Phần 2

Câu 1: Giải phương trình sau đây: sin x  sin x  cos x Hướng dẫn giải: Ta có: sin x  sin x  cos2 x  cos x 1   sin x  sin x   cos x  cos x 4 1  1    sin x     cos x   2  2   cos x  1   sin x   cos x    sin x  cos x   sin x  2    cos x   sin x    cos x  sin x   cos x   2  sin x  cos x  x  k 2 , k  Z cos x   cos x     cos x     1   sin x  sin x    sin x      x  k 2   1   k, m   x    arcsin   m2       Câu 2: Giải phương trình lượng giác sau: a)  sin x  cos x   cos x  2 b) t anx   s inx cot x  c) 4(cos4 x  sin x)   sin x Hướng dẫn giải: a)  sin x  cos x   cos x  2  sin x  cos x    sin(2 x  )         x    k 2  x   12  k    x    5  k 2  x    k   k   b) t anx   s inx cot x  s inx   Điều kiện: cos x  cot x  1  s inx  cos x s inx  s inx cos x cos x  s inx s inx   s inx  cos x  s inx(  2)  cos x s inx   cos x    pt   Với sinx  , không thỏa mãn điều kiện Với cos x  Giá trị x     x    k 2   k     k 2   k    bị loại điều kiện cot x  1 Vậy pt cho có họ nghiệm là: x    k 2   k   c) 4(cos4 x  sin x)   sin x  4(1  2sin x.cos x)   sin x  4(1  sin 2 x)   sin x  2sin 2 x  sin x   sin x   sin x     sin x  x Câu 3:   k k   Giải phương trình cosx.cos 2x  Hướng dẫn giải x  k nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa pt sin x  sin x Suy x  k 2  k 2 ; x  5 Vì x  k nên pt có nghiệm x   Câu 4: 2  3  k 2 ; x    k 2 ; x    k 2 5  sin x  sinx  2cosx Hướng dẫn giải Giải phương trình VT   sin x  Theo BĐT Bunhiacôpski sinx  2cosx  (12  22 )(sin x  cos x)  Vậy phương trình xảy k  x  sin x   (Hệ phương trình vô nghiệm)   sin x  cos x  sin( x   )  1;  sin   ;cos       5  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos( x2 )  cos[ (x  x  1)] Hướng dẫn giải  x  x  x   2k cos( x )  cos[ (x  x  1)]   x  [ (x  x  1)]; k     2  x  ( x  x  1)  2k 2 2  x   2k  (1)   x  x   2k  (2) Ta có: (1)  x  1  2k ; k    xmin  (nghiệm dương nhỏ k  1 ) 2 (2) có   4k    k  (2) có hai nghiệm x1   k  (do k nguyên) 1  4k  1  4k   0; x2   2 Suy nghiệm dương x1 nhỏ k  Khi x1min  Vậy nghiệm dương nhỏ pt x1min  Câu 6: 1  Cho phương trình: cos x –  2m  1 cos x  m   1  0 a Giải phương trình m    3  ;  2  b Tìm m để phương trình có nghiệm x   Hướng dẫn giải a m  x phương trình  cos x  cos x    cos x  cos x     k 2 (k  )   3  ;  2  b Tìm m để phương trình có nghiệm x    cos x   phương trình  cos x  (2m  1) cos x  m   cos x  m    3  ;  ta có   cos x  nên cos x  không thoả mãn 2  với x     3 ; 2 Do phương trình cho có nghiệm x   Câu 7:    1  m   Tìm nghiệm phương trình cos x  sin x  cos x  sin x  thỏa mãn điều kiện: 2004  x  2005 Hướng dẫn giải cos x  sin x  cos x  sin x  (*) +  sin x  cos x  sin x cos2 x   cos x  sin x  cos x  sin x    + *   cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  1  cos x  sin x  cos x  sin x  2  + 1  cos2 x  (1) +    1  sin x  1  sin x    sin x  (vì sin x  khơng thể xảy ra) Ta có: *  cos2 x  sin x   sin x   x  k  , k    + Với điều kiện 2004  x  2005 , chọn số nguyên k  2552 Vậy x  638 Câu 8: Cho phương trình m sin x  cos x   m (1) ( m tham số) a Giải phương trình (1) với m  b Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a Với m  Thay vào phương trình 1 ta được: 1  sin x  cos x         sin  x     sin  x     x   k  x    k 4 4 4   b Phương trình có nghiệm  m2   1  m   m2    2m  m2  m  Câu 9: x  (2  3) cos x  2sin      1 Giải phương trình: cos x Hướng dẫn giải Điều kiện: cos x  x  (2  3) cos x  2sin      1 Ta có: cos x x    cos x  2sin     2cos x 2 4         cos x  1  cos  x      sin x  cos x        sin x  cos x   sin x.cos  cos x.sin  2 3      x    k 2 x   k 2       sin  x    sin    , k      3   x      k 2 x   k 2   6 Vậy phương trình có họ nghiệm x    k 2 x  Câu 10: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x  7  k 2 ,  k    m Tìm giá trị m cho phương trình cos x cho có nghiệm Lời giải ĐKXĐ: cos x  Với điều kiện chia hai vế phương trình cho cos x , ta được: m tan x  m   m 1  tan x   m tan x  m tan x 1  Đặt tan x  t , ta phương trình: mt  mt   * Do phương trình tan x  t có nghiệm với t nên phương trình cho có nghiệm m  * có nghiệm    m2  4m     m  4   Câu 11: Giải phương trình sin   x  cot 3x  sin   x   cos x  2  Lời giải ĐKXĐ: sin 3x    Ta có: sin   x  cot 3x  sin   