có tập chúng 18 có phần tử thuộc A cho tổng phần tử 18 Hoán vị phần tử tập ta số cần tìm Suy có tất 3!.7 42 số thỏa yêu cầu DẠNG 2: CHỈNH HỢP = = = I PHƯƠNG PHÁP Khi giải tốn chọn tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: *Chỉ chọn k phần tử n phần tử X ( k n ) *Có xếp thứ tự phần tử chọn BÀI TẬP = = Câu a Có số tự nhiên có chữ số đơi khác ? = b Có số tự nhiên có chữ số số số chẵn ? I c Có số tự nhiên có chữ số đơi khác số số lẻ ? Lời giải a Gọi M abcde,  a 0  số có chữ số khác Ta có a có cách chọn nên có A9 cách chọn số xếp vào vị trí bcde Vậy có A9 27216 số b Gọi A abcde số có chữ số A số chẵn Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ta có a có cách chọn ; b,c,d số có 10 cách chọn ; e có cách chọn Vậy có 9.10 45000 số c Gọi B abcde số có chữ số B số lẻ Ta có e có cách chọn ; a có cách chọn ; có A8 cách chọn chữ số xếp vào ba vị trí b,c,d Vậy có 5.8 A8 13440 số Câu Có số gồm chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, Lời giải Dùng ô sau để xếp số thỏa tốn : TH1: Ơ số :  Chọn ô để xếp số số có A4 cách ;  Chọn ô số  0; 4;5;6; 7;8;9 xếp vào cịn lại có A7 cách ; 2  ta có A4 A7 cách 2 TH2 : Ô số : tương tự, ta có A4 A7 cách 2 TH3: Ơ số : tương tự, ta có A4 A7 cách TH4 : Ô số khác 1, 2, 3:  Chọn ô xếp số 1, 2, vào có A4 cách ;  Chọn số thuộc  0; 4;5;6;7;8;9 xếp vào ô có cách ;  Chọn số xếp vào cịn lại : có cách ;  ta có 36.A4 cách 3 Vậy ta có tất A4 A7  36 A4 2376 số Cách 2: Bước 1: Chọn vị trí vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A5 Bước 2: Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào hai vị trí cịn lại, có A7 cách Theo quy tắc nhân có A5 A7 2520 số, có số có chữ số đứng vị trí đầu Trường hợp a1 = 0: Bước 1: Chọn vị trí vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A4 cách Bước 2: Chọn chữ số chữ số cịn lại để xếp vào vị trí cịn lại, có cách Theo quy tắc nhân có A4 144 số có chữ số vị trí đầu Kết luận có 2520  144 2376 số thỏa yêu cầu Câu a Có số tự nhiên có ba chữ số đơi khác bé số 475 ? b Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số bé số 475 ? c Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác bé số 475 số lẻ ? Lời giải a Gọi abc số tự nhiên có ba chữ số đôi khác nhỏ 475 2 TH1: a  : a có ba cách chọn ; bc có A9 cách chọn  có A9 216 số b   6;5;3; 2;1;0  TH2: a 4 : b   b có cách chọn  c có cách chọn; Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP b 7  c có cách chọn  c   3; 2;1;0   có 6.8  52 số Vậy tất ta lập 216  52 268 số b Gọi abc số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi khác nhỏ 475 TH1 : a 1 : a có cách chọn ; c có cách chọn b có cách chọn  có 2.5.8 80 số TH2 : a 2 : c có cách chọn b có cách chọn  có 4.9=32 số TH3 : a 4 : b 0, 2, : b có cách chọn c có cách chọn ; b 1,3,5 : b có cách chọn c có cách chọn ; c   0; 2  b 7 c có hai cách chọn   có 3.3  3.4  23 số Vậy ta lập tổng cộng 80  32  23 135 số c Gọi abc số tự nhiên lẻ có ba chữ số đơi khác nhỏ 475 TH1 : a 1,3 : a có cách chọn ; c có cách chọn b có cách chọn  có 2.4.8 64 số TH2 : a 2 : c có cách chọn b có cách chọn  có 5.8 40 số TH3 : a 4 : b 0, 2, : b có cách chọn c có cách chọn ; b 1,3,5 : b có cách chọn c có cách chọn ; c   1;3  b 7 c có cách chọn   có 3.5  3.4  29 số Vậy ta lập tổng cộng 64  40  29 133 số Câu Xếp bạn nam bạn nữ thành hàng dọc Hỏi có cách xếp : a) Nam nữ đứng xen kẻ b) Nữ đứng cạnh c) Khơng có nam đứng cạnh Lời giải a) Trường hợp : Bạn nam đứng đầu có cách chọn , bạn nữ có cách chọn , bạn nam có cách chọn , bạn nữ có cách chọn , cuối xếp bạn nữ có cách chọn Suy tổng số cách xếp 5!.5! cách Trường hợp : Bạn nữ đứng đầu , xếp hoàn toàn tương tự trường hợp , suy