PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Bài 3: (3,0 điểm) Cho a, b > a + b = 2 1 1 a b 12,5 a b Chứng minh : Bài 4: (3,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 1 1 E x y y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trung tuyến AD Gọi I, K trung điểm tương ứng MB, MC P, Q giao điểm tương ứng tia DI, DK với cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Bài 6: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC , CA AB tương ứng h a , hb , hc Gọi O điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA AB tương ứng x , y z M Tính x y z hb hc HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MƠN TỐN Bài Với n = ta có A(0) = 19 19 (3,5đ) Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Bài (2,5đ) Ta có: {n+24=k2 ¿ ¿¿¿ 0,5 0,5 ⇔ ( k −h ) ( k +h )=89=1 89 ⇔¿ { k+h=89 ¿ ¿¿ Bài (3,0đ) 1,0 0,5 0,5 k 24 h 65 Vậy: 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 n = 452 – 24 = 2001 Nhận xét với x,y ta có: x y 0 x y 2 xy x y x y xy x y x y 2 1 1 a x ; b y a b Đặt ta : 2 2 1 1 1 1 1 a b 1 a b a b a b 1 a b 2 a b 2 ab ab a b 4ab ab Vì Bài (3,0đ) 2 1 1 1 a b 12,5 a b ab 2 4 Do : x y E ( x y ) y x y x Ta có 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 1,0 1 Áp dụng BĐT: a b a b với a > 0; b > 1 1 1 2 2 y x y x y Ta có x 1,0 0,5 a b 2 Áp dụng BĐT: b a với a > 0; b > x y x y 2 4 y x Ta có y x Bài (4,0đ) Vậy giá trị nhỏ biểu thức E = Dấu “=” xảy x = y = - Vẽ hình - Gọi E trung điểm AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào tam giác DPA, DAQ Suy ra: DI DE DK DP DA DQ - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK 0,5 1,5 1,5 0,5 A Bài (4,0đ) Vẽ hình 0,5 x B Xét hai tam giác ABC OBC ta có : BC.ha SABC = (1) BC x SOBC = (2) x S OBC h S ABC a Từ (1)và (2) ta suy : y S COA hb S ABC Tương tự ta có Từ tính : z S AOB h S ABC c : S S COA S AOB S ABC M BOC S ABC S ABC =1 C 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0