Chuong 01b

A GIỚI THIỆU Phương ph{p n|y kh{ v| thường sử dụng c{c b|i to{n tìm cực trị với c{c bất đẳng thức có dạng: a  f ( x )  b với x  D Nguyên tắc chung l| đưa tìm điều kiện để phương trình m  f ( x ) có nghiệm D Trong trường hợp có nhiều biến ta cần đưa phương trình với biến đưa hệ phương trình có B NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP 1) Tìm miền giá trị cách xét điều kiện có nghiệm phƣơng trình bậc hai Một phương trình bậc hai có dạng: Ax  Bx C  với A  Điều kiện để phương trình có nghiệm l|:   B  AC  Vì cần tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức m  f ( x , y, z ) Ta biến đổi tương đương m để đưa phương trình bậc x y z Khi sử dụng điều kiện có nghiệm ta tìm Max v| Min m x  y  z   Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực thoả mãn điều kiện   2   x  y  z  Tìm gi{ trị lớn v| nhỏ biểu thức P  x  y 2 z 2 Lời giải Trong biểu thức P có z kh{c so với x v| y ta tìm c{ch rút x  y theo z đưa phương trình bậc hai z Việc tìm Max v| Min P ta chặn điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai z 2 Ta có  z  2 P  x  y    z  2 P  2   x  y  Chú ý x  y   z    x  y   z      x  y   3z  z   1 2 2   x  y  x  y   z x  y   z         2 Vì  z  2 P  2  3 z  z      z  2 P   z  2 P  z  z     P  3 z  4 P  P  6 z  P  8P   (1) 2 2 Ta có (1) l| phương trình bậc hai z điều kiện có nghiệm l|  '  2 P  P  3   P  34 P  P  3   23P  36 P    36 P 0 23 + Với x  2, y  0, z  ta có P gi{ trị lớn P + Với x  20 66 36 , y  ,z  P -36/23 gi{ trị nhỏ P  31 31 31 23 Bài tập tƣơng tự 53 x  y  z   Cho x,y,z l| c{c số thực thoả mãn điều kiện   2   x  y  z  Tìm gi{ trị lớn v| nhỏ biểu thức P  x  y 1 z 2 32 32 P  3 2) Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm phƣơng trình lƣợng giác Đ{p số: Phương trình dạng: A sin x  B cos x  C có nghiệm v| A2  B  C Ví dụ Chứng minh với số thực x ta có cos x  sin x   2 11 cos x  sin x  Lời giải Đặt y  cos x  sin x   y 2 cos x  sin x    cos x  sin x  cos x  sin x   2 y 1cos x  y  2sin x   y (1) Điều kiện để (1) có nghiệm l| 2 2 y 1   y  2  3  y   11y  24 y     y2 11 B|i to{n chứng minh 3) Kỹ thuật điều kiện có nghiệm phƣơng trình - hệ phƣơng trình Thay tìm trực tiếp Max v| Min biểu thức ta đưa tìm điều kiện có nghiệm hệ phương trình Ví dụ Cho x,y l| hai số thực thoả mãn điều kiện x  y 1 Chứng minh  4x y2  x  y2  3 3  x  y2  2 Lời giải 2 Đặt m  x  y Ta cần tìm Max v| Min m Thay chứng minh trực tiếp ta tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm   m  x  y2    2  x  y  1  x y  x  y     m  x  y    4 2 2   x  y  x  y  x y   2   m  x  y   2  x  y   3 x  y   x         m  3m   x2   2   m  x  y      2   m  m 1  m  3m   x    y2     Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm l| 54   m  3m    0   3 3   m   2 m  m    0    3 3  x  y2  2 Bài tập tƣơng tự Vì Cho x,y l| c{c số thực thoả mãn điều kiện x, y  1;4 x y  x  y  18xy 16 Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P 2x  y x  x  y2  y   x  y Đáp số: Pmin  16   17  ; Pmax  64   37  Ví dụ Cho x,y l| c{c