TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN – LỚP 11 ĐỀ BÀI Câu I 2cos x cos x 4 cos x 4 Giải phương trình Cho số x y;5 x y;8 x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số ( y 1) ; xy 1; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x, y Câu II n Tính tổng S 2 1Cn 2Cn 3Cn n(n 1)Cn Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có sáu chữ số khác Tính xác suất để chọn số có chữ số chẵn chữ số lẻ Câu III lim n2 + n - n 4n + 3n - 2n ? ïìï x + + x + x +17 = y + y +1 í ïï x + y + y + 21 +1 = y - 3x Giải hệ phương trình ïỵ Câu IV Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x y 0 , trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB bằng đơn vị diện tích Hãy tìm tọa độ đỉnh C Tìm Câu V Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn BC 2a, đáy bé AD a, AB b Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB , mặt phẳng ( P ) qua M song song với SA, BC Tìm thiết diện hình chóp cắt ( P ) Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a, b x AM (0 x b) Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT cos x cos x 4 cos x 4 Câu I.1 Giải phương trình Lời giải Ta có: 2cos x cos x 4 cos x 4 cos x cos x 2 cos x 2 ⇔sin x+ √3 cos x=2 cos2 x ( ⇔cos x− π =cos x ) π [4 x− =−2 x+k 2π ⇔¿ [¿ π [4 x− =2 x+k 2π π kπ + 36 [ ( k∈Z ) ¿ ⇔¿ π [ x= +kπ 12 [ x= Câu I.2.Cho số x y;5 x y;8 x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số ( y 1) ; xy 1; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x, y Lời giải x y ;5 x y ;8 x y + theo thứ tự lập thành CSC nên ta có: x y x y 2 x y x 2 y 1 + y 1 ; xy 1; x theo thứ tự lập thành CSN nên ta có: 2 y 1 x xy 1 y 1 y +Thay (1) vào (2) ta được: 2 y 1 y y 1 4 y y x y 2 y x y : Câu II (5,0 điểm) n Tính tổng S 2 1Cn 2Cn 3Cn n(n 1)Cn Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có sáu chữ số khác Tính xác suất để chọn số có chữ số chẵn chữ số lẻ Lời giải n Ta có: S 2 1C 2C 3C n( n 1)Cn với số hạng tổng quát n! uk k k 1 Cnk k k 1 k ! n k ! n n n n n 1 n ! k ! n ! k ! n n 1 Cnk 22 k n Từ đó: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC S n n 1 C n n 1 n C n C n n Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 n +) Số phần tử không gian mẫu: n A10 A9 136080 +) Số số tự nhiên có chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ: TH1: Số tạo thành không chứa số Lấy số chẵn có: C4 cách; Lấy số lẻ có: C5 cách; Số hoán vị số trên: 6! 3 Suy số số tạo thành: C4 C5 6! 28800 TH2: Số tạo thành có số Lấy hai số chẵn khác : C4 Lấy số lẻ: C5 Số hốn vị khơng có số đứng đầu: 6! 5! 5.5! Số số tạo thành: C4 C5 5 5! 36000 +) Gọi biến cố A : “số đuợc chọn có chữ số chẵn chữ số lẻ” Suy : nA 28800 36000 64800 Xác suất xảy biến cố A : Câu III ( điểm) lim PA nA 64800 10 n 136080 21 n2 + n - n 4n + 3n - 2n ? ïìï x + + x + x +17 = y + y +1 í ïï x + y + y + 21 +1 = y - x Giải hệ phương trình ïỵ Lời giải Tìm lim Ta có n2 + n - n 4n + 3n - 2n = lim n ( 4n + 3n + 2n 3n ( n2 + n + n ) ) + +2 4n + 3n + 2n n = lim = lim = ỉ 3 n2 + n + n ữ ữ 3ỗ + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ n ố ø ( ) ìï x + + x + x +17 = y + y +1 ( 1) ïï í ïï x + y + y + 