Hình bình hành

ƠN TẬP HÌNH BÌNH HÀNH A Tóm tắt lý thuyết A B Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song  AB / / CD   AD / / BC ABCD hình bình hành D C - Chú ý: Hình bình hành hình thang đặc biệt có hai cạnh bên song song Tính chất: Trong hình bình hành A B - Tính chất cạnh: Các cạnh đối - Tính chất góc: Các góc đối O - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung D C điểm đường - Tính chất đối xứng: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Cách vẽ hình bình hành Có cách vẽ hình bình hành hay dùng cách Cách 1: Sử dụng lưới ô để vẽ hai đoạn thẳng song song Cách 2: Trên hai đường thẳng d1 , d cắt O , lấy O làm tâm vẽ hai cung tròn, cung thứ cắt d1 A C , cung thứ hai cắt d B D *) Lưu ý: +) Cách 1: Không chứng minh nhận hình bình hành, ảnh hình bình hành +) Cách 2: Chứng minh hình bình hành Từ tính chất hình bình hành ta thu nghiệm thứ hai Cứ nói tới trung điểm phải nói tới hình bình hành Ý nghĩa kinh nghiệm là, với toán mà giả thiết kết luận đề cập đến trung điểm đoạn thẳng vẽ đường phụ ta vẽ hình bình hành để sử dụng tính chất hai cạnh đối song song hai đường chéo cắt trung điểm đường B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình bình hành Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài 1: Cho hình bình hành ABCD , đường chéo BD A B Từ A C kẻ AE , CF vng góc với BD K H K Chứng minh tứ giác AHCK H hình bình hành D C Lời giải Ta có: AH  BD, CK  BD  AH / /CK AHD CKB (ch  gn)  AH CK  AHCK hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao A điểm hai đường chéo AC BD Qua K B điểm O , vẽ đường thẳng a cắt hai đường F thẳng AD, BC E , F Qua điểm O E vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần D lượt H , K Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành Lời giải O H C Ta có AOK COH  OK OH Lại có DOE BOF  OE OF Xét tứ giác EKHF , có OK OH , OE OF  EKFH hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh A E B AD, BC theo thứ tự ta lấy hai điểm H G G H cho DH BG cạnh AB, CD theo thứ tự lấy điểm E , F cho D C F AE CF Chứng minh EFGH hình bình hành Lời giải Theo giải thiết ta có: AE CF  EB DF DH BG  AH CG AHE CGF  HE GF ; EBD FDH  HF EG  EGFH hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Bài 4: Cho tứ giác ABCD , E F C trung điểm cạnh AB CD Gọi M , N , P, Q trung điểm B N P đoạn AF , CE , BF , DE Chứng minh E MNPQ hình bình hành F M Q A Lời giải Sử dụng đường trung bình tam giác ta ENFQ hình bình hành  EF NQ cắt trung điểm O đường (1) D Tương tự ta EMFP hình bình hành  EF , MP cắt trung điểm đường (2) Từ (1)(2) suy MP NQ cắt trung điểm O đường Vậy MNPQ hình bình hành Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác F A góc A cắt CD E , tia phân giác B góc C cắt AB F Chứng minh rằng: a) Tứ giác AFCE hình bình hành b) Các đường thẳng AC , BD, EF đồng qui D E C điểm Lời giải a) Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành ABCD , ta AB / /CD  AF / / EC  1 Áp dụng tính chất góc, giả thiết vào hình bình hành ABCD tính chất cặp góc so  C   A1  A1 , C   A   AE / /CF    F      A C , F1 C1   le, ta được: (các cặp góc đồng vị nhau) Từ (1)(2)  AFCE có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Áp dụng tính chất đường chéo vào hai hình bình hành ABCD AFCE ta hai đường chéo cịn lại hai hình bình hành BD, EF qua trung điểm đường chéo chung AC Điều chứng tỏ đường thẳng AC , BD, EF đồng quy trung điểm AC Dạng 2: Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Cách giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc, đường chéo hình bình hành để giải toán - Chứng minh đoạn thẳng - Chứng minh góc - Chứng minh đường thẳng song song - Chứng