số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x  y   x 1  y 1 Tìm gi{ trị lớn biểu thức P   x  y  Lời giải   u 1  x    u  x   Đặt  ,u, v  0       v   y  1  v  y      Điều kiện b|i to{n trở th|nh u2  v    u  v  u  v   u  v  2  u  v   u  v  2uv    u 1 v 1 u  v     Khi P     2  u  v  u  v  u  v   4uv u  v   2   u  v   u  v   2uv   (1)   2 Vậy ta có hệ phương trình   u  v   4uv u  v    P  (2)       2 Từ (1) ta có 2uv  u  v   u  v   u  v  2  u  v   u  v 12   2  u  v  Chú ý u  v   x  y    2 x  12 y  1   x  y    Vì ta có t  u  v   6;6   u  v   u  v   u  v  6u  v  P Khi 2 u  v   u  v  12u  v   2  t t  4t  12 55 Xét h|m số f (t )  t t  4t  12 liên tục đoạn  6;6 ta có   t  ;6   f '(t )  t t  3t  6; f '(t )   t   33     33  69  11 33   Ta có f ( 6)   6; f  ; f (6)        33  69  11 33   Vì Pmax  f max  f    Dấu xảy v|      33  33   u v  xy     2        33  33     x  y 2  2x 1  y 1      2     x  14  33  414  66 33 , y  14  33  414  66 33  8    14  33  414  66 33 14  33  414  66 33 x  ,y  8  69  11 33 Vậy gi{ trị lớn P  Ví dụ (TSĐH Khối A 2006) Cho x,y l| số thực x  0, y  thỏa mãn điều kiện xy ( x  y )  x  y  xy Tìm gi{ trị lớn biểu thức A  1  x y3 Lời giải  x  y u  Nhận thấy x, y đối xứng nên đặt :     x y  v Giả thiết b|i to{n trở th|nh: u.v  u  3v  v  u2 (do u  3 ) u 3 Ta có 1 x  y u(u  3v ) u  u         u  x y3 v3 v  xy  Vì u  4v  u  u  4u u 1  1  0   u  3 u 3 u 3 u 3  Chú ý để tìm Max A ta cần xét với A 16 : Xét h|m số f(u) = u 3  nên ta cần chứng minh Max u u 3  với u  u  3 u u 3 3  f’(u) =  suy f(u) u u Trên khoảng ( ;3 ) 1; ) f(u)  f(1); u  Còn < f(-3) < f(u) -3 Vậy gi{ trị lớn A 16 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 56 sin x  cos x  Bài Chứng minh với số thực x ta có   2 sin x  cos x  Bài Chứng minh với số thực x v| y ta có  cos 3x  y sin 3x  1 y   y 1      cos 3x  Bài Chứng minh với số thực x,y thoả mãn điều kiện 2 x  y2 x  y  x  y    2 Chứng minh 5 5  x  y2  2 Bài Cho x,y l| c{c số thực thoả mãn điều kiện x  xy  y  Chứng minh 4   x  xy  y    x  y  z  Bài Cho x,y,z l| c{c số thực thoả mãn điều kiện   2   x  y  z  Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y 3 z 2 Bài Cho x,y l| hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện 2x   y   Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P  x   y  D HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Đặt y  sin x  cos x 1  2  y  sin x  2 y  1 cos x  y 1 sin x  cos x  2 Điều kiện để phương trình có nghiệm l|: 2  y   2 y 1  3 y 1  y2  y      y  B|i to{n chứng minh Bài Đặt m  cos 3x  y sin 3x 1  m 1 cos 3x  y sin 3x  1 2m cos 3x  2 Điều kiện để phương trình có nghiệm l| m 1  y  1 2m  3m  2m  y   1 y 1  y 1 m 3 2 1  y    y 1    y   y   m   Suy m    3   B|i to{n chứng minh   m  5m   x    Bài Tìm được:    m  m 5   y     Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm l|: 57   m  5m    0   5 5   m  5m    m   2 m  m    0    B|i to{n chứng minh Bài Nếu y  bất đẳng thức Xét với y  đặt m  x  xy  y t  t   x  xy  y t  t 1 Suy m t  t 1  t  t   m 1t  m 1t  m   Điều kiện để phương trình có nghiệm l|   m 1  m 1m  3   3m  6m 13   3  3  m 3 Chú ý  x  xy  y   4   x  xy  y   B|i to{n chứng minh x  y   Bài Chú ý z  2 ngược lại ta có  vơ nghiệm  2   x  y  Khi  z  2 P  x  y    z  2 P   x  y Từ hệ điều kiện ta có  x  y  3 z  x  y   z        x  y   3z  z    1 2 2   x  y  x  y   z x  y   z         2 Khi  z  2 P  3  3 z  z    z  2 P   z  2 P  z  z     P  3 z  4 P  P  6 z  P 12 P   Điều kiện phương trình có nghiệm l| 2 P  3P  3 P  34 P 12 P  8   23P  54 P  15   Vì Pmin  27  27  P  23 23 27  27  ; Pmax  23 23 Bài Thực tương tự b|i tập mẫu: Pmax  10  22; Pmin  2 58 BÀI TẬP MẪU Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z 1  xyz Chứng minh xy  yz  zx  x  y  z Lời giải Theo nguyên lý Dirichlet tồn số ( x 1),( y 1),( z 1) dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử  x 1 y 1   xy  x  y 1  xy  yz  zx  x  y 1  yz  zx Vậy ta cần chứng minh x  y 1  yz  zx  x  y  z  z x  y 1  Theo giả thiết ta có z  x  y 1 xy 1 Vậy ta chứng minh x  y 1 2  x  y 1    x  y  1  xy 1   x  y   xy 1 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  abc  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh 1 a  a 1 b  b 1 c  c   Lời giải Trong ba số 1 a,1 b 1 c tồn hai số dấu không tính tổng qu{t giả sử hai số l| 1 b 1 c suy 1 b 1 c   Khi 1  b  b 1  c  c   b  b c  c   b  c  b  c   bc b 1c 1  b  c  b  c  2  b  c  b  c   b  c   b  c   a  4a   3  a   3  a    2 Vì bất đẳng thức chứng minh ta chứng minh a  4a    a 1 a  3a  3  (luôn đúng) Đẳng thức xảy v| a  b  c  1 a  a  Nhận xét Ngo|i b|i to{n giải kỹ thuật dồn biến xem chương Bài Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện x  y  z  xyz  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  xy  yz  zx  xyz 59 Lời giải Trong số (2 x 1),(2 y 1),(2 z 1) tồn hai số dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử 2 x 12 y 1    x  y  xy   z  x  y  xyz  Chú ý 1 z  xyz  x  y  xy  xyz  xy  z  1  xy  Vì P  z 1 z 1 z z   2 Với x  y  z  P ½ Vậy gi{ trị lớn P 1/2 Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  abc  Chứng minh ab  bc  ca  abc  Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương có tích 1 Chứng minh  x  1    y  1  z  1   x  1 y  1 z  1 1 Lời giải Trong ba số ( x 1),( y 1),( z 1) ln có hai số dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử  x 1 y 1   xy 1  x  y   xy 1   x 1 y 1 Sử dụng bất đẳng thức  x  1   y  1   xy Chứng minh xem chương Suy VT  1 z z      1  xy  z  12 1  xy 1  z   z  z  12 1  z 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m chứng minh abc   a 1 b 1  c 1   a  b  c 2 2 Lời giải Luôn tồn hai ba số (a 1),(b 1),(c 1) dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử a 1b 1   ab  a  b 1 Khi ta cần chứng minh c a  b 1   2 a 1  b 1  c 1   a  b  c 2 2  a 1  b 1  c 1  a  b  2c 1 Sử dụng bất đẳng thức C –S v| bất đẳng thức AM – GM ta có 2 2 a 1  b 1  c 1  a  b   2  c 1  a  b   2 c 1  a  b  2c 1  a  b  2c 1 60 Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m chứng minh a  b  c  