21 +1 = y - x ( 2) ïỵ Điều kiện: y ³ ( 1) Û ( x - y + 4) + x + x +17 - y +1 = Û ( x - y + 4) + ( x + 4) - y x + x +17 + y +1 =0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Û ( x - y + 4) + ( x + + y) ( x + - y) x + x +17 + y +1 Û ( x - y + 4) (1+ Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 =0 ( x + + y) x + x +17 + y +1 )=0 Û y = x +4 1+ Vì: ( x + + y) x + x +17 + y +1 = ( x + 4) +1 +( x + 4) + y +1 + y x + x +17 + y +1 > " x, y Ỵ ¡ y = x + vào ta đuợc Thay : ( 2) Û x + x + + x + 25 +1 = x +16 Û ( ) ( x +4 - + ) ( ) x + 25 - + x + - x +16 = ỉ x +12 ữ ữ xỗ + + =0 ç ÷ ç ÷ è x +4 +2 x + 25 + x + + x +16 ø éx = Þ y = ê Û ê 1 x +12 ê + + = (vn) ê x + 25 + x + + x +16 ë x +4 +2 Câu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2) , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x y 0 , trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB bằng đơn vị diện tích Hãy tìm tọa độ đỉnh C Lời giải Cách1: Tự luận CM CH 3 Vì GM GG ' nên S ABC 3SGAB 9 (đvdt) Gọi C ( 2t 1; t ) d x t ' AB : AB ( 2; 2) AB 2 y t ' Gọi H (t ' 1; t ' 2) Khi CH (t ' 2t 2; t ' t 2) t 2t ' t 0 t ' (*) Vì CH AB 0 nên Ta có 81 S ABC CH AB CH (t ' 2t 2) (t ' t 2) 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 Từ (*) suy t 3 Do C ( 7; 3), C (5; 3) Cách 2: Trắc nghiệm CM CH 3 Vì GM GG ' nên S ABC 3SGAB 9 (đvdt) Gọi C ( 2t 1; t ) d Ta có CA (4 2t ; t ), CB (2 2t ; t ) 1 S ABC (4 2t )(2 t ) (4 t )(2 2t ) 6t 3 t 2 Khi S ABC 9 t 3 Do C ( 7; 3), C (5; 3) Câu V Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn BC 2a, đáy bé AD a, AB b Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB , mặt phẳng ( P ) qua M song song với SA, BC Tìm thiết diện hình chóp cắt ( P ) Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a, b x AM (0 x b) Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn Lời giải Tác giả: Võ Quỳnh Trang ; Fb: Võ Quỳnh Trang Do ( P ) qua M song song với SA, BC nên: +) Trong ( SAB ) kẻ MQ / / SA , cắt SB Q +) Trong ( ABCD) kẻ MN / / BC , cắt CD N +) Trong ( SBC ) kẻ QP / / BC , cắt SC P Nối P, N Ta có thiết diện hình thang MNPQ CN BM BQ PC MQ BQ PC PN PN / / SD SA BS CS SD Mặt khác: CD BA BS CS Mà SA SD nên MQ PN Vậy thiết diện hình thang cân MNPQ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 17 - 17 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019 thi HSG cấp trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p trường lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019ng lớp 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019p 11 THPT Thuận Thành năm 2018-2019n Thành năm 2018-2019 MA QS QP MA.BC 2ax QP AB BS BC AB b Ta có: Gọi I trung điểm BC , J giao điểm MN DI JN DJ DJ IC ax ax a (b x ) a ( x x ) 2ax JN MN a QP DI b b b b b Khi đó: IC DI Suy thiết diện hình thang có đáy lớn MN Kẻ đường cao QH (như hình vẽ) thiết diện QM BM BM SA a (b x ) a (b x ) QM ; MH (MN PQ ) AB AB b 2b Ta có: SA a (b x ) QH QM MH 2b ( PQ MN ).QH a S MNPQ ( x 2bx b ) 2 4b Khi diện tích thiết diện b 4b 4b f ( x ) 3x 2bx b x 3 Xét b a2 S MNPQ x Và Nên diện tích thiết diện lớn 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang