Hh10 cđi véctơ

CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ MỤC LỤC MỤC LỤCC LỤC LỤCC CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ I VECTƠ CHỦ ĐỀ 1: CÁC ĐỊNH NGHĨANH NGHĨA D ng 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ; phươ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơng, hướng vectơ; độ dài vectơng vectơ; độ dài vectơa vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ; đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài vectơ; độ dài vectơa vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ D ng 2: Chứng minh hai vectơ nhaung minh hai vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ nhaung CHỦ ĐỀ 2: TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠNG VÀ HIỆU HAI VECTƠU HAI VECTƠ D ng 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài tổng, hiệu vectơng, hiệu vectơu vectơ; độ dài vectơa vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ D ng 2: Chứng minh hai vectơ nhaung minh đẳng thức vectơng thứng minh hai vectơ nhauc vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ CHỦ ĐỀ 3: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐT VECTƠ VỚI MỘT SỐI MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐT SỐ 10 D ng 1: Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với sống tính đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ chứng minh hai vectơ nhaua tích vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ vớng vectơ; độ dài vectơi vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt số .10 D ng 2: Chứng minh hai vectơ nhaung minh đẳng thức vectơng thứng minh hai vectơ nhauc vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ 12 D ng 3: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước mãn vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt đẳng thức vectơng thứng minh hai vectơ nhauc vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ cho trướng vectơ; độ dài vectơc 16 D ng 4: Phân tích vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ theo hai vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ không phươ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơng 18 D ng 5: Chứng minh hai vectơ nhaung minh hai điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm trùng nhau, hai tam giác trọng tâmng tâm .20 D ng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trướcp hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trướcp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trướca mãn điều kiện vectơ cho trướcu kiệu vectơn vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ cho trướng vectơ; độ dài vectơc 22 D ng 7: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh tính chất hình biết đẳng thức vectơt vectơ; độ dài vectơa hình biết đẳng thức vectơt vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt đẳng thức vectơng thứng minh hai vectơ nhauc vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ 24 D ng 8: Chứng minh hai vectơ nhaung minh bất hình biết đẳng thức vectơt đẳng thức vectơng thứng minh hai vectơ nhauc tìm cựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với sốc trịnh vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ liên quan đết đẳng thức vectơn đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ 25 CHỦ ĐỀ 4: TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 27 D ng 1: Tìm tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ vectơ; độ dài vectơa vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm; tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ; đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài đ i s ố vectơ; độ dài vectơa vect ơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ ch ứng minh hai vectơ nhaung minh h ệu vectơ r thứng minh hai vectơ nhauc liên quan trục (O ; c (O ; i ) 28 D ng 2: Tìm tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm, tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ mặt phẳng Oxyt phẳng thức vectơng Oxy 29 r r r r r D ng 3: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm, vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ liên quan đết đẳng thức vectơn biểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcu thứng minh hai vectơ nhauc d ng u + v, u - v, ku .31 D ng 4: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh tọng tâma đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm vectơ; độ dài vectơa vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt hình 32 D ng 5: Bài toán liên quan đết đẳng thức vectơn sựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số phươ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơng vectơ; độ dài vectơa hai vect ơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phân tích m ột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơt vect ơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ qua hai vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ không phươ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơng 33 CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 35 D ng 1: chứng minh hai vectơ nhaung minh ba điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm thẳng