2abc 1  ab  bc  ca  Lời giải Bài to{n trình b|y chủ đề Kỹ thuật sử dụng tam thức bậc hai Dưới đ}y l| lời giải tiếp cận theo nguyên lý Dircihlet Luôn tồn số a 1,b 1,c 1 dấu, khơng tính tổng qu{t ta giả sử a 1b 1   2c a 1b 1   2abc  ac  bc  c  Vậy ta cần chứng minh a  b  c   ac  bc  c   ab  bc  ca  2  a  b   c 1  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực không }m chứng minh a  b  c  a b c   ab  bc  ca  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện a  b  c  abc  Chứng minh abc  ab  bc  ca  abc  Lời giải Bất đẳng thức vế tr{i đơn giản số có số không vượt qu{ giả sử l| c ab  bc  ca  abc  ab 1 c   c a  b   Đẳng thức xảy chẳng hạn a  2, b  c  Ta chứng minh bất đẳng thức vế phải: Trong ba số (a 1),(b 1),(c 1) ln có hai số dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử a 1b 1   ab  a  b 1  abc  c a  b 1 Vậy ta chứng minh c a  b 1   ab  bc  ca  ab   c Chú ý  (a  b )  c  abc  2ab  c  abc  ab   c Bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tích Chứng minh 1  a   1  b   1  c   1 a  b  c 1 Lời giải Theo nguyên lý Dirichlet số a 1,b 1,c 1 dấu, khơng tính tổng qu{t ta giả sử a 1b 1    ab  Chú ý 1  a   1  b   c 1  a b c c   ab c  Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có P  c 1    c  c  c  1  c 1 c Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  61 A BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c l| c{c số thực thoả mãn điều kiện 1 1    a  b  9c  Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P  a  2b  3c B HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1 1    x  y2  z  Bài Để đơn giản đặt x  a, y  2b, z  3c ta có Ta cần Max v| Min P  x  y  z Theo giả thiết kết hợp sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1 1     x  y2  z   y2   y  8  z2 2  z  8  y2  z  y2  z  Tương tự ta có 1 x2 2 z2 2 1  ;  2 y 8 x 8 z 8 z 8 y2  x  y2  x  Nh}n theo vế ba bất đẳng thức ta được: x  2 y  2z  2  27 (1) Mặt kh{c  x  2 y  2 z  2  3 x  y  z  (2) Thật bất đẳng thức cho tương đương với: x y z   x y  y z  z x     xy  yz  zx  Trong ba số ( x 1),( y 1),( z 1) ln có hai số dấu, khơng tính tổng qu{t giả sử x 1 y 1   x y  x  y 1  x y z  z x  y 1 Do ta cần chứng minh z  x  y 1  x  y  z   x y  y z  z x     xy  yz  zx  2 2   x  y   3 yz 1   xy 1   xz 1  Bất đẳng thức cuối suy điều phải chứng minh Kết hợp (1) v| (2) ta có  x  y  z    3  x  y  z  1 Vậy gi{ trị nhỏ P -3 đạt a  1, b   , c   1 Gi{ trị lớn P đạt a  1, b  , c  62 2 x  3 y  y  3   y  y  33 y  y 1  3 y 1  Điều chứng tỏ bất đẳng thức Đẳng thức xảy v| x  y  1, z  c{c ho{n vị Bài 10 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện a  b  c  a  b  c  3abc  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  max a, b, c   a, b, c  Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c , c  a, b, c   P  a  c Ta có:  a  b  c  3abc  a  b  c a  b  c  ab  bc  ca  2   a  b  c  a  b   b  c   c  a     2 2  a  b   b  c   c  a   2 Suy ra: P  a  b   b  c   2  P  a  c   c  b   b  c   2  P  a  c   b  c   a  c b  c    P  P b  c   b  