055 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh cao bằng

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP MÔN TOÁN – TỈNH CAO BẰNG – 2019 – 2020 Câu x3 f  x   x  x Hãy tính giá trị biểu thức: 1) Cho      2010   2011  Af   f     f   f    2012   2012   2012   2012  x x x 1  2x  x   x x  x x x x x2  x 2) Cho biểu thức Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên P Câu Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn  x  y   x  y   Câu Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn điều kiện abc  bcd  cda  dab a  b  c  d  2012 Chứng minh : a  1  b  1  c  1 2012 Câu Cho ba đường tròn  O1  ,  O2   O  (ký hiệu  X  đườn trịn có tâm X ) Giả sử  O1  ,  O2  tiếp xúc với điểm I  O1  ,  O2  tiếp xúc với (O) M , M Tiếp tuyến đường tròn  O1  điêm I cắt đường tròn  O  điểm A, A ' Đường thẳng AM cắt lại đường tròn  O1  điểm N1 , đường thẳng AM cắt lại đường tròn  O2  điểm N 1) Chứng minh tứ giác M N1 N M nội tiếp đường thẳng OA vng góc với đường thẳng N1 N 2) Kẻ đường kính PQ đường trịn (O) cho PQ vng góc với AI  P  nằm cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM QM khơng song song đường thẳng AI , PM , QM đồng quy Câu Tìm tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ràng ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giac màu đơi khác màu ĐÁP ÁN Câu 1) Nhận xét : Nếu x  y 1 f  x   f  y  1 f  x  Thật vậy, ta có: x3 x3    x   f  y   f 1  f  x  f  y  f  x  f 1 x  Suy x3 x3    1  x x  3 x  1  x   x  1  3 x x  1  x  1 f  Vậy nhận xét chứng minh Ta có:   Theo nhận xét ta có:     2011       2010   A  f   f   f   f      2012 2012 2012 2012               1005  f   1012   1007    1006  f   f   1005   2012    2012  2) Điều kiện : x  0, x 1 Khi ta có: P Rút gọn biểu thức ta 1 f   1005,5  2 x 2 x  x  Ta có: Px   P  1 x  P  0, ta coi phương trình bậc hai x Nếu P 0   x  0(ktm) nên P 0 nên để tồn x phương trình có:   P  1  P  P   0 4   3P  P  0  P  P     P  1  3 Do P nguyên nên  P  1 0   P  1 0  x 1( ktm)    P 2   P  1 1   P 0  P 2  x  x 0  x 0(ktm)   Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Câu Nếu x  y   x  y  x   y   1 nên phương trình vơ nghiệm Do x  y   x  y  y   x  x   x   1;2 Với x 1 thay vào phương trình ban đầu ta :  y  1  y 3  y     y  3  y  y   0    x 1 Với x 2 thay vào phương trình đầu ta :  y  2  y    y  y  y  0, phương trình vơ nghiệm Vậy  x; y   1;3 Câu Ta có: 2012  abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d    ab  1  c  d    cd  1  a  b   2 2   ab  1   a  b     cd  1   c  d       a 2b  a  b  1  c 2d  c  d  1  a  1  b  1  c  1  d  1 a Suy  1  b  1  c  1  d  1 2012 Câu 1) Ta có: AM AN1  AM AN  AI  AN1N ∽ AM M  AN1 N AM M  M N1 N  AM M 1800 hay tứ giác M N1 N M nội tiếp AN1 N AM M  AOM Ta có: tam giác AOM cân O nên 1800  AOM M AO  Do : ta : AN1 N  M AO 90  OA  N1 N 2) Gọi S giao điểm PM QM Ta có: O; O2 ; M thẳng hàng O2 I / / OP  IO2 M POM  1 Mặt khác tam giác O2 IM cân O2 , OPM cân O kết hợp với (1) ta O2 IM OPM  P , I , M thẳng hàng Tương tự ta có: Q, I , M thẳng hàng Do PQ đường kính đường trịn  O   PM 1Q PM 2Q 90  I trực tâm tam giác SPQ suy AI qua S hay ba đường thẳng AI , PM , QM đồng quy Câu B C A E D Xét ngũ giác ABCDE , ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh A, B, C , D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau : +) Nếu tô đỉnh A, B, C , D, E đủ loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +)Nếu tô đỉnh A, B, C , D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, trường hợp tồn tam giác cân, có 3đỉnh màu đôi khác màu