Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu 1: (4 điểm) a) Cho số thực x, y , z thỏa mãn x 1 y z 1 y z x Tính giá trị biểu thức P x y y z z x 3 2 b) Cho số thực dương a, b thỏa mãn a a b b Chứng minh a b 1 Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình: 8 x y xy x 0 1 8 y x yx y 0 31 2018 Câu 3: (4 điểm) Xét phương trình x y z a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay khơng ba số nguyên dương x, y , z thỏa mãn phương trình trên? Câu 4: (6 điểm) Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d , H hình chiếu A d Các điểm B, C thay đổi d cho HB.HC Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC M , N a) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Chứng minh O chạy đường thẳng cố định Câu 5: (2,0 điểm) Cho bảng ô vuông gồm m hàng n cột Tại góc bên trái bảng người ta đặt quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, lượt di chuyển di chuyển quân cờ sang phải ô xuống ô Người chơi đến lượt khơng di chuyển qn cờ thua Xác định điều kiện m, n để người thực lượt chơi người thắng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu 1: (4 điểm) a) Cho số thực x, y , z thỏa mãn x 1 y z 1 y z x Tính giá trị biểu thức P x y y z z x 3 2 b) Cho số thực dương a, b thỏa mãn a a b b Chứng minh a b 1 Lời giải Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang a) Từ giả thiết suy ra: x y 1 1 y 1 z z x 1 3 Do đó, x, y, z 1 f t 1 1; t Hàm số hàm số nghịch biến khoảng Nếu x y f y f z y z f z f x z x f x f y x y (vơ lí) Suy ra: x y Chứng minh tương tự, ta suy x y z Thay x y z vào giả thiết ta được: x x 1 Lúc đó, b) P 3 x x P 9 x x 1 9 P 3( P 0) a a b b3 a a3 1 a 0,1 Với a 0,1 1 b b3 2 b.b3 2b b 0,1 a a 1 Do đó, 2 Giả sử, a b 1 Từ giả thiết ta suy a b a b3 a b a b ab a b 1 ab ab a b 2 (vơ lí) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 2 Vậy a b 1 Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình: 8 x y xy x 0 1 8 y x yx y 0 Lời giải Nếu x 0 y 0 Nếu y 0 x 0 8 x y y xy xy 0 4 8 xy x yx xy 0 xy Nếu Hệ phương trình tương đương với Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x y xy 1 xy x y x y 0 x y xy 1 0 TH1: x y vào phương trình (1) ta được: 3 3 3 x x x x 0 x x 0 x TH2: xy 1 x ( xy 0 ) y vào phương trình (1) ta 1 3 8 y2 y 0 y 18 y 0 2y 2y 16 y y 1 1 y y x y x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm hệ là: 9 1 ; ; ;1 ; 1; 8 2 0;0 ; 31 2018 Câu 3: (4 điểm) Xét phương trình x y z a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y , z thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay khơng ba số ngun dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Nương; Fb: Cô giáo Nương a) Chứng minh tồn vô số ba số nguyên x, y , z thỏa mãn phương trình Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 2018 Cho x 0 phương trình trở thành y z 2018 Cho y a ( a số nguyên tùy ý) Suy z a x, y, z 0, a 2018 , a Khi Vì thỏa mãn phương trình a số nguyên tùy ý nên tồn tai vô số ba x, y, z nguyên thỏa mãn phương trình b) Có tồn hay khơng ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình trên? Có tồn ba số ngun dương x, y, z thỏa mãn phương trình Vì: Xét x 25m , y 231m , m 31 Khi đó: x 31 y 25 m 231m 2.2155 m 2155 m1 31 2018 155m 2018n, n Mà theo đề ta có: x y z nên ta cần chọn m cho: 1 n 1 suy ra: 2018n chia hết cho 155 Khi đó: z 2 Từ Hay: 3n chia hết cho 155 Đặt: 3n 155k , k 156k k 1 Suy ra: 155k chia hết cho Hay chia hết cho Do đó: k chia hết cho Đặt: k 3q, q k 3q 1, q Như cho .Từ suy ra: m 2018q 677 x, y, z 25 2018q 677 , 231(2018q 677) , 2155q 52 , q nghiệm phương trình ntnghia.c3hq@yenbai.edu.vn Câu 4: (6 điểm) Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d , H hình chiếu A d Các điểm B, C thay đổi d cho HB.HC Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC M , N a) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Chứng minh O chạy đường thẳng cố định Lời giải Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn a) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 A N E M C H B D Gọi D giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AH Ta có HA.HD HB.HC Do D cố định (Vì A, H cố định) Gọi E giao điểm MN với AH Ta có tứ giác AHMN nội tiếp nên AMN AHN ACB ADB Suy tứ giác MBDE nội tiếp Do AE AD AM AB AH E cố định Vậy đường thẳng MN qua điểm E cố định b) Do AM AB AN AC AH nên tứ giác BMNC nội tiếp Do đó, O tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác BMNC Giả sử đường tròn BMNC cắt đường thẳng AH P, Q Ta có HP.HQ HB.HC AP AQ AM AB AH Do P, Q cố định Vậy O thuộc trung trực PQ cố định A N P M C H B O Q Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápn HSG Quốc Gia tỉnh Đồng Thápc Gia tỉnh Đồng Thápnh Đồng Thápng Tháp Năm 2019 Anhltk85@gmail.com Câu 5: (2,0 điểm) Cho bảng ô vuông gồm m hàng n cột Tại góc bên trái bảng người ta đặt quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, lượt di chuyển di chuyển quân cờ sang phải ô xuống Người chơi đến lượt khơng di chuyển qn cờ thua Xác định điều kiện m, n để người thực lượt chơi người thắng Lời giải Trước hết, ta gọi người thứ người chơi đầu tiên, người lại người thứ hai Ta dùng hai màu trắng, đen tô ô vuông bảng (tô đan xen bàn cờ), với ô bên trái tô màu trắng ( p; q ) Quy ước: ô thuộc hàng p , cột q gọi Khi đó: ( 1;1) màu với ô ( m; n) + Nếu m, n tính chẵn, lẻ ( 1;1) khác màu với ô ( m; n) + Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ Từ giả thiết tốn, người chơi di chuyển qn cờ sang phải xuống ô, ta nhận thấy hai người chơi phải di chuyển quân cờ sang ô khác màu với ô đứng Ở lượt di chuyển đầu tiên, người thứ di chuyển quân cờ sang ô màu đen, người thứ hai di chuyển quân cờ sang ô màu trắng Cờ đưa ô ( m; n) ( m; n) ô ( m; n) phải tô Để người thứ thắng quân cờ phải di chuyển vào ô màu đen (trùng với màu mà người thứ di chuyển lượt đầu tiên) Điều xảy m, n khác tính chẵn, lẻ Ngược lại, m, n tính chẵn, lẻ lập luận tương tự trên, người thứ hai thắng Vậy m, n khác tính chẵn, lẻ người thứ ln thắng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X