c  1  Coi đẳng thức l| phương trình bậc với ẩn l| b  c Để phương trình n|y có nghiệm ta phải có bc  P   P 1   P   P  3     2   a c  a     3       2   b  c     b  Đẳng thức xảy v|  b  c     3       a b c  2     c        a  b  c Vậy gi{ trị lớn P đạt a  2 2 hoán ,b  ,c  3 vị Cách 2: Khơng tính tổng qu{t giả sử a  max a, b, c , c  a, b, c   P  a  c Ta có a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   3ab  bc  ca    ab  bc  ca  2 Suy ra: P  a  c   a  c   4ac  2  b   1  b a  c   2 4  2  b    4b 2  b   3b  4b  3 b      3 3    2    b a     3       2    b  Đẳng thức xảy v| a  c    3      a b c   2     c        70 Cách 3: Không tính tổng qu{t giả sử c  a, b, c  Đặt a  x  c , b  y  c ,x , y  0 Ta có: a  b  c  ab  bc  ca  suy 2   x  c    y  c   c  c  x  c  c  y  c x  c  y  c   2    x  y   y    x      2    x  xy  y        x 3x y  1    y        Suy P  max x , y   3 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c độ d|i cạnh tam gi{c v| x,y,z l| c{c số thực thay đổi thỏa mãn ax  by  cz  Chứng minh xy  yz  zx   x  y  z  Bài Cho x,y,z l| c{c số thực thoả mãn điều kiện   2   x  y  3z  Tìm gi{ trị lớn x Bài Cho x,y l| hai số thực thoả mãn điều kiện x  xy  y   x  y  11  Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ biểu thức P  y  x Bài Cho x,y,z l| c{c số thực khơng }m có tổng Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  xy 10 yz 11zx Bài Cho hai số thực dương x,y thoả mãn điều kiện x y  Chứng minh x x  y2  x  Bài Cho n số thực a1 , a2 , , an thuộc đoạn *0;1+ chứng minh 1  a1  a2   an   a12  a22   an2  Bài Tìm tất c{c số nguyên dương n cho với số thực x1 , x , , x n ta có x12  x 22   x n2   x1  x   x n1  x n Bài Chứng minh với số thực x,y,z v| a,b,c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c ta có a  x  y  x  z   b  y  z  y  z   c z  x z  y   Bài (Vasile-Cirtoaje) Chứng minh với số thực a,b,c ta có a2  b  c   3a 3b  b 3c  c 3a  Bài 10 Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tổng chứng minh a  ab  2abc  Bài 11 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m Chứng minh a  b  c  2abc   1  a1  b 1  c  Bài 12 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m Chứng minh a  b  c   abc   5a  b  c  Bài 13 Cho a,b,c l| c{c số thực không }m Chứng minh 71 a2  2b  2c  2  ab  bc  ca Bài 14 Cho tam gi{c có ba góc A,B,C chứng minh với số thực x ta có 1  x  cos A  x cos B  cos C  Bài 15 Chứng minh với số thực x v| y ta có x 1  sin y   x sin y  cos y  1  cos2 y  Bài 16 Chứng minh với số thực x v| y ta ln có  x  y   xy 1   x  y  Bài 17 Chứng minh với số thực x,y,z v| ba góc A,B,C tam giác ta có x  y  z  xy cos C  yz cos A  zx cos B Bài 18 Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện xyz  x  y  z  Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx  0  a  b  c Bài 19 Cho  chứng minh     x , y, z   x y z  a  c  ac  xa  yb  zc      x  y  z   a b c  4ac  a  b  Bài 20 Cho a,b,c,d l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện     c  d  Chứng minh ac  bd  cd  96 Bài 22 Cho a,b,c,d