minh tam giác Bài 1: Cho ABC , trung tuyến AM Gọi I trung A điểm AM , D giao điểm BI D AD  AC AC Chứng minh I E B M C Lời giải Do I trung điểm AM theo giả thiết nên chọn AM đường chéo Vẽ thêm điểm E cho I trung điểm ED tứ giác ADME có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Áp dụng định nghĩa tính chất cạnh vào hình bình hành ADME , ta ME  AD (1) Và ME / / AD, ME / / DC   Lại có BM MC  3 Từ    3  BE ED theo định lí đường trung bình, lúc ME đường trung bình BDC ME  CD   Áp dụng định lí đường trung bình vào BDC , ta được: Từ  1    AD DC AD  DC AC    AD  AC 3 Vậy Bài 2: Cho ABC cân C Gọi A1 , B1 , C1 C trung điểm cạnh BC , AC AB Lấy điểm A2 , B2 tương ứng đối xứng qua AB B1 A1 P Của A1 , B1 CA2 A1C1 cắt M , CB2 N M Và B1C1 cắt N Gọi P giao điểm AN BM Chứng minh AP BP A B C1 A2 B2 Lời giải Ta có CC1 / / A1 A2 CC1  A1 A2  CC1 A1 A2 hình bình hành  A1M C1M Mặt khác A1B1C1B hình bình hành, B, B1 , M thẳng hàng  P  BB1 Tương tự ta có P  AA1 2 P  AP  AA1 ; BP  BB1 ABC có AA1 , BB1 đường trung tuyến cắt 3 Mà AA1 BB1  AP BP Bài 3*: Cho điểm P nằm ABC Gọi D, E , F A trung điểm cạnh P BC , CA, AB Từ A vẽ đường thẳng song E F song với PD cắt đường thẳng kẻ từ B song K song với PE S Chứng minh B BS 2 EP CS / / PF C D S Lời giải Trên tia đối tia PA lấy điểm K cho PK PA Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ABK , ACK ta có: PF / / BK , PE / /CK , PE  KC Vì PE / / BS , PE  BS  KC / / BS , KC BS  BSCK hình bình hành  CS / / BK  CS / / PF Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung A B điểm AD , F trung điểm BC Chứng minh E   a) BE DF ; ABE CDF F D C b) BE / / DF Lời giải   a) Ta chứng minh BEDF hình bình hành BE DF EBF CDF Cách khác: AEB CFD  cgc   BE DF   ABE CDF b) Vì BEDF hình bình hành  đpcm Bài 5: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến A G AD, BE , CF Đường thẳng kẻ qua E song song với AB , qua F song song với BE cắt F E G Chứng minh rằng: a Tứ giác AFEG hình bình hành b D, E , G thẳng hàng CG  AD B D C Lời giải  AF EG, AF / / EG  gt   BF EG  BFGE a AFEG hình bình hành hình bình hành (các cạnh đối song song) b D, E , G thẳng hàng CG  AD  AGCD hình bình hành  AG CD; AG / /CD AG EF = BC ; AG / / EF / / BC Ta có: Bài 6: Cho hình bình hành ABCD , O giao điểm A B hai đường chéo E F F O trung điểm OD OB E a Chứng minh AE / /CF b Gọi K giao điểm AE DC D K H C DK  KC Chứng minh rằng: Lời giải a Xét tứ giác AECF có hai đường chéo cắt trung điểm đường  AECF hình bình hành  AE / /CF b Qua O kẻ OH / / CF / / AE Xét DOH , có EK đường trung bình tam giác  DK KH (1) 1  OH  ( EK  CF ), KH HC  KC (2) 2 Xét hình thang EFCK , có OH đường trung bình  DK  KC  KC 2 DK Từ (1)(2) (đpcm) Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Gọi K , I lần A K B lượt trung điểm cạnh AB CD N Gọi M N giao điểm AI O M CK với BD Chứng minh D a ADM CBN I   b MAC NCA, IM / /CN c DM MN  NB Lời giải a Ta có AKCI hình bình hành  ADI CBK (ccc)  ADM CBN ( gcg ) C   b Vì AKCI hình bình hành  MAC  NCA, IM / / CN c Theo câu a  DM NB, MN NB  DM MN NB Bài 8: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AD, BE , CF A AD 3cm, BE 4cm AD  BE F E a Vẽ điểm K cho D trung điểm EK , chứng minh tứ giác AFKD hình bình hành C D B b Tính độ dài đoạn thẳng CF K Lời giải  AF / / KD, AF KD  AF ED, AF / / ED  ED / / AB, ED  AB a) AFKD hình bình hành b Tính FC  EKC vuông K BE KC ( BECK hình bình hành)  AD  BE , AD / / FK  FK  BE , BE / / CK  FK  KC Bài 9: Cho tam giác ABC trực tâm H Gọi M T trung điểm BC , đường trung trực BC AC cắt O Trên tia đối N H K O tia OC lấy điểm K cho OK OC Chứng minh rằng: B Q a Tứ giác AHBK hình bình hành OM  AH b Lời