PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Cõu 1.(4 im) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x( x 2)( x x 2) b) Rút gọn biểu thức: A= 2n+1 + + + + (1 2)2 (2 )2 (3 )2 [ n(n+1) ] Câu 2.(4 điểm) yz xz xy 1 A= + + + + =0 x y z a) Cho x y z Tính 2 b) Tìm tất số x, y, z nguyên thỏa mãn: x y z – xy – y – z Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a2 a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) 2 2 Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: (a+b+ c ) =a +b + c a2 b2 c2 + + 2 Tính giá trị biểu thức: P= a +2 bc b +2 ac c +2 ab Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - SBD: PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung 2 x( x 2)( x x 2) ( x x)( x x 2) ( x x ) 2( x x) = ( x x 1) 0.5 0.5 0.5 ( x 1) b 2đ Ta có : a 2đ Câu (4 điểm ) (n+1) −n 2n+1 1 = = 2− 2 [ n(n+1) ] n ( n+1) n (n+1 ) => B = …=1- n(n+2) = (n+1) (n+1 )2 Ta cã a+b +c=0 th× 3 3 a +b +c =( a+b ) −3 ab ( a+b ) +c =−c −3 ab (−c ) +c =3 abc (vì a+b +c=0 nên a+b=c ) 1 1 + 3+ 3= + + =0 xyz x y z x y z ⇒ Theo gi¶ thiÕt A yz xz xy xyz xyz xyz x2 y z x y z 1 1 xyz xyz 3 y z xyz x b 2đ a 2đ Câu (4 điểm) Điểm 0.5 x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = y2 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = y (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = Có giá trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ¿ Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z ¿ Z nên x2 ¿ Z, 5xy ¿ Z, 5y2 ¿ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ¿ Z Vậy A số phương 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 b 2đ Dễ thấy a a a (a 1)(a 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 0.5 3 Xét hiệu A (a1 a2 a2016 ) (a a a 2016 ) ( a1 a2 a2016 ) 0.5 ( a13 a1 ) (a23 a2 ) ( a2016 a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho Do A chia hết cho 0.5 0.5 C D I H O F E 0,5 A Câu (6 điểm ) a 2đ b 2đ c 1,5đ K B M ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE BC Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 1 HO AC DM 2 ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB (KAB) IK đường trung bình hình thang ABFD AD BF AM BM AB IK 2 (không đổi) Câu (2 điểm ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định 0,5 Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB 2 0,5 (a+b+c)2= a +b + c ⇔ ab+ ac+ bc=0 2 a a a = = a +2 bc a −ab−ac +bc (a−b)( a−c ) 0,5 b2 b2 Tương tự: b 2ac (b a )(b c) 0,5 c c = c2 +2 ac (c−a )c−b ) a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c )(b c) (a b)(a c)(b c) 1 (a b)(a c)(b c) P Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,5