thức vectơng hàng, đường thẳng qua điểm cố định điểm thuộcng thẳng thức vectơng qua ểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm c ố đ ịnh vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh ểm M thoả mãn đẳng thức vectơ cho trướcm thu ột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơc đường thẳng qua điểm cố định điểm thuộcng thẳng thức vectơng cố định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơnh 36 D ng 2: Chứng minh hai vectơ nhaung minh hai đường thẳng qua điểm cố định điểm thuộcng thẳng thức vectơng song song, ba đường thẳng qua điểm cố định điểm thuộcng thẳng thức vectơng đồng quyng quy 38 D ng 3: Bài toán liên quan đết đẳng thức vectơn tỈ số độ dài đoạn thẳng số đột vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ dài đo n thẳng thức vectơng 41 HƯỚI MỘT SỐNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬPN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬPI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬPN BÀI TẬP LUYỆN TẬPP LUYỆU HAI VECTƠN TẬP LUYỆN TẬPP 43 File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ CHỦ ĐỀ 1: CÁC ĐỊNH NGHĨANH NGHĨA A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa vectơ Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn r thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối a uuur Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu : AB r r r r Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương - Hai vectơ phương hướng ngược hướng A F B C D Hình 1.2 H B r x A Hình 1.1 E G uuur uuu r uuu r uuur Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB CD hướng cịn EF HG ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ uuur uuur A B - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB uuur AB = AB Vậy C D Hình 1.3 - Hai vectơ chúng hướng độ dài uuur uuu r Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB = CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Lời giải: uuur uuu r A , B Hai điểm phân biệt, chẳng hạn ta xác định hai vectơ khác vectơ-không AB, BA Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D ngũ giác ta có cặp điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu tốn uuur uuur Ví dụ 2: Chứng minh ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng AB, AC phương Lời giải: uuur uuur uuur uuur Nếu A, B,C thẳng hàng suy giá AB, AC đường thẳng qua ba điểm A, B,C nên AB, AC phương File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ uuur uuur Ngược lại AB, AC phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A, B,C thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC ,CA, AB uuuu r a) Xác định vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuur b) Xác định vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuur c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B Lời giải: (Hình 1.4) uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuuu r a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN NM , AB, BA, AP , PA, BP , PB uuur b) Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB uuur uuu r uuuu r A' A AP , PB, NM c) Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP uuuu r Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B vectơ uuur B' NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP uuur Trên đường thẳng lấy điểm A ' cho AA ' hướng uuur với NP AA ' = NP uuur uuur Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP N P B C M Hình 1.4 Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với uuur uuuu r C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD , MN Lời giải: (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông MAD ta có ỉ 5a2 a ÷ DM = AM + AD = ỗ + a = ữ ị DM = ỗ ữ ỗ2ứ ố uuur a Suy MD = MD = Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng 2 a 3a = 2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vng NPM ta có PM = PA + AM = a + N D C O P A M B Hình 1.5 ỉ3a 13a2 a 13 ÷ MN = NP + PM = a2 + ỗ = ữ ị DM = ỗ ữ ỗ è2 ø uuuu r a 13 Suy MN = MN = Bài tập luyện tập File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O uuur uuu r a) Bằng vectơ AB ; OB uuu r OB b) Có độ dài Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuur a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? uuur uuur b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt uuur uuur a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C uuur uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định sau ? uuur uuur uuur uuur uuu r uuur a) AB = BC b) AB = DC c) OA = - OC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r d) OB = OA e) AB = BC f) OA = BD Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuur uuur a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Bài 1.7: Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r Tính độ dài vectơ AB, AC ,OA,OM ,OA + OB Bài 1.8: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uuur uuur uur Tính độ dài vectơ AB, AG, BI uuur uuur Bài 1.9: Cho trước hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MA = MB Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Phương pháp giải Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận uuur uuur uuur uuur