tổng số cách sếp trường hợp 5!.5! Kết luận theo quy tắc cộng tổng số cách xếp nam nữ xen kẽ 5!.5! + 5!.5! = b) Gọi nhóm bạn nữ nhóm X Số cách xếp bạn nam X 6! cách ứng với cách xếp có 5! cách xếp bạn nữ nhóm X Theo quy tắc nhân có 6!.5! = 86400 cách xếp c) Bước xếp bạn nữ đứng kề có 5! cách xếp Để bạn nam không đứng kế ta xen bạn nam vào bạn nữ bạn nữ có vị trí thêm vị trí đầu cuối, tổng cộng có vị trí để xếp bạn nam Chọn vị trí vị trí để xếp bạn nam, có A65 cách Theo quy tắc nhân có 5! A6 86400 cách xếp thỏa yêu cầu toán Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu Có thể lập số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu 0908, chữ số lại khác đôi một, khác với chữ số đầu phải có mặt chữ số Lời giải Gọi số điện thoại có dạng 0908abcdef Chọn vị trí vị trí abcdef để xếp chữ số có cách chọn Chọn chữ số chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 7} để xếp vào vị trí cịn lại, có A6 cách Kết luận có A6 4320 số điện thoại thỏa yêu cầu Câu 6: Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh cho học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh lớp 11 Lời giải Bước 1: Xếp học sinh lớp 11 thành hàng ngang, có 6! cách Bước 2: bạn học sinh lớp 11 có khoảng trống, chọn khoảng trống khoảng trống để xếp bạn lớp 12, có A5 cách Theo quy tắc nhân có 6! A5 14400 cách xếp thỏa yêu cầu DẠNG 3: TỔ HỢP = = = I PHƯƠNG PHÁP Khi giải toán chọn tập hợp X có n phần tử, ta dùng tổ hợp có dấu hiệu sau: *Chỉ chọn k phần tử n phần tử X ( k n ) *Không phụ thuộc vào thứ tự xếp phần tử chọn BÀI TẬP = = Câu Từ hồng vàng, hồng trắng, hồng đỏ (các hồng xem đôi khác = nhau) Người ta muốn chọn bó hoa hồng gồm bơng Có cách chọn I a) bó hoa có bơng hồng đỏ b) bó hoa có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ Lời giải a) Chọn bó hoa gồm bơng, có bơng hồng đỏ, bơng hồng cịn lại chọn bơng (gồm vàng trắng) Số cách chọn: C41 C86 112 cách b) Có trường hợp sau xảy thỏa yêu cầu tốn: Trường hợp 1: Chọn bơng hồng vàng, bơng hồng đỏ bơng hồng trắng, có C53 C43 C31 cách Trường hợp 2: Chọn hồng vàng hồng đỏ , có C5 C4 cách Trường hợp 3: Chọn hồng vàng hồng đỏ , có C5 C4 cách 3 3 Theo quy tắc cộng có: C5 C4 C3 + C5 C4 + C5 C4 Câu Có viên bi xanh, viên bi đỏ, bi vàng có kích thước đơi khác a.Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Page CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP b.Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ Lời giải a.Ta thức công đoạn sau: Bước 1: Chọn bi đỏ bi đỏ, có C5 cách chọn Bước 2: Có C13 cách chọn bi 13 viên bi xanh vàng Vậy ta có C5 C13 7150 cách b.Số bi xanh, đỏ, vàng chọn có trường hợp là: 3 Trường hợp 1: Chọn xanh, đỏ, ta có C9 C5 cách 2 Trường hợp 2: Chọn xanh, đỏ, vàng, ta có C9 C5 C4 cách 1 Trường hợp 3: Chọn xanh, đỏ, vàng, ta có C9C5C4 cách 3 2 1 Theo quy tắc cộng ta có: C9 C5  C9 C5 C4  C9 C5 C4 3045 cách Câu Có hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng a) Có cách lấy viên bi, có viên bi xanh có nhiều viên bi vàng phải có đủ màu b) Có cách lấy viên bi có đủ màu Lời giải a) Các trường hợp xảy theo yêu cầu đề: 2 Trường hơp 1: xanh, vàng, đỏ, có: C5 C4 C6 cách Trường hợp 2: xanh,1 vàng, đỏ, có: C5 C4 C6 cách 2 2 Vậy có : C5 C4 C6 + C5 C4 C6 1700 cách b) Sử dụng phương pháp gián tiếp: Lấy viên bi 15 viên bi bất kỳ, có C15 cách Trường hợp 1: lấy viên bi có màu xanh đỏ, có C11 cách Trường hợp 2: lấy viên bi có màu xanh vàng, có C9 cách Trường hợp 3: lấy viên bi có màu đỏ vàng, có C10 cách C   C119  C99  C109  4984 Vậy có : 15 cách Câu Một đội cảnh sát giao thông gồm 15 người có 12 nam Hỏi có cách phân đội csgt chốt giao thơng cho chốt có nam nữ Lời giải Bước 1: Chọn nam 12 nam chọn nữ nữ, có C12 C3 cách Bước 2: Chọn nam nam lại chọn nữ nữ cịn lại, có C8 C2 cách Bước 3: nam lại nữ lại bắt buộc phải công tác chốt giao thông cuối cùng, nên có cách 4 Theo quy tắc nhân có: C12 C3 C8 C2 207900 cách chọn Câu Mơt lớp có 20 học sinh có 14 nam, nữ Hỏi có cách lập đội gồm học sinh có a.Số nam nữ b.