Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
0,98 MB
Nội dung
H SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG I SỬ DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN THẲNG Một số kiến thức cần nhớ Bài tập vận dụng Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 2;3 , tâm đường trịn ngoại tiếp I (6;6) , tâm đường tròn nội tiếp K (4;5) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC Định hướng: -Phát chứng minh Theo tính chất tâm đường trịn nội tiếp ta có DB DC DK nên điểm B, C thuộc đường trịn tâm D bán kính DK 50 -Viết phương trình đường phân giác góc A ,phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Suy tọa độ D -Viết phương trình đường trịn tâm D , bán kính DK Suy tọa độ B ,C giao hai đường tròn Lời giải Từ giả thiết ta suy phương trình đường phân giác góc A là: AK : x y 0 Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( x 6)2 ( y 6)2 25 Gọi D giao điểm phân giác với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tọa độ điểm D phải thỏa x y 0 mãn hệ phương trình: 2 ( x 6) ( y 6) 25 D(9;10) Theo tính chất tâm đường trịn nội tiếp ta có DB DC DK nên điểm B, C thuộc đường tròn tâm D bán kính DK 50 Từ ta suy tọa độ điểm B, C phải thỏa mãn hệ: ( x 9)2 ( y 10)2 50 x 2 x 10 ; 2 y 9 y 3 ( x 6) ( y 6) 25 Hay B 2;9 , C 10;3 B 10;3 , C 2;9 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A(3;0) , AB 2 AC Gọi 144 M trung điểm AB Hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng BC K ( ; ) 5 Tìm tọa độ đỉnh B, C Định hướng: -Phát chứng minh KH KA AH KH 0 H B - Gọi H ( x ; y ) Ta có AH KH - Viết phương trình BC, AC Từ suy tọa độ điểm C Lời giải: Từ giả thiết ta suy tam giác AMC vuông cân A Mặt khác tứ giác AMKC nội tiếp, ta suy ACM AKM 450 Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC HAK AKM 450 nên tam giác AHK vuông cân H Gọi H ( x; y ) AH ( x 3; y), KH ( x ; y AH KH 0 Ta có AH KH ) 1 8 x x y y x , y 5 2 11 12 x ,y x y x y 5 5 5 3 4 + Nếu H ; B( 1;4) 5 5 Khi phương trình đường thẳng BC x y 0 ; phương trình đường thẳng AC x y 0 x y 1 C 1; Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 0 13 17 14 11 12 ; ,C ; + Nếu H ; tương tự ta tìm B 5 5 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ A đường thẳng chứa cạnh BC x y 0 x y 0 Đường thẳng qua A, vng góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D 2; Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đỉnh B có tung độ âm Định hướng : -Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm BC AD, E giao điểm AC BH, viết phương trình AD Tìm tọa độ A, K, M 145 -Chứng minh K trung điểm HD, suy H -Tham số hóa tọa độ điểm B C , Từ HB AC HB.AC 0 B Lời giải : Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm BC AD, E giao điểm AC BH Ta có phương trình đường thẳng AD: x+y=0 3 x y 0 A 1;1 Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y 0 x y 0 K 1; 1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ x y 0 3 x y 0 3 1 M ; Tọa độ điểm M nghiệm hệ 2 2 x y 0 Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE , KCE BDA BHK BDK K trung điểm HD, từ suy H 0;0 Từ B BC B b; b , M trung điểm BC suy C b;1 b b 0 B 0; Mà HB AC HB AC 