ĐỀ THI HỌC SINH GIỎi TOÁN Thời gian: 150 phút PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Bài (5 điểm) x √ x−1 x √ x+1 x+1 x−1 − + √ x− √ + √ x− √ x x+ √ x √ x √ x−1 √ x+1 ( Cho biểu thức: P = với x > 0; x ¿ 1 Tìm điều kiện xác định rút gọn P Tính P x = √ 9+4 √5−√ 9−4 √ 21 Tìm x để P < )( ) Bài (4 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + Giải phương trình: 2+ √ x 2− √ x + = √2 √2+√ 2+√ x √2−√ 2−√ x Bài (4 điểm) a b c + + =1 b+c c +a a+b Cho Tính giá trị biểu thức 2 a b c + + Q = b+c c +a a+b Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + = Bài (6 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O, R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B,C tiếp điểm, D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường tròn Chứng minh AH.AO = AD.AE Tiếp tuyến D (O) cắt AB, AC M N Biết OA = 6cm; R = 3,6cm Tính chu vi Δ AMN Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB,AC I K Chứng minh MI + NK ¿ IK Bài (1 điểm) Cho x, y ¿ R, x ¿ 0, y ¿ Chứng minh: x2 y2 x y + +4≥3 + y x y x ( ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Năm học 2013-2014 Mơn thi: Tốn Bài Bài 1 (5 điểm) P = Nội dung Điểm ( √ x −1)( x+ √ x +1) ( √ x +1)( x−√ x +1) x−1 ( √ x +1 ) + ( √ x −1 ) − + √ x ( √ x−1 ) √ x( √ x +1) √ x ( √ x+1 ) ( √ x−1 ) 2( x + √ x+1) √x = = Tĩnh x = = Thay x = tính P = 21 P< ⇔ ⇔ 1đ x > 0, x 1đ ¿ ( √ x−4)(4 √ x−1) < Lập bảng xét dấu Kết luận < x < x Bài (4 điểm) 0,5đ ¿ (x + y) + 7(x + y) + y + 10 = ⇔ ⇔ x2 + y2 + + 2xy + 2x + 2y + 5x + 5y + + = - y2 ⇔ (x + y +1)2 + 5(x + y +1) + = - y2 ⇒ A2 + 5A + = - y2 Vì - y2 ¿ nên A2 + 5A + ¿ ⇔ (A + 1)(A + 4) ¿ { A +1≤0¿¿¿¿ √ 2+ √ x ⇒ ⇒ = a, √ 2−√ x =b ⇒ 0,5đ ⇒ 0,5đ a2 + b2 = (a > 0, b > 0) 0,5đ a b + = √2 √2+a √ 2−b ⇒ Vì a > 0, b > ⇒ a - b = √2 0,5đ 0,5đ -4 ¿ A≤−1 Vậy maxA = -1, minA= -4 ĐK < x ¿ Đặt 2đ 0,5đ 2( x + √ x+1) 21 < √x ⇔ 0,5đ √ 2(2+ab )=( a−b )(2+ab ) ⇒ ⇒ + ab > ⇒ a2 - 2ab - b2 = ⇒ 2ab = ⇒ ab = 0,5đ √ ( 2+ √ x )( 2− √ x )=1 ⇒ √ 4−x=1 ⇒ 4−x =1⇒ x =3 Bài (4 điểm) Ta có a + b + c ¿ a + b + c = vào giả thiết ta có a b c + + =1⇔−3=1 −a −b −c Khi a + b + c ¿ ta có ( 0,5đ (TM) 0,5đ (vơ lí) a b c + + )(a+b+c )=a+b+c b +c c +a a+b 0,5đ a2 a( b+ c ) b( c+ a) b c ( a+ b ) c ⇒ + + + + + =a+b+ c b+ c b+ c c+ a c+ a a+b a+b 2 a b c + + b+c c +a a+b + a + b + c = a + b + c ⇒ 2 a b c + + b+c c +a a+b = ⇒ Q = ⇒ Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + = ⇔ ⇔ (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 2x + y + x + y + ước -1 TH 1: {2 x+y+1=1¿¿¿¿ 0,5đ 0,5đ 0,75đ ⇒ ⇒ x=2 , y=−4 0,5 đ TH 2: {2 x+y+1=−1¿¿¿¿ ⇒ ⇒ x=−2 , y=2 Kết luận (x,y) = (2; -4) (-2; 2) 0,5 đ 0,25 đ Bài I B M E D 1,25đ A H O N C K 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ Chứng minh OB ¿ AB, OC AC (theo tính chất tiếp tuyến) ⇒ ⇒ ⇒ ∠OBA =∠OCA=90 0,25đ B C thuộc đường trịn đường kính OA điểm A, B,O, C thuộc đường tròn 0,75đ Chứng minh OB AB Chứng minh OA BC H ⇒ AB = AH.AO (1) Chứng minh Δ ABD đồng dạng với Δ AEB ¿ ¿ ⇒ AB AD = AE AB ⇒ 0,5đ AB2 = AE.AD (2) AH.AO = AE.AD Từ (1) (2) ⇒ Tính AB = 4,8cm Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt suy AB = AC, MD = MB, ND = NC ⇒ Chu vi Δ AMN là: AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN = AM +AN + MB + NC = AB + AC = 2AB = 9,6cm Chứng minh IK//BC Và AB = AC ⇒ AI = AK ⇒ IK Δ AIK cân A ⇒∠ AIK =∠ AKI OI = OK = Theo t/c hai tiếp tuyến cắt suy ra: ∠ NMO=∠OMI = ∠ NMI ∠ MNO=∠ONK = ∠MNK Tứ giác MNKI có ∠ IMN +∠ MNK +∠NKO +∠ KIM=360 ⇒2 ∠ IMO+2 ∠ONK +2 NKO=3600 ⇒∠ IMO+∠ONK +∠ NKO=180 0 Đồng thời Δ NOK có: ∠ NOK +∠ ONK +∠ NKO=180 ∠ IMO =∠ NOK ⇒ Δ MIO đồng dạng với ΔOKN ⇒ ⇒ MI OI IK = ⇒ MI NK =OI OK = OK NK 0,5đ 0,5đ Áp dụng BĐT Cosi: MI + NK IK IK ≥√ MI NK= = ⇒ MI + NK≥IK √ x2 y2 x y + +4≥3 + y x y x Bài (1điểm) ( ) (1) x2 y2 x y ⇔ + +4−3 + ≥o y x y x (2) x y x y x y [a≥2 [¿ + ⇒|a|=| + |=| |+| |≥2 ⇒¿ [a≤−2 y x y x Đặt a = y x 2 x y + +2 2 y x ⇒ a = BĐT (2) trở thành a2 - 3a + ¿ ⇔ (a - 2)(a + 1) Lập bảng xét dấu suy ra: −1≤a≤2 ( [a≥2 [ Từ [a≤−2 ) ¿ a nằm miền nghiệm bất phương trình xét Vậy a thoả mãn a2 - 3a + ¿ ⇒ (1) x2 y2 x y + +4≥3 + y x y x Vậy 0,5đ ⇒ ( ) Lưu ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa Chứng minh hình phải có lập luận, chặt chẽ cho điểm tối đa 0,5đ