l| c{c số thực thỏa mãn b  c  d Chứng minh a  b  c  d   8ac  bd  Bài 23 Cho a,b,c,d,p,q l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện p2  q  a2 b2  c  d  Chứng minh  p  a  b q  c  d    pq  ac  bd  Bài 24 Cho a,b,c l| độ d|i ba cạnh tam gi{c v| p,q,r l| ba số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện p  q  r  Chứng minh a qr  b rp  c pq  Bài 25 Chứng minh với số thực a,b ta có a  2b  2  3ab  a  b  D HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Từ giả thiết ta có: z   dạng: xy  ax  by Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh c ax  by  x  y    ax  y a  b  c  x  by  c Coi vế tr{i bất đẳng thức l| tam thức bậc hai x ta được: 2 x  y a  b  c   4aby  y a  b  c   4ab    2  2 2  y a  b   c  2c a  b   y c  c  2c a  b   2cy c  a  b     Ta có điều phải chứng minh Bài Thay z  1 x  y v|o phương trình thứ hai ta 72 x  y  1  x  y     y   x 1 y  x  x 1    ' y   x 1  4 x  x 1   11x 12 x 14   Khi x   190  190 x 11 11  190 15  190 10  190 y ,z  11 55 55  190 11 Bài Rút y  P  x thay v|o điều kiện b|i to{n ta được: Vậy gi{ trị lớn x x  x  P  x    P  x    x  P  x   11   x  3P  6 x  P  P    x  3P  6 12  P  P  5   P 12 P      P   Vậy Pmin   7; Pmin   Bài Thay z  1 x  y v|o biểu thức P v| rút gọn ta 11x  12 y 11 x  10 y 10 y  P   x  12 y 11  44 10 y 10 y  P    P  Vậy Pmax  74  22 121  74  11  195 195 y      y    y  11  37 196  11  37  148 148  25 11 27  195   x ; y; z    ; ;   74 37 74  148 Bài Gọi P l| biểu thức vế tr{i ta có y  P  x2  x4  suy x2 1  P x2  x4  x2 x  Px  P x   x2   x  P  P   P  P  8   P   P  Px  x  x  Khi x  , y  P Min P Bài Xét tam thức bậc hai f ( x )  x 1  a1  a2   an  x  a12  a22   an2  Ta có f (0)  a12  a22   an2  0; f (1)  a1 a1 1  a2 a2 1   an an 1  Suy f (0) f (1)   x  0;1 cho f ( x )  tức f(x) có nghiệm Vì    1  a1  a2   an   a12  a22   an2  x1  x   x n1  Bài Bất đẳng thức với số thực nên với     x n  Khi bất đẳng thức trở th|nh n 1  22  n 1  n    n  Ta chứng minh với n=1,2,3,4,5 l| c{c gi{ trị cần tìm 73 Xét tam thức bậc hai f ( x n )  x n2  x1  x   x n1  x n  x12  x 22   x n21 Ta có xn   x1  x   x n1    x12  x 22   x n21  Do n  v| theo bất đẳng thức C –S ta có  x12  x 22   x n21   n 1 x12  x 22   x n21    x1  x   x n1   xn   f ( x n )  Điều chứng tỏ bất đẳng thức ln với n  1,5 Vậy n=1,2,3,4,5 l| tất c{c gi{ trị cần tìm Bài Vế tr{i viết lại th|nh tam thức bậc hai x ta ax ay  az  by  bz  cz  cy  x  ayz  by  byz  cz  cyz  Ta có   ay  az  by  bz  cz  cy   4a ayz  by  byz  cz  cyz   a  b  c  2ab  2bc  2ca  y  z  Chú ý a  b  c  ab  bc  ca      Bài Đặt b  a  x ; c  a  y bất đẳng thức viết lại dạng: x  xy  y a2 x  5x y  xy  y a  x  3x y  2x y  y  Vế tr{i l| tam thức bậc hai a có hệ số a2 không âm Chú ý x  xy  y   x  y   bất đẳng thức Với x  xy  y  a   x  5x y  xy  y    x  xy  y  x  3x y  x y  y   3 x  x y  xy  y   Điều chứng tỏ bất đẳng thức đúng(đpcm) Bài 10 Thay b   a  c v| đưa chứng minh f (a )  2c  1 a  2c  5c   a   2 Chú ý a  2c  5c  4 18 2c 1  2c 1 c c   2  0, c  0;3 Điều chứng tỏ bất