x   cos x  2  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x cos x  sin x sin x  cos x sin x   cos x    cos x  sin x        x  10  k  x   k cos x      2     x   k 2  x   k k   sin x    12     x    k 2 3 x      k 2   4 Câu 12: Giải phương trình tan x  cot x  2sin x  Điều kiện: x  k  sin x Lời giải sin x  cos x  tan x  2sin x  sin x 2sin x  tan x  2sin x   2sin x  tan x 2sin x cos x  tan x  2sin x tan x  cot x  2sin x   4sin x  cos x  1   sin x  cos x  1  sin x   l  2    2x    k 2  x    k ,  k    cos x   3  Câu 13: Giải phương trình sin 3x  cos2 x  sin 5x  cos2 x Lời giải sin x  cos x  sin x  cos x   cos x   cos8 x   cos10 x   cos12 x   cos12 x  cos x    cos10 x  cos8 x     sin x.sin x  2sin x.sin x   sin x  sin x  sin x    2sin x.sin x.cos x     9 x  k  sin x  xk    sin x    x  k   k      xk cos x     x   k  Câu 14: Giải phương trình 3cos x  sin x  Lời giải 3cos x  sin x   sin x   3cos x (Điều kiện: cos x   1  cos x    12 cos x  cos x  13cos x  12 cos x  cos x   cos x  12 13  l  )  cos x   x    k ,  k    Câu 15: Tìm điều kiện tham số m để phương trình cos2 x  4cos x  m  có nghiệm Lời giải Đặt t  cos x , điều kiện 1  t  Phương trình cos2 x  4cos x  m  (1) trở thành t  4t  m   f  t   4t  t  m (2) Để (1) có nghiệm (2) phải có nghiệm t   1;1 Lập bảng biến thiên f  t  , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm 5  m  Câu 16: Với giá trị m phương trình sin x  cos x   m có nghiệm? Lời giải 1 m sin x  cos x   m  sin x  cos x  2  sin x cos   cos x sin  Phương trình có nghiệm   1 m   1 m   sin  x    3  1 m 1 m   1    2   m   3  m  2 Câu 17: Cho số thực a  b  c  Số nghiệm phương trình a sin x  b cos x  c khoảng      ;0    B A D thay đổi theo a, b, c C Lời giải a sin x  b cos x  c  a a b 2 sin x   sin  x     sin  (2) (vì  b a b c a  b2 2 cos x  c a  b2 (1)  1)    Trên khoảng   ;0  phương trình có nghiệm   Giải thích: Khi biểu diễn đường tròn lượng giác, họ nghiệm phương trình sin u  sin v biểu diễn điểm đối xứng với qua Oy , mà đề cho góc phần tư thứ IV nên có nghiệm Câu 18: Với giá trị m phương trình cos2 x  2sin x cos x  sin x  m có nghiệm Lời giải   Ta có: cos x  2sin x cos x  sin x  m  cos x  sin x  m  sin  x    m 4   m   sin  x    4  Phương trình có nghiệm m 1   m  Câu 19: Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  2sin x  2cos x  2sin x Lời giải   Đặt t  sin x  cos x  cos  x   ,   t  4  Ta có t   sin x  cos x    sin x  sin x  t  Ta hàm số y  2t  2t  2,   t  Bảng biến thiên: t  y 2  2 2 2  2 Suy M  ; m  2  2 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  m2   cos2 x  4m sin x cos x  m2  vô nghiệm Lời giải m    cos2 x  4m sin x cos x  m2   m    m2   cos x  4m sin x  m2    2x  4m sin x cos x  m   cos   3 Phương trình vơ nghiệm  m2   16m2  m2   m2   1  m  Câu 21: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin x  m cos x   m có nghiệm    x   ;   2 Lời giải x  khơng nghiệm phương trình x 2t 1 t2 Đặt t  tan  sin x  ; cos x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 Ta phương trình  m   m  t  4t   2m  1 2 1 t 1 t cos    Phương trình có nghiệm x    ;   1 có nghiệm t   1;1  2 Phương trình 1  t  4t   2m phương trình hồnh độ giao điểm parabol  P  : y  t  4t  đường thẳng d : y  2m Bảng biến thiên hàm số y  t  4t  t 1   2 y Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 1 có nghiệm    x    ;   2  2m   1  m   2  Câu 22: Phương trình sin x  cos x      cos  x   có nghiệm dương bé 10 ? 3  Lời giải sin x  cos x          cos  x    4sin  x     cos  x   3 3 3        Ta có:  sin  x      4sin  x    3 3       1  cos  x       cos  x    3 3    2     sin  x     x    k    Dấu "  " xảy    cos  x     1 4 x      l 2 , k , l        3 x   k ,  k   Vậy có nghiệm dương bé 10 ứng với k  0, k  1, k  2, k  Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm phương trình cot x  tan x  2cos x đường tròn lượng giác ta sin x điểm? Lời giải k ,  k   2cos x cosx sin x cos x cot x  tan x      cos x  cos x sin x sin x cos x sin x.cos x  cos x     2cos x  cos x 1    cos x  Điều kiện: sin x   x  k  x  + Với cos 2x   sin 2x  (không thỏa điều kiện)  + Với cos x    x    k ,  k    (thỏa điều kiện) Biểu diễn hai họ nghiệm x     k ,  k   đường tròn lượng giác ta điểm 10