xét tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC AD = BC Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh uuuu r uuu r MN =QP Lời giải: (hình 1.6) Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác ABC suy MN / / AC MN = AC (1) Tương tự QP đường trung bình tam giác ADC suy QP / / AC QP = AC (2) Từ (1) (2) suy MN / / QP MN = QP tứ giác MNPQ hình bình hành uuuu r uuu r Vậy ta có MN =QP File word: leminhducspvl@gmail.com A Q P M B D N C Hình 1.6 Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUN ĐỀ I VECTƠ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B ' cho uuuur uuur B 'B = AG uur uur a) Chứng minh BI = IC uuu r uur b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh BJ = IG A Lời giải: (hình 1.7) B' uur a) Vì I trung điểm BC nên BI = CI BI hướng với uur uur uur uur uur G hai vectơ , hay J IC BI IC BI = IC uuuur uuur b) Ta có B 'B = AG suy B 'B = AG BB '/ / AG C B I uuu r uur Do BJ , IG hướng (1) Hình 1.7 1 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , J trung điểm BB ' suy BJ = BB ' 2 Vì BJ = IG (2) uuu r uur Từ (1) (2) ta có BJ = IG Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN Gọi P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh uuur uuu r uuuu r uuur DB = QB AM = NC Lời giải: (hình 1.8) Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành N A B uuuu r uuur Suy AM = NC Q Xét tam giác D DMP D BNQ ta có DM = NB (giả thiết), · · PDM = QBN (so le trong) P · · · · Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) APQ = NQB (hai góc đồng · · vị) suy DMP = BNQ D M C Hình 1.8 Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuur uuu r uuur uuu r Dễ thấy DB, QB hướng DB = QB Bài tập luyện tập Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh uuur uuur MQ =NP Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N trung điểm DC , AB ; P giao điểm uuur uuur uuu r uuuu r uuur AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh DP = PQ = QB DM = NB uur uuu r Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB 2CD Từ C vẽ CI = DA Chứng minh uur uuu r uur uur uuur   a) AD IC DI = CB b) AI = IB = DC Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B' điểm đối xứng B uuur uuuur qua O Chứng minh : AH = B 'C File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ CHỦ ĐỀ 2: TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠNG VÀ HIỆU HAI VECTƠU HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ r r uuur r a a) Định nghĩa: Cho hai vectơ ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a từ B r r uuur r uuur a vẽ BC = b vectơ AC gọi tổng hai vectơ ; b uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) r b) Tính chất : a r r r r + Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) A r r r r + Tính chất vectơ – khơng: a + = a, " a B r r r b a b r r a +b C Hình 1.9 Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ r r Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuu r Như a + - a = 0, " a AB = - BA ( ) b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r r r r r a b = a + b Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí hiệu ( ) Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC uuur uuur uuur Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC uuu r uuu r uuur Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB uuuu r uuuur uuuuuur uuuur Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2, , An A1A2 + A2A3 + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vng để xác định độ dài vectơ Các ví dụ B D · Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có ABC BC = a = 30 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tính độ dài vectơ AB + BC , AC - BC AB + AC Lời giải: (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur AB + BC = AC C · A AC Mà sin ABC = Hình 1.10 BC File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ · a Þ AC = BC sin ABC = a 5.sin300 = uuur uuur uuur a Do AB + BC = AC = AC = uuur uuur uuur uuu r uuur AC - BC = AC + CB = AB Ta có AC + AB = BC Þ AB = BC - AC = 5a2 - 5a2 a 15 = uuur uuur uuur a 15 Vì AC - BC = AB = AB = Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuur uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r AB + AD , OA CB , CD DA a) Tính r uuur uuur uuur uuur r b) Chứng minh u = MA + MB - MC - MD khơng phụ thuộc vị trí điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải: (hình 1.11) C' uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur Suy AB + AD = AC = AC Áp dụng định lí Pitago ta có AC = AB + BC = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur AB + AD = a Vậy uuu r uuu r + Vì O tâm hình vng nên OA = CO suy uuu r uuu r uuu r uuu r uuur OA - CB = CO - CB = BC uuu r uuu r uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuu r uuu r + Do ABCD hình vng nên CD = BA suy uuu r uuu r uuu r uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur uuu r uuu r 2 BD = BD = AB + AD = a CD DA =a Mà suy A B O D C Hình 1.11 b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = MA - MC + MB - MD = CA + DB r Suy u khơng phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' ( ) ( ) uuur