đẳng thức ln Đẳng thức xảy v| a  , b  1, c  2 Bài 11 Bất đẳng thức tương đương với: a  b  c  2abc    a  b  c  ab  bc  ca  abc  a  a bc  b  c 1  b  c  bc  b  c    a  a bc  b  c 1  b  c   bc  b  c   Coi vế tr{i bất đẳng thức l| tam thức bậc hai a ta được:  a  bc  b  c 1  b  c   bc  b  c    b c  2b c  2bc  3b  3c  4bc  6b  6c   b c  2c  3  c  2c  3b  3c  6c  Lại coi đ}y l| tam thức bậc hai b ta được: 74  'b  c  2c  3  c  2c  33c  6c  7  c  2c  3c  2c   3c  6c  7  c  2c  3c 1  c 1 c  1c  3 2 TH1: Nếu bc  b  c 1  ta có điều phải chứng minh TH2: Nếu bc  b  c 1   b 1c 1  ta xét hai khả Khả Nếu c   c  2c   0,  'b   a  ta có điều phải chứng minh   b  lúc n|y ta lại coi a l| tam thức bậc c 1 hai c v| thực tương tự ta có  'c   a  ta có điều phải Khả Nếu c   b 1  chứng minh Bài 12 Viết lại bất đẳng thức dạng: 2a  a bc  5  2b  2c  5b  5c   Coi vế tr{i bất đẳng thức l| tam thức bậc hai a ta được: a  bc  5  2b  2c  5b  5c  8  b c 16b 16c 10bc  40b  40c  39  b c 16 10b c   16c  40c  39 Ta có: 2b  2c  5b  5c   0, b, c (xét tam thức bậc hai với b c) TH1: Nếu bc  ta có điều phải chứng minh TH2: Nếu bc  lại coi a l| tam thức bậc hai b ta được:  'b  25c   c 1616c  40c  39  2c  5c  24 c  55c  28  c 1 c  2c   Khả Nếu c   c 16  0,  'b   a  ta có điều phải chứng minh 5 Khả Nếu c   b    lúc coi a l| tam thức bậc hai c v| thực c tương tự ta có  'c   a  ta có điều phải chứng Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 13 Ta cần chứng minh: a  2b  2c  2 ab  bc  ca    a  b  c   a b 1  b c 1  c a 1  a b c 1 ab  bc  ca   Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: a b 1  b c 1  c a 1  a 2b c   4ab  4bc  4ca  2abc 1 Ta cần chứng minh a  b  c   4ab  4bc  4ca  2abc 1 ab  bc  ca    3a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  2abc 1 ab  bc  ca   (luôn đúng) 75 a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  2abc 1 ab  bc  ca   Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực không }m Chứng minh abc  3a  b  c  11  a  b  c  Bài 14 Viết lại bất đẳng thức dạng x  x cos B  cos C   1 cos A  Ta có  ' x  cos B  cos C   1 cos A  sin  A  B C 1  cos   2 Do bất đẳng thức chứng minh Bài 15 Chú ý  ' x  sin y  cos y  1  sin y 1  cos2 y   1 sin y cos y    Bài 16 Chú ý x    y 1   dpcm Bài 17 Chú ý  ' x   y sin C  z cos B   Đẳng thức xảy v| x y z   sin A sin B sin C Bài 18 Khơng tính tổng qu{t giả sử z  x , y, z   z  Ta cần chứng minh x  yz y  z  yz  yz  yz  y  z   y  z   yz y  z  yz y  z  yz  1  z  z  y   z  z   y   z  2  2  y   z  z    1  z  z  z  2  z  z 1 5z  8  2 Bài to{n chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  x  y  2, z  c{c ho{n vị.