Phòng giáo dục đào tạo Thanh Miện Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán - lớp Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu I: (2 ®iĨm) x 1 A : x x x x 2x a) Rót gọn biểu thức: b) Xác định hệ sè a, b ®Ĩ ®a thøc f(x) = x ax b chia hÕt cho ®a thøc x x Câu II: (2 điểm) Giải phơng tr×nh sau: 15x 12 1 a) x 3x x x x x x 1 x 1 24 b) C©u III: (2 ®iÓm) 1 0 x y z a) Cho x, y, z số khác đôi khác thỏa mÃn: yz xz xy A x 2yz y 2xz z 2xy Tính giá trị cđa biĨu thøc: x 2x 2011 x2 b) Cho biĨu thøc M = víi x > Tìm x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu IV: (3 điểm ) 1200 Gọi M điểm nằm cạnh AB, hai đờng Cho hình thoi ABCD có BAD thẳng DM BC cắt N, CM cắt AN t¹i E Chøng minh r»ng: a) AMD ∽ CDN AC AM.CN b) AME CMB Câu V: (1 ®iĨm) 3 5 2 Cho a , b số dơng thỏa mÃn: a b a b Chøng minh r»ng: a b ab =============Hết============ Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: Câu I 2đ Phần ĐKXĐ a) Rút gọn A: 1đ Đáp án biểu ®iĨm: Néi Dung §iĨm 0,25 ® x 1 A : x x x x 2x 1 x 1 A : x x 1 x x 1 x x 1 A x x 1 x 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x x f(x) chia hÕt cho x x f(x) chia hÕt cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 3a b 27 (1) T¬ng tù ta cã f(2) = 2a b (2) Trừ hai vế (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 a Thay a = - vào (1) tìm đợc b = §KX§: x ; x 1 15x 12 1 x 3x x x 15x 12 1 x (x 1) x x A b) 1® a) 1® 15x 12 x 1 x x 3x 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x 4x 0 II 2® b) 1® x 0 x x 0 x x = (tháa m·n ®/k) ; x = - 4(không thỏa mÃn đ/k) Vậy nghiệm phơng trình x = x x x 1 x 1 24 x x 1 x x 1 24 x x x x 24 Đặt x x = t Phơng trình trở thành: t t 24 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® t 2t 24 Giải phơng trình tìm đợc t = - ; t = * Víi t = - => x x 0,25 ® 15 x x 0 x 4 (phơng trình vô nghiệm) III 2® a) 1® x x 6 x x 3 0 * Với t = => Giải phơng trình đợc: x= - ; x = 1 yz xz xy 0 0 yz xz xy 0 x y z xyz Từ giả thiết: (vì x,y,z >0) yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y 0,25 ® 0,25 ® z x z y T¬ng tù ta cã: z 2xy = y 2xz = y z y x Khi ®ã: b) 1® 0,25 ® yz xz xy A x z x y y z y x z x z y yz y z xz z x xy x y x z x y y z yz y z xz x z xy x z y z x z x y y z yz y z xz x z xy x z xy y z x z x y y z x x z y z y y z x z x z x y y z x z x y y z x z x y y z 0,25 ® 0,25 ® 1 0,25 ® x 2x 2011 2011x 2.2011x 20112 x2 2011x Ta cã: M = x 2.2011x 20112 2010x 2011x x 2011 0,25 ® 2010x x 2011 2010 2010 2 2011x 2011x 2011 2011 0,25 ® DÊu “=” xÊy x 2011 0 x 2011 0,25 ® (tháa m·n) 2010 VËy giá trị nhỏ A 2011 đạt đợc x 2011 IV 1® a) 1,5 ® A E M N B D 0,25 đ C Vẽ hình xác * Xét AMD CDN có AMD CDN ( so le trong) ADM CND ( so le trong) AMD ∽ CDN ( g g ) * V× AMD ∽ CDN AM CN = AD CD 0 V× BAD 120 CAD 60 ACD ®Ịu AD = CD = AC 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® b) 1,25 ® AM CN = AC2 V× AM CN = AC2 theo (a) AM AC AC CN Chøng minh MAC ACN 60 MAC ∽ CAN ( c g c) ACM CNA Mµ ACM ECN 60 CNA ECN 600 AEC 600 XÐt AME vµ CMB cã AME BMC ( ®èi ®Ønh); AEM MBC 60 AME ∽ CMB ( g g) a b2 1 ab a b ab 1 a b a b ab a b a b3 a b V 1® 1® a b3 a b3 a b a b5 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 2a 3b3 ab a 5b ab a ab a 2a b b 0 b2 0 ®óng a, b > Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết ®óng vÉn cho ®iĨm tèi ®a 0,25 ®