uuuur Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy DB = AC ' r uur uuuur uuuu r Do u = CA + AC ' = CC ' r uuuu r u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a Vì Bài tập luyện tập File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ    Bài 1.14: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ sau AB  AC , AB  AC Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuu r uuur uuur uuu r AB + OD , AB OC + OD a) Tính     b) Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD = 600 Gọi O tâm hình thoi uuur uuur uuu r uuur Tính AB + AD , OB - DC uuu r uuu r uuur Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA, OB, OC a uuu r uuu r uuur r OA + OB + OC = a) Tính góc AOB, BOC , COA uuu r uuur uuu r OB + AC OA b) Tính uuu r uuu r Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện A,B cho OA + OB nằm phân giác góc Oxy Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E Chứng minh uuur uuu r uuu r uuu r uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải: a) Biến đổi vế trái ta có uuur uuu r uuu r uuu r uuu r VT = AC + CB + CD + ED + DA uuu r uuur uuur uuu r uuu r = CB + ED + AC + CD + DA uuu r uuur uuur uuu r = CB + ED + AD + DA uuu r uuur = CB + ED = VP ĐPCM ( ( ( ) ( ) ( ) )  ) b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = uuur uuur uuur uuur r Û EC + BD - EC + DB = uuur uuur r BD + DB = (đúng) ĐPCM ( ) ( ) Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh uuu r uuu r uuur r a) BA + DA + AC = File word: leminhducspvl@gmail.com Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ uuu r uuu r uuur uuu r r b) OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuur A B c) MA + MC = MB + MD Lời giải: (Hình 1.12) uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur a) Ta có BA + DA + AC = - AB - AD + AC O uuur uuur uuur D = - AB + AD + AC C uuur uuur uuur Hình 1.12 Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy uuu r uuu r uuur uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur r b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuu r r Tương tự: OB + OD = Þ OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r c) Cách 1: Vì ABCD hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD ( ) Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng ABCD hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O điểm A Lời giải: (Hình 1.13) a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN / / BM , MN / / BP suy tứ giác BMNP hình bình hành N   P  BM PN   N trung điểm AC  CN NA C B Do theo quy tắc ba điểm ta có M uuur uuur uuur uuur uuu r uuur BM + CN + AP = PN + NA + AP Hình 1.13 uuu r uuur r = PA + AP = uuur uuur uuuu r b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp ( ) với quy tắc trừ uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = M trung điểm BC uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur = OM + ON + OP + PA + MB + NC uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = OM + ON + OP - BM + CN + AP uuur uuur uuur r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = suy OA + OB + OC = OM + ON + OP ( ( ( ) ) ( ) ( File word: leminhducspvl@gmail.com ) ( ) ) Phone, Zalo: 0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN HÌNH HỌC 10 CHUYÊN ĐỀ I VECTƠ Bài tập luyện tập Bài 1.19: Cho bốn điểm A, B,C , D Chứng minh     a) DA  CA DB  CB       b) AC  DA  BD  AD  CD  BA uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r Bài 1.20: Cho điểm A, B , C , D , E , F Chứng minh AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh     a) AB  OD  OC  AC     b) BA  BC  OB OD      c) BA  BC  OB MO  MB Bài 1.22: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh uuu r uuu r uuur r a) NA + PB + MC = uuur uuu r uuur uuur b) MC + BP + NC = BC Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C 'D ' có chung đỉnh A Chứng minh uuuur uuuu r uuuur r B 'B + CC ' + D 'D = uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r Bài 1.24: Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA + OB + OC + OE + OF = uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD Dựng AM =BA , MN = DA, NP = DC , PQ = BC uuur r Chứng minh rằng: AQ = CHỦ ĐỀ 3: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐT VECTƠ VỚI MỘT SỐI MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐT SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT r r Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k ¹ vectơ, kí hiệu ka , hướng với r r r k a k > k < hướng với a , ngược hướng với a có độ dài r r r r Quy ước: 0a = k0 = Tính chất : r r r r r r r i) (k + m)a = ka + ma ii) k(a ± b) = ka ± kb ék = r r r r r r iii) k(ma) = (km)a iv) ka = Û ê ê a = ê ë r r r r v) 1a = a, (- 1)a = - a Điều kiện để hai vectơ phương r r r r r r b phương a ( a ¹ 0) có số k thỏa b = ka uuur uuur Điều kiện cần đủ để A, B,C thẳng hàng có số k cho AB = kAC Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương r r r r r r Cho a không phương b Với vectơ x biểu diễn x = ma + nb với m, n số thực B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép tốn vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng File word: leminhducspvl@gmail.com 10 Phone, Zalo: 0946 513 000