giải  AK / / ON , BH / / ON   a Tứ giác AHBK hình bình hành  AK / / BH , AH / / BK  BK / /OQ( AH / /OQ) C 1 OM  BK  AH ( BK  AH ) 2 b Ta có Bài 10: Cho tam giác ABC trực tâm H Các đường A thẳng vng góc với AB B , vng góc với AC C cắt D , Chứng minh H O a Tứ giác BDCH hình bình hành B   b BAC  BDC 180 C M c H , M , D thẳng hàng ( MB MC ) D OM  AH (OA OD ) d Lời giải  BH / / CD(  AC )  BHCD  CH / / BD (  AB )  BDCH a Tứ giác có: hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b Xét Tứ giác  C  D  3600  BAC   BDCH có: A  B  BDC 1800 c Ta có BHCD hình bình hành, M trung điểm BC  M trung điểm DH  D, H , M thẳng hàng d Xét AHD , có OA OD(O  AD), MH MD(M  HD)  OM đường trung bình AHD  OM  AH  AH 2.OM Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường đồng quy 10 Cách giải: Vận dụng tính chất đường chéo hình bình hành Bài 1: Cho hình bình hành ABCD , O giao điểm A hai đường chéo AC BD Gọi M , N B M E trung điểm OB OD O F a Chứng minh tứ giác AMCN hình N D bình hành C b Tia AM cắt BC E , tia CN cắt AD F Chứng minh AC , BD, EF đồng quy Lời giải OA OC  AMCN  OM  ON  a Cách 1: Ta có hình bình hành Cách 2: AOM OCN (cgc)  AM / / CN , AM CN  AMCN hình bình hành b Ta có AC BD cắt O , ta chứng minh AC cắt EF O   +) A C1  AE / /CF       +) Ta có: A1  A2 C1  C2  A2 C2  ABE CDF  AE CF Vậy AECF hình bình hành  AC  BD O Bài 2: Cho hình bình hành ABCD Trên tia đối tia AD M CB , lấy điểm M P B A cho AM CP Tên tia đối BA DC O lấy điểm N Q cho BN DQ Chứng minh bốn đường thẳng MP, NQ Q AC BD đồng quy C D P Lời giải Tứ giác AMCP hình bình hành nên MP qua trung điểm O AC Tứ giác ANCQ hình bình hành nên NQ qua trung điểm O AC 11 N Tứ giác ABCD hình bình hành nên BD qua trung điểm O AC Do bốn đường thẳng MP, NQ, BD AC đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC O điểm thuộc A miền tam giác Gọi D, E , F lần L lượt trung điểm cạnh AB, BC , CA L, M , N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh F O D N M B E C EL, EM , DN đồng quy Lời giải Gọi I trung điểm LE , ta có: DL / / EN / /OB DL EN  OB  DENL Và hình bình hành Chứng minh tương tự ta có LMEF hình bình hành  EL, FM , DN đồng quy điểm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 12 Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh A AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt E F AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE BF , chứng minh B D C a Tam giác AED cân b AD phân giác góc A Lời giải a Chứng minh BDEF hình bình hành  ED BF  AE  AED cân E   b Ta có BAD DAC ( ADE )  AD phân giác A Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD 2 AB Từ E C vẽ CE vng góc với AB Nối E với F trung điểm M AD Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC N B N a Tứ giác MNCD hình gì? b Tam giác EMC tam giác gì? A  2 AEM c Chứng minh BAD Lời giải a Ta có MNCD hình bình hành b Chứng minh F trung điểm CE  ECM cân M      c Chứng minh AEM FMC  CMD DCM MCB cân M     mà AE / / MF nên BAD FMD 2CMD 2 AEM Bài 3: 13 M D Cho hai điểm cố định B, C Một điểm A E A thay đổi hai nửa mặt phẳng M bờ BC cho A, B, C không thẳng hàng N Dựng hai tam giác vuông cân ADB ACE H D Với DA DB, EA EC cho điểm D nằm khác phía C đường thẳng AB điểm E nằm khác phía điểm B đối B với đường thẳng AC Gọi M trung điểm DE Chứng minh đường thẳng AM qua điểm cố định Lời giải  Trường hợp BAC nhọn: Dựng hình bình hành AEND ta có: BD DA EN ; DN  AE EC 0     Lại có NDB 90  NDA 90  AEN CEN BDN NEC có:     BD NE ; NDB CEN ; DN CE  BDN NEC  BN CN , DNB ECN Mặt khác AE  CE , DN / / AE  DN  CE  1 0    Đặt DN cắt CE H  HCN  HNC 90  BNC 90 Do BNC vng cân N  N cố định Vậy AM qua điểm N cố định 14 C