(xem thêm kỹ thuật phản chứng) Bài 19 Đặt f ( x )  x  (a  c ) x  ac  có nghiệm a,c Mà: a  b  c  f (b)   b  (a  c )b  ac  ac y  a  c  yb  ac  a  c  y b b  x y z   xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c  x  a  c  y  (a  c ) z  a b c x y z  xa  yb  zc  ac      a  c  x  y  z   a b c  b Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y z   xa  yb  zc  ac      a  c  x  y  z   a b c  x y z 2   xa  yb  zc  ac      a  c   x  y  z   a b c   x y z  a  c    xa  yb  zc  ac       x  y  z  (đ pcm )  a b c  ac Bài 20 Thay d   c v|o biểu thức vế tr{i tam thức bậc hai c 76 f (c )  ac  b (3  c )  c (3  c )  c  c (b  a  3)  3b   a  b  12b  a  b  3  f      Ta cần chứng minh 12b  a  b  3 96  a  b   2ab  1  a  b   a  b  1  1        a b  a b 6  Bất đẳng thức cuối a  b  a  b   Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| ab  ,c  d  2 Bài 21 (TSĐH Khối A 2011) Cho c{c số x , y, z  1;4  thỏa mãn điều kiện x  y, x  z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x y z   2x  3y y  z z  x Bài 21 Ta chứng minh P x y z 34    x  y y  z z  x 33  31x  y  z  96 y  35 x  xy  z  31x y  xy  2 2 Vế tr{i l| tam thức bậc hai z với hệ số z2 dương nên ta cần chứng minh 96 y  35x  5xy   31x  y 31x y  3xy     x  y  x  y 1125x  2631xy  2304 y   Bất đẳng thức cuối x  y  0; x  y  Nhận xét Với c{ch l|m n|y ta cần giả thiết b|i to{n l| x  y Bài 22 Viết lại bất đẳng thức dạng: a  b  d  3c a  b  c  d   8bd  Vế tr{i l| tam thức bậc hai a đạt gi{ trị nhỏ 3c  b  d gi{ trị nhỏ n|y 2 Pmin  3c  b  d   3c  b  d   b  c  d   8bd 2  b  c  d   3c  b  d   8bd  b  d  c  c  8bd  8 c  b  d  c  bd   8 c  b c  d   Bất đẳng thức chứng minh Bài 23 Vì p  q  a  b  c  d   p  a  b   q  c  d   nên tồn hai số p  a  b , q  c  d dương Khơng tính tổng qu{t ta giả sử p2  a2  b2  Xét tam thức bậc hai f ( x )   p  a  b  x   pq  ac  bd  x  q  c  d  2 Ta có: p f (q )  aq  pc  bq  pd   nên f ( x ) ln có nghiệm Suy  ' x    pq  ac  bd    p  a  b q  c  d  77 Ta có điều phải chứng minh Tổng qu{t với n số thực thoả mãn điều kiện a12  a22   an2  ta có a12  a22   an2 b12  b22   bn2   a1b1  a2b2   anbn 2 Bài 24 Thay r  p  q v|o bất đẳng thức cần đưa chứng minh: a q p  q   b p  q  p  c pq   a q  p c  b  a q  p 2b  Coi vế tr{i bất đẳng thức l| tam thức bậc hai q ta được: q  p c  b  a   p a b  p c  b  a  2ab c  b  a  2ab    p c  a  b  c 2   a  b   Do c  a  b , c  a  b Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 25 Bất đẳng thức cho tương đương với: a b  a  b    3ab  3a  b    a b  2  3a b  1  2b  3b   Ta cần chứng minh a  b  1  b  22b  3b    b 1 8b  4b  23  Bất đẳng thức cuối Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  78 Dưới đ}y trình b|y số b|i to{n bất đẳng thức tích ph}n m| phương ph{p giải thông qua c{c bất đẳng thức đại số lấy tổng tích ph}n dẫn đến kết b|i tốn Bất đẳng thức tích ph}n l| b|i to{n kh{ hay để tìm hiểu thêm bạn đọc tìm đọc c{c Chuyên đề kh{c bất đẳng thức tích ph}n Diễn đ|n học tập trực tuyến Mathlinks.vn A NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP Bài toán: Cho f , g, h : a, b    l| c{c h|m khả tích a, b  đồng thời thỏa mãn điều kiện g ( x )  f ( x )  h( x ) với x  a, b  ta có b  a b b g ( x )dx   f ( x )dx   h( x )dx a a C{c bất đẳng thức phụ hay sử dụng  sin x  x x   cos x    x3 x3 x5  sin x  x   , x  3! 3! 5! x2 x2 x2 x4   cos x  1  , x  2 4! x  ln 1  x   x x 1 Yêu cầu C{c bất đẳng thức đại số Cô si, Cauchy – Schwarz,