0 6b 2b 0 b 3 B 3;1 lo¹i Vậy A 1;1 , B 0; , C 3;1 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BM đường trung tuyến Kẻ đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC E 2;1 , trọng tâm tam giác ABC G 2;2 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Định hướng: - Phát chứng minh HG = GE nên G trung điểm HE suy H -Viết phương trình đường thẳng HE, AB -Tham số hóa tọa độ A , từ HG HA 0 A -Viết phương trình AF, BC.Suy tọa độ điểm B Tham số hóa C , từ AB.AC 0 C Lời giải 146 Gọi AF đường trung tuyến góc A AF BE BM AE G trực tâm tam giác ABE Xét tam giác ABE có AF BE HBG HGB 90 o GEI 90 o HBG GEI Ta lại có EGI HGB EGI BHG GIE HG GE G trung điểm HE suy H 2;3 +) Phương trình đường thẳng HE: x-2=0 +) Phương trình đường thẳng AB: y-3=0 Giả sử A a;3 , từ HG.HA 0 a 3 A 3;3 +) Phương trình đường thẳng AF:x-y=0 +) Phương trình đường thẳng BC: x+y-3=0 y 0 B 0;3 Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 0 Giả sử C c; c , từ AB AC 0 c 0 C 3;0 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC A 3;3 , B 0;3 , C 3;0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn CB=CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE AB Phương trình cạnh BC : x y 13 0 ; phương trình đường chéo AC : x y 0 Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hồnh độ nhỏ E 14;1 Định hướng: -Phát chứng minh CA = CE -Tham số hóa tọa độ điểm A, từ CA=CE Suy A -Nhận xét CE vng góc AC từ suy AE vng góc AB -Viết phương trình AB, suy tọa độ điểm B Lời giải x y 13 C 8;7 - Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 1 147 - Ta có ABC EDC CA CE a 2 A 2;1 Giả sử A a; a 1 , từ CA CE a 36 a 14 - Lại có CE 6; , uAC 1;1 CE.uAC 0 CE AC Từ ABC EDC ACB DCE nên DCB ACE 900 EAB 900 AE AB - Đường thẳng AB qua A nhận véc-tơ AE 12;0 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình x 0 x 2 B 2;5 - Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 13 0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm A 1;3 Biết điểm 17 M 6;4 thuộc cạnh BC N ; thuộc đường thẳng DC Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình 2 vng ABCD Định hướng : -Viết phương trình AE, tham số hóa tọa độ điểm E -Phát chứng minh AE = AM Từ suy E - Viết phương trình đường thẳng DC,AD Suy D - Viết phương trình đường thẳng BC Suy C -Viết phương trình đường thẳng AB Suy B Lời giải Qua A dựng đường thẳng vng góc với AM cắt CD E, ta có: - Phương trình đường thẳng AE : x y 8 - Giả sử E e;8 e ABM ADE g.c g AE AM e 0 2 e 1 e 52 12 e 1 e 2 +) Với e 0 E 0;8 - Phương trình đường thẳng DC: x 17 y 136 - Phương trình đường thẳng AD: 17 x y 148 7 x 17 y 136 34 90 D ; Tọa độ điểm D nghiệm hệ 13 13 17 x y - Phương trình đường thẳng BC: 17 x y 74 7 x 17 y 136 85 69 C ; Tọa độ điểm C nghiệm hệ 13 13 17 x y 74 - Phương trình đường thẳng AB: x 17 y 58 7 x 17 y 58 64 18 B ; Tọa độ điểm B nghiệm hệ 13 13 17 x y 74 +) Với e 2 E 2; - Phương trình đường thẳng DC: x y 4 ; phương trình đường thẳng AD: x y 4 x y 4 D 4;0 Tọa độ điểm D nghiệm hệ x y 4 x y 10 C 7;3 - Phương trình đường thẳng BC: x y 10 Tọa độ điểm C nghiệm hệ x y 4 x y B 4;6 - Phương trình đường thẳng AB: x y Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y 10 Cả hai trường hợp ta kiểm tra CB kCM , k nghĩa M nằm cạnh BC 64 18 85 69 34 90 Vậy B ; ; C ; ; D ; 13 13 13 13 13 13 B 4;6 ; C 7;3 ; D 4;0 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm AD, hình 11 3 6 chiếu vng góc B lên CE H ; ; Điểm M ; trung điểm BH Tìm tọa độ 5 5 5 đỉnh hình vng ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm Định hướng: -Tìm tọa độ điểm B Chứng minh AM vng góc BH, viết phương trình AM - Tham số hóa tọa độ điểm A, tính độ dài BA, suy A -Viết phương trình BC, suy F C D Lời giải Do M trung điểm BH nên B 1; 149 MF / / CH A, M, F thẳng hàng AM BH BH CE Gọi F trung điểm BC, ta có FA / / CE Đường thẳng AM qua M nhận véc-tơ HM làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình AM : x y 0 Xét tam giác vuông ABF với đường cao BM, ta có 1 BA BM 4 BM BA2 BF BA2 a 2 A a ; a a a 16 a a 11 A 1;2 Giả sử a 11 lo¹i Đường thẳng BC qua B nhận véc-tơ AB 0; làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình y 0 Tọa y F 1; độ điểm F nghiệm hệ 2 x y 0 Suy C 3; D 3;2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có AD 3 BC hai đường chéo vng góc với Đường thẳng BD có phương trình x y 0, trực tâm tam giác ABD H 3;2 Xác định tọa độ đỉnh C D Định hướng: -Gọi I giao điểm BD AC Viết phương trình đường thẳng AC Suy tọa độ điểm I -Chứng minh I trung điểm HC H trung điểm AC Từ suy C, A -Tính độ dài IH Suy điểm B giao điểm BD đường tròn tâm I bán kính IH Lời giải Gọi I giao điểm BD AC Đường thẳng AC qua H vng góc với BD nên có phương trình x y 2 x y I 2;4 Tọa độ điểm I nghiệm hệ x y 6 ABCD hình thang cân IB IC HBC vuông cân I trung điểm HC (1) Gọi E giao điểm BH AD, ta có BC / / AE tứ giác ABCE hình bình hành H trung điểm AC (2) BC AE 150 Từ (1) (2) suy C 1;6 , A 5; Điểm B giao điểm BD đường trịn tâm I bán kính IH , nên tọa độ điểm B nghiệm hệ: x y 6 x x 0 ; 2 y 5 y 3 x y 5 Lại có AD 3 BC nên B 4;5 D 4;1 B 0;3 D 8;7 Bài 06 Trong mặt phẳng Oxy, Cho hình thoi ABCD có A(1;5) Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC, biết R r tọa độ điểm B, C, D biết B có hồnh độ dương phương trình đường chéo x y 0 Tìm 25 Lời giải Ta thấy A không nằm đường thẳng có phương trình x y 0 nên BD: x y 0 I hình chiểu A lên BD nên I(2;3) suy C(3;1) Gọi a cạnh hình thoi Trước hết ta chứng minh R r a2 Đường trung trực AB cắt AC P BD Q Khi P, Q tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Gọi H trung điểm AB K điểm đối xứng với P qua AB Ta có KB / / AC KBA BAI Do BAI ABI 900 KBA ABI 900 KBQ 900 Xét tam giác KBQ ta có BK BQ BH R r a2 suy a 5 t 1 2 Gọi B(2t-4;t) ta có AB 5 (2t 5) ( t 5) 25 t 6t 0 t 5 Với t 1 B( 2;1) (loại) Với t 5 B(6;5) I(2;3) trung điểm BD nên D(-2;1) Vậy B(6;5), C(3;1), D(-2;1) Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC với AK, CD hai đường cao ( D AB, K BC ) H trực tâm tam giác ABC Biết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác DHK: ( x 2)2 y2 5 , trung điểm AC M(7;5) Tìm toạ độ điểm A, B, C biết BC qua điểm Q(1;4) hoành độ điểm D lớn 151 Định hướng: Giả sử I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH Dự đoán dễ dàng chứng minh tam giác DMI, KMI tam giác vng Từ tính MH, MK Viết đường trịn tâm M bán kính MD Xác định tọa độ đỉnh D K giao hai đường trịn biết phương trình Tiếp theo ta viết đường thẳng BC qua Q K Xác định tọa độ B, C giao đường thẳng đường trịn, sử dụng tính chất trung điểm ta suy tọa độ A Lời giải Ta có ADC AKC 90o suy điểm A, D, K, C thuộc đường trịn (T) đường kính AC Gọi I trung điểm BH Ta có BDH BKH 90o suy điểm B, D, H, K thuộc đường trịn đường kính AC Suy I(2; 0) DK = DAM ADM Vì BH vng góc với AC nên IBD DAM 90 o , kết hợp với IBD IDB suy IDB ADM 90 o suy IDM 90o MD2 IM IK (7 2)2 (5 0)2 45 MD 3 Đường trịn tâm (T) có tâm M bán kính MD nên có phương trình ( x 7)2 ( y 5)2 45 D K thuộc đường tròn (T) đường trịn ngoại tiếp tam giác DHK nên có tọa độ nghiệm hệ 2 ( x 2) y 5 2 ( x 7) ( y 5) 45 x 1, y 2 Kết hợp với D có hồnh độ lớn ta D(4; -1), K(1; 2) x 4, y BC qua K có vectơ phương KQ (0;2) nên có phương trình x – = x 1, y 2 B(1;2) K ( loai) x 0 Tọa độ B thỏa mãn hệ 2 ( x 2) y 5 x 1, y B(1; 2) x 0 Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ 2 ( x 7) ( y 5) 45 Vì M trung điểm AC nên A(13; 2) Vậy A(13; 2), B(1; - 2), C(1; 8) x 1, y 2 C(1;2) K ( loai) x 1, y C(1;8) Bài 40 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(6;6), tia BA lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM=CN; Biết đường trung trực MN d: x 0 phân giác AD góc A có phương trình x y 0 Q(14;0) BC Xác định tọa độ điểm A, B, C, biết xB Định hướng: 152 Xác định tọa độ giao điểm P AD d Dự đoán chứng minh P điểm cung BC Khi viết phương trình đường thẳng BC qua Q vng góc với IP Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IP Từ xác định tọa độ A, B, C Lời giải x 0 Gọi P giao AD d Tọa độ P nghiệm hệ x y 0 x 9 P(9;10) y 10 Kẻ PH AB H, PK AC K Vì AP phân giác góc BAC nên PH = PK Kết hợp với PM = PN (do d trung trực MN) ta suy tam giác vuông HPM KPN HPM hay BMP CNP Kết hợp KPN HMP KNP với MB = CN, PM = PN suy BMP CNP (c- g - c) Suy PB = PC BPM CPN BPH CPK BPC HPK Mà AHP ACP 90 o 90 o 180 o tứ giác HACP nội tiếp HAK HPK 180 o BAC BPC 180 o suy tứ giác ABPC nội tiếp Kết hợp với PB = PC suy P điểm cung BC Đường trịn (T) ngoại tiếp tứ giác ABPC có tâm I(6; 6) bán kính IP (9 6)2 (10 6)2 5 nên có phương trình ( x 6)2 ( y 6)2 25 ( x 6)2 ( y 6)2 25 A thuộc (T) AD nên tọa độ A thỏa mãn hệ x y 0 x 9, y 10 A P( loai ) x 2, y 3 A(2;3) Đường thẳng BC qua Q có vectơ pháp tuyến IP (3;4) nên có phương trình 3( x 14) 4( y 0) 0 x y 42 0 3 x y 42 0 B, C giao BC (T) nên có tọa độ thỏa mãn hệ 2 ( x 6) ( y 6) 25 x 2, y 9 Mà xB x 10, y 3 nên B(2;9), C(10;3) Vậy A(2;3), B(2;9), C(10;3) Bài 53 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH, trung tuyến AM x – 2y – 13 = 0, 13x – 6y – = Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(- 5; 1) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Định hướng: 153 Vì hai đường thẳng qua A biết phương trình nên ta xác định tọa độ A Ta nhận thấy IM qua M song song với AH nên viết phương trình IM Xác định tọa độ M giao cuar AM IM Lúc ta viết phương trình đường thẳng BC qua M vng góc với AH Tiếp theo tìm tọa độ điểm B C dựa vào yếu tố độ dài đoạn IA, IB, IC Lời giải x y 13 0 x A( 3; 8) A giao AH AM nên tọa độ điểm A nghiệm hệ 13 x y 0 y Đường thẳng IM qua I song song vơi AH nên có phương trình 1( x 5) 2( y 1) 0 x y 0 x y 0 x 3 M (3;5) M giao Am IM nên tọa độ M nghiệm hệ 13 x y 0 y 5 Đường thẳng BC qua M vng góc với AH nên có phương trình 2( x 3) 1( y 5) 0 x y 11 0 B thuộc BC nên B(b; 11 – 2b) b 2 B(2;7), C(4;3) 2 2 Ta có IB IA ( b 5) (10 2b) ( 5) (1 8) b 6b 0 b 4 B(4;3), C(2;7) Vậy A(-3; -8), B(2;7), C(4;3) A(-3; -8), B(4; 3), C(2;7) Bài 54 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam 5 giác I(2;2) K ;3 Tìm toạ độ đỉnh B C tam giác 2 Định hướng: Ta xác định tọa độ điểm D giao điểm thứ hai AI với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Dự đốn chứng minh DB = DI =DI Từ viết phương trình đường trịn tâm D bán kính DI Tiếp theo xác định tọa độ B C giao hai đường tròn 5 Lờigiải: Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tâm K ;3 , bán kính R = AK = 2 A 5 25 x y 3 Phân giác AI có phương trình 3x + y – = I Gọi D = AI Ç (K) toạ độ điểm D thỏa mãn hệ K C B 154 D x y 0 x 1, y 5 D A( loai ) 5 1 5 25 x , y D ; x y 2 2 2 A C * Ta có ICD ICB BCD ICA IAC CID 2 ICD cân D DI = DC = DB 5 1 Đường tròn tâm D ; , bán kính DI = 2 có phương trình 2 5 1 x y 2 x Toạ độ hai điểm B, C nghiêm hệ x x 1 y 1 2 x 4 5 1 y y 1 2 5 25 y 3 2 Vậy B(1;1), C(4,1) B(4,1) C(1;1) Bài 55 Cho tam giác ABC có A( 11;-7), phương trình đường trịn nội tiếp (T): ( x 10)2 y2 25 Đường tròn (S) bàng tiếp góc C có tâm K qua điểm P(32;11) Gọi D tiếp điểm cạnh AB với đường tròn (T) Xác định tọa độ điểm B, C biết hoạnh độ điểm D lớn 10 K có tung độ âm Định hướng: Lấy K tâm (S), I tâm (T), M tiếp điểm AC với (T) Khi IA vng góc với AK Viết phương trình AK Ta tính AM = AD từ xác định tọa độ D,M Viết phương trình AC, AB Gọi F giao điểm thứ hai ID với đường tròn (T) Tiếp theo ta xác định tọa độ điểm K thuộc AK cách điều đường thẳng AB với P Viết phương trình CI qua I K Xác định tọa độ điểm C giao AC CI Xác định tọa độ B AB cho tam giác IKB vuông B Lời giải (T) có tâm I(10; 0) bán kính R = Gọi K tâm (S), M tiếp điểm AC với (T) Ta có AM AD AI R2 12 72 25 5 Đường trịn tâm A bán kính AD có phương trình ( x 11)2 ( y 7)2 25 155 Tọa độ điểm M D nghiệm hệ ( x 10)2 y2 25 2 ( x 11) ( y 7) 25 x 14, y ( x 10)2 y2 25 Vì D có hồnh độ lớn 10 nên x 7, y x 7 y 35 D(14; -3) M(7; -4) Đường thẳng AC qua A M nên có phương trình x 11 y 7 x y 0 11 Đường thẳng AB qua A D nên có phương trình x 11 y 7 x y 65 0 14 11 Vì AI, AK phân giác góc A nên AK AI Đường thẳng AK qua A có vectơ pháp tuyến IA (1; 7) nên có phương trình 1( x 11) 7( y 7) 0 x y 60 0 Suy K(7k + 60; k ) 2 Ta có KP d( K ; AB) (7 k 28) k 11 4(7 k 60) k 65 2 25 k2 20 k 320 0 ( 3) k K (32; 4) k 16 ( loai ) Đường thẳng CI qua I K nên có phương trình x 10 y x 11 y 20 0 32 10 3 x y 0 x C( 1;2) C giao AC CI nên tọa độ C nghiệm hệ 2 x 11 y 20 0 y 2 4b 65 4b 53 4b 65 IB b 10; , KB b 32; B thuộc AB nên B b; Suy Do BI, BK phân giác góc B nên IB KB 4b 65 4b 53 IB KB 0 ( b 10)( b 32) 0 b 11 B(11; 7) A( loai ) b 23 B(23;9) Vậy B(23;9), C(-1;2) Bài 62: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC BAC 90 o , trực tâm