T 43

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu1(3 ®iĨm) a Phân tích đa thức sau thừa số: 1) x  2)  x    x    x    x    24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  a b c   1 b  c c  a a  b c Cho Chứng minh rằng: 2 a b c   0 b c ca a b Câu2(1®iĨm) Cho biểu thức:   10  x   x A      : x   x2   x  2 x x2  a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x A cú giỏ tr nguyờn Câu 3(1 điểm): x 2− yz y −xz = Chứng minh x(1− yz) y(1−xz) Với x ¿ y ; xyz ¿ ; yz ¿ ; xz ¿ Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) Câu 4(3®iĨm) Cho hình vuông ABCD , M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5(2®iĨm) 1   9 a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c b Cho a, b dơng và: a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 .Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Đáp án Điểm a.1) x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 2) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Câu (3 điểm) (1 điểm) b x  30x  31x  30  x   x   x  5  x  6  Vì x2 - x + = (x - )2 + > (*) x  (*) (x - 5)(x + 6) =  x  0  x 5   x  0  x     a b c   1 c Nhân vế của: b  c c  a a  b với a + b + c; rút gọn  đpcm (1 điểm) (1điểm) Câu (1 điểm)   10  x   x A    : x      x  2 x x 2  x 2   Biểu thức: 1 A x a Rút gọn c kq: b Câu3 (1 điểm) AZ Z  x   1;3 x Từ GT ⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) ⇔ x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 (0,5 điểm) 0,5 điểm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP ⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2-xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = ⇔ (x -y) 0,5 điểm [ xy−xyz( x + y + z )+ xz + yz ] = Do x - y ¿ nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)pcm) 0,5 điểm HV + GT + KL A E B (0,25 điểm) F M D C AE FM DF  AED DFC  đpcm b Ta cã BEC AFB  ECB FBA  EC  FB T¬ng tù: AED DFC  EDA FCD  DE  FC FMC DFE(c.g.c)  MCF FED  FE  MC DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm a Chứng minh: Câu (3 điểm) (0,75 điểm) (1 im) c Giả sử cạnh hình chữ nhật có độ dµi lµ a Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi  S AEMF ME.MF lớn  ME MF (AEMF hình vng)  M trung điểm BD Câu 4: (2 điểm) a Từ: a + b + c =  b c 1    a a a  a c 1  1   b b b a b 1  c 1  c  c  (1 điểm) (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 1  a b a c b c   3             a b c b a c a  c b 3    9 Dấu xảy  a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab =  (a – 1).(b – 1) =  a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 =  (1 điểm)