28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ SẦM SƠN NĂM HỌC: 2020 - 2021 ĐỀ THI THỬ SỐ 83 Thời gian làm bài:120 phút (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức x x x 1 x2 P : x x 1 x x x2 x Rút gọn biểu thức P ; Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm) Tìm phần dư phép chia đa thức P ( x) cho ( x 1)( x 1) biết P ( x) chia cho ( x 1) dư , P ( x) chia cho ( x 1) dư x x 2.Giải phương trình x 3 x 5 x x 10 24 x 0 Bài 3:(4,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi 2 2.Cho số nguyên tố p hai số nguyên dương a, b cho: p a b Chứng minh a chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB ( M A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vuông AMCD, BMEF giao điểm hai đường chéo hình vng O, O ' Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh rằng: AE BC ; Gọi I giao AC BE Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng DF ba điểm H , D, F thẳng hàng; Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Bài 5: (2,0 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức S a 1 2 b 1 b 1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 2 c 1 c 1 a 1 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP THÀNH PHỐ SẦM SƠN Năm học: 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) P Cho biểu thức x x x 1 x2 : x x 1 x x x2 x Rút gọn biểu thức P ; Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Lời giải 1.ĐKXĐ: x 0; x 1; x P x2 x x 1 x2 x2 x : x2 2x 1 x x x x ( x 1)2 ( x 1)( x 1) x x : x( x 1) x( x 1) x x x x( x 1) x x( x 1) x( x 1) : : 2 ( x 1) x ( x 1) ( x 1) x ( x 1) ( x 1) x x2 P x với x 0; x 1; x Vậy 2.Ta có: P x2 x2 1 1 x 1 Z Z x 1 1; 1 x 0; 2 x x x x Kết hợp với ĐKXĐ, ta x 2 Bài 2: (4,0 điểm) 1.Tìm phần dư phép chia đa thức P ( x) cho ( x 1)( x 1) biết P ( x) chia cho ( x 1) thìdư , P ( x) chia cho ( x 1) dư x x 2.Giải phương trình x 3 x 5 x x 10 24 x 0 Lời giải 3 1.Đặt P ( x) ( x 1)( x 1).Q( x) ax bx cx d với x 3 Vì ax bx cx d a ( x 1) bx cx d a Từ P ( x) chia cho x dư x x 2 suy bx cx d a x x Do b 1; c 1; d a 1 Lại có P ( x) chia cho x dư Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Nên P (1) 1 hay a b c d 1 a d d 0; a Vậy đa thức dư là: -x x x 3 10 24.0 0 2.Với x 0 , ta có (vơ lí) x 0 khơng thỏa mãn đề cho x2 11x 30 x 13x 30 24 x 0 Với x 0 , Ta có: 30 30 30 y x x 11 x 13 24 0 x x x ta có phương trình: Đặt 30 x x 7 (1) y 7 x 30 17 (2) y 11 y 13 24 0 y 17 x (T/m) 49 0 x 2 +) Giải (1) x x 30 0 x khơng có giá trị x thỏa mãn x 2 x x 15 0 x 15 +) Giải (2) x 17 x 30 0 (T/m) Vậy x 2;15 Bài 3:(4,0 điểm) 1.Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi 2 2.Cho số nguyên tố p hai số nguyên dương a, b cho: p a b Chứng minh a chia hết cho 12 Lời giải 1.Gọi số đo cạnh tam giác x, y, z z cạnh huyền ( x, y, z Z ) Ta có: xy 2( x y z ) 2 x y z (1) (theo đề bài) (2) (theo định lý Pitago) 2 Từ (2) : z ( x y ) xy thay (1) vào ta được: z ( x y ) 4( x y z ) z z ( x y ) 4( x y ) z z ( x y ) 4( x y ) ( z 2) ( x y 2) z x y z x y thay vào (1) ta Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TOÁN 28 Website: tailieumontoan.com xy 2( x y x y 4) xy x y xy x y 16 8 ( x 4)( y 4) 8 1.8 2.4 ( 1).( 8) ( 2).( 4) Vậy ( x; y; z ) (5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10) 2 2 2 2.Ta có: p a b p b a (b a )(b a ) b a b a phải ước dương 2 p Mà p nguyên tố nên ước dương p 1; p p Do b a b a với a, b nguyên dương p nguyên tố lớn nên không xảy trườnghợp b a b a p b a p (b a) (b a) p 2a p ( p 1)( p 1) Do b a 1 Mà p nguyên tố p , suy p lẻ nên p p hai số chẵn liên tiếp Suy ( p 1)( p 1)8 2a 8 nên a4 (1) Lại có p 1; p; p số tự nhiên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho p p phải chia hết cho3 ( p 1)( p 1)3 2a 3 a 3 (2) Từ (1) (2) kết hợp với ƯCLN(3, 4) = a 12 2 Vậy với nguyên tố p số nguyên dương a, b cho: p a b a 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB ( M A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF giao điểm hai đường chéo hình vng O, O ' Gọi H giao điểm AE BC 1.Chứng minh rằng: AE BC 2.Gọi I giao AC BE Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng DF ba điểm H , D, F thẳng hàng 3.Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Lời giải D C I H E O F Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 A TÀI LIỆU MƠN TỐN O' K M B 28 Website: tailieumontoan.com AME CMB (c.g c) EAM BCM 0 Mà BCM MBC 90 EAM MBC 90 AHB 90 Vậy AE BC 2.Từ GT DMA IBA 45 DM // IB Tương tự có: AC // MF Từ đó: OMO ' I hình bình hành OI O’M OI // O’M OI O ' F OI // MF nên OIFO ' hình bình hành Do đó: IF // OO’ IF OO’ (1) Chứng minh tương tự, ta có DI // OO’ DI OO’ (2) Từ (1) (2) suy ba điểm D, I , F thẳng hàng DI IF nên I trung điểm đoạn thẳng DF Gọi O giao điểm AC DM AHC ( H 90 ) có HO đường trung tuyến 1 HO AC DM DHM 2 vng H Do đó: DHM 90 Chứng minh tương tự ta có: MHF 90 Do đó: DHM MHF 180 Vậy ba điểm D, H , M thẳng hàng Vì I trung điểm DF , Kẻ IK AB ( K AB ) IK đường trung bình hình thang ABFD IK AD BF AM BM AB 2 (không đổi) Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Bài 5: (2,0 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thứ S a 1 2 b 1 b 1 2 c 1 c 1 a 1 Lời giải Ta có: ( a 1) b a b 2a 2ab 2a 2 ab a 1 1 (a 1) b 2( ab a 1) Dấu “ ” xảy a b Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 1 1 2 Tương tự, ta có: (b 1) c 2(bc b 1) ; (c 1) a 2(ac c 1) Từ suy ra: S 1 1 bc b 2(ab a 1) 2(bc b 1) 2(ca c 1) abcb abc bc bc b abc bc b 1 bc b bc b 1 S S bc b bc b bc b bc b 2 Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy Max Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 S a b c 1 TÀI LIỆU MƠN TỐN