H(2;1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;0) Trung điểm cạnh BC nằm đường thẳng d : x y 0 Tìm toạ độ đỉnh B C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E(6;-1) B có hồnh độ nhỏ Định hướng: 156 Dự đốn chứng minh tính chất: Hai tam giác HBC DBC có bán kính A H I B C D d E Lời giải: Ta có: BAC 90 o , I thuộc d d qua trung điểm cạnh BC nên d trung trực cạnh BC Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC t 1 K d K t; , KH KE Từ suy K (5;2) KH 10 Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC ( x 5)2 ( y 2)2 10 Gọi D giao điểm AH đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (D khác A) M, N thứ tự chân đường cao kẻ từ A B tam giác ABC Ta có: ABMN tứ giác nội tiếp Suy NBM MAN Kết hợp với DBC suy HBM Suy tam giác BHD cân B Suy H D đối xứng DAC MBD với qua đường thẳng BC Suy hai tam giác HBC DBC có bán kính Do bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC KH 10 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( x 1)2 y2 10 ( x 5)2 ( y 2)2 10 Toạ độ điểm B, C nghiệm hệ 2 ( x 1) y 10 Kết hợp với B có hồnh độ nhỏ ta tìm B(2; 3), C(4; -1) Bài 60: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(2;-1), cạnh BC có độ dài , M(0; -3) trung điểm BC Biết điểm A thuộc d :3 x y 0 Xác định toạ độ đỉnh B, C Định hướng: Biểu diễn tọa độ điểm A theo tham số Kết hợp với tọa độ trung điểm M trọng tâm G ta suy tọa độ G theo tham số Ta tìm lại kết hệ thức vectơ liên hệ ba điểm H, G tâm đương trịn ngoại 157 tiếp I Từ lấy tọa độ I theo tham số Tiếp theo vận dụng IM MB2 IB2 IM MB2 IA để xác định tham số Tiếp theo lấy tọa độ điểm I, A đồng thời viết phương trình BC phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ lấy tọa độ B, C Lời giải: d A H G I B C M Gọi G, I thứ tự trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 4t Vì A thuộc d :3 x y 0 nên A(4 t;3t ), t R MA 3 MG G ; t 2 Gọi D điểm đối xứng A qua I Ta dễ dàng chứng minh HBDC hình bình hành Suy HB HC HD HA HB HC HA HD HI HG 2 HI GH 2GI I 2t 1; 3t Mà IM MB2 IB2 IM MB2 IA2 nên t 1 Suy A(4;3), I (1; 1) Do đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình ( x 1)2 ( y 1)2 25 Viết phương trình đường thẳng BC x y 0 ( x 1)2 ( y 1)2 25 Toạ độ điểm B, C nghiệm hệ phương trình Suy B( 4; 1), C(4; 5) x y 0 B(4; 5), C( 4; 1) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1;-1) đường trịn (C) có phương trình (x – 3) + (y – 2)2 = 25 Gọi B, C hai điểm phân biệt (C) khác A Viết phương trình đường thẳng BC, biết I(1;1) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (Đề thi HSG Nghệ An năm 2013) Định hướng: 158 Dự đoán chứng minh giao điểm thứ AI với (C) cách B, C, I Lời giải: Đường trịn (C) có tâm H(3;2), bán kính R = Phương trình đường phân giác góc A AI: x – y = Gọi D giao điểm thứ AI (C) x – Tọa độ D thỏa mãn hệ x y 0 y – 25 x 1, y D A( loai) x 6, y 6 D 6; Do H tâm đường tròn (C) nên HB = HC = HD = A C Ta có ICD ICD cân D DI = DC = DB ICB BCD ICA IAC CID 2 Nhận thấy B, C, I (vì DB = DC = DI) thuộc đường trịn tâm D(6;6), bán kính R = nên có phương trình (x – 6)2 + (y – 6)2 = 50 x – Tọa độ B C thỏa mãn hệ x – y y – 25 – 50 Suy phương trình BC: 6x + 8y – 34 = 159 x y – 34