ít nữ Lời giải a.Bước 1: Chọn nam 14 nam, có C14 cách Page 10 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu Có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt cho 1, 2, đứng cạnh Lời giải Gọi a số gồm ba chữ số khác lập từ số 1, 2, Ta có 3! số a Với số a, ta xét A  a;0; 4;5; 6;7;8;9 tập hợp Số thỏa tốn có dạng M  xyz x, y, z phân biệt lấy từ A ln có mặt số a Ta có trường hợp sau : 2  Nếu x a yz có A7 cách chọn  có A7 số M;  Nếu y a x có cách chọn z có cách chọn  có 6.6 36 số M;  Nếu z a x có cách chọn y có cách chọn  có 6.6 36 số M Do từ A ta lập A7  36.2 114 số M Vậy số tất số lập 3!.114 684 số Câu Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi một, thiết phải có mặt hai chữ số ? Lời giải Gọi A a1a2 a3 a4 a5 số thỏa u cầu tốn Ta có ba trường hợp sau :  a1 1 :  Xếp số vào vị trí a2 , a3 , a4 , a5 có cách ; + Lấy số lại xếp vào vị trí cịn lại có A8 cách ;  có 4.A8 số có dạng 1a2 a3a4 a5  a1 3 : + Xếp số vào vị trí a2 , a3 , a4 , a5 có cách ; + Lấy số cịn lại xếp vào vị trí cịn lại có A8 cách  có 4.A8 số có dạng 3a2 a3a4 a5  a1 1 : + a1 có cách chọn (bỏ chữ số 0, 1, 3) + Xếp số vào vị trí cịn lại có A4 cách + Lấy số cịn lại xếp vào vị trí cịn lại có A7 cách 2  có A4 A7 số có dạng a1a2 a3a4 a5 có mặt và a1 1 3 2 Vậy tất có 2.4.a8  A4 A7 6216 Câu Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác cho số có mặt hai chữ số Lời giải d   0, 2, 4, 6,8 Gọi số cần lập n abcd , với Xét trường hợp xảy sau :  Trường hợp 1: d 0 , chọn vị trí vị trí abc để xếp hai chữ số có A3 cách Vị trí cịn lại có cách (bỏ chữ số 0,8,9) Vậy có A3 42 số  Trường hợp : d 8 Nếu a 9 , chọn chữ số từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7} xếp vào hai vị trí bc có A8 cách Nếu a 9 , có cách xếp chữ số vào hai vị trí b,c Vị trí a có cách chọn (bỏ chữ số 0,8,9) Vị trí cịn lại có cách (bỏ chữ số 8,9,a) Vậy có 2.7.7 98 số Page 19 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP  Trường hợp : d   2, 4, 6 d có cách chọn Chọn vị trí vị trí abc để xếp hai chữ số có A3 cách Vị trí cịn lại có cách chọn (bỏ chữ số d,8,9) Vậy có A32 126 số, 126 số có số chữ số đứng vị trí a Số trường hợp số vị trí a 3.2 6 số Kết luận có 42  A8  98  126  316 số cần tìm Câu Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt chữ số Lời giải n a1 a2 a3 a4 a5 a6  a1 0  Gọi số cần lập Bước 1: Xếp chữ số vào vị trí từ a2 đến a6, có cách xếp Bước 2: Xếp chữ số vào vị trí cịn lại (bỏ vị trí chữ số chọn), có cách xếp Bước 3: Chọn chữ số chữ số {2, 3, 4, 5, , 7, 8, 9}để xếp vào vị trí cịn lại, có cách A84 5.5 A4 42000 Theo quy tắc nhân có số thỏa yêu cầu Câu a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác đơi có mặt chữ số khơng có mặt chữ số ? b) Có số tự nhiên gồm chữ số chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ? Lời giải a Dùng ô sau để thiết lập số thỏa điều kiện toán :  Xếp số vào : có cách ;  Chọn số thuộc tập hợp  2;3;4;5;6;7;8;9 A xếp vào cịn lại có cách A5 33600 Vậy ta có số b Dùng sau để thiết lập số có chữ số :  Chọn ô để xếp số : có C7 Chọn để xếp số : có cách ; C cách ; Chọn số ( khác ) xếp vào cịn lại : có A82 cách ;  có C7 C5 A8 11760 số ( có kể số có số đứng đầu )  Khi số đứng ô thứ , ta có : C có cách xếp số ;  có C4 cách xếp số ;   có cách xếp số vào cịn lại ;  có C6 C4 480 số mà chữ số đứng đầu Page 20