HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC - LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 tháng năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) a1 0; 2 Câu (4,0 điểm) Cho dãy số an ( n = 1, 2, ) xác định − an2 + 2an , n an +1 = a) Tính lim an n→+ b) Tính lim ( nan ) n →+ Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : 0; + ) → 0; + ) thỏa mãn: f ( x2 ) + f ( y ) = f ( x + y + xf ( y ) ) , x 0, y Câu (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) cho AB cắt CD E AD cắt BC F Gọi G giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt D H Phân giác góc AHB cắt AB, AD I, J phân giác góc DHC cắt CB, CD K, L Gọi M , M giao điểm BH với AD CD; N , N giao điểm DH với BC BA Chứng minh rằng: a) Ba điểm G , I , L thẳng hàng b) Các đường thẳng KJ , MN , M N đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho a, b hai số ngun dương có tính chất: với số nguyên dương n , na + na + lập phương số nguyên dương nb + lập phương số nguyên dương Chứng minh 4b + số phương Câu (4,0 điểm) Sắp xếp học sinh đứng cách vịng trịn vị trí đỉnh đa giác Chứng minh tồn hai tam giác (có đỉnh đỉnh đa giác đều) (các đỉnh hai tam giác trùng hai tam giác phân biệt) mà tất học sinh đứng đỉnh hai tam giác giới (Giả thiết em học sinh em học sinh thuộc giới nam nữ) ………………………HẾT……………………… Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……………………… Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Cán coi thi khơng giải thích thêm