PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC x x x2 x 1 x x x Câu 1: (3 điểm) Cho A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) 2 a) Giải phương trình: x x x x 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + {(x+y)(x2−y2 )=45 ¿ ¿¿¿ c) Giải hệ phương trình: Câu : (4 điểm) a) Cho a b c 0 , tính giá trị biểu thức: 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n n số chính phương P Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ¿ (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= x 10 y 10 16 16 + + ( x + y )−( 1+ x y )2 2 y x ( ) Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn thi: Toán (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x 0, x 1 A x ( x 1) A x ( x 1) A x ( x 1) x x A (vì x x 1) 1 1 ( x ) 4 4 0.75đ 0.75đ Vậy GTLN A = 0.25đ x ( x 1) x x 1 x b c Điểm 0.25đ 0.75đ 1 x x (t / m) 0.25đ x x x x 18 2( x x 8) x x 0 0.25đ Đặt x x y, y 0 ta phương trình: y −3 y−2=0⇔2 y +y−4 y−2=0 [ y=2 [¿ ⇔(y−2)(2 y+1)=0⇔ [ y=− ¿ 2 a y = 0.25đ Nên: |2x-7| < x2 + 2x + { x2+9>0 ¿ ¿¿¿ {2 x−79 (x+2)2 >9 |x+2| >3 [ x+2>3 [⇔¿ [ x>1 [ ¿ [ x không thỏa mãn hệ Nếu y ¿ , chia hai vế 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 đặt t = x/y được: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x thay vào hệ phương trình nghiệm phương trình cho là: (x ; y) ¿ {(4;-1);(1;-4)} 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 1 2 2 2 2 b c (b c) a c (a c) a b (a b)2 1 a b c 0 (voi : abc 0) 2bc 2ac 2ab 2abc A n n số chính phương nên A có dạng P a (dk : abc 0) 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 1đ 1đ 0.5đ 4n 4n 24 4k (2k ) (2n 1) 23 b 0.25đ A n n k (k N * ) 0.25đ 2k 2n 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 2k 2n 1 0.5đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) a 2k 2n 23 k 6 2k 2n 1 n 5 0.75đ Vậy với n = thì A số chính phương C Δ ABC = AB+BC+CA 0.25đ = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) (t/c tt cắt nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt cắt nhau) 2 B M P A O 0.25đ C N = √OA −OM =2 √ a −R Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy P di chuyển cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi C Δ ABC = √ a2−R Ghi chú: 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) b S Δ BID= S Δ BIC Trình bày c/m: S Δ BIC = S ΔBIA Trình bày c/m: A 1 S Δ BID= S Δ BIA = S Δ ABD => S Δ ABD = S Δ ABC Trình bày c/m: 36 I S Δ BID S Δ ABC = =1 36 36 => 0.5đ 1.0đ 0.5đ E 0.5đ 0.5đ B D C Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0 Q= x 10 y 10 16 16 + + ( x + y )−( 1+ x y )2 y2 x2 = ( ) x 10 y 10 + +1+1 + ( x 16+ y 16+1+1 )−(1+ x y )2 − 2 y x ( ) 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 + +1+1 ≥2 x y 2 y x 16 16 ( x + y +1+1 )≥x y 4 ( ) Q≥2 x y + x y −1−2 x y 2−x y − =− 2 => Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = Chú ý: HS giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