Số chính phương 1

SỐ CHÍNH PHƯƠNG A Kiến thức Định nghĩa: Số phương số bình phương số nguyên (tức n số phương n k  k  Z  ) 2 Ví dụ: 2 ;16 4 Tính chất 1) Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, có chữ số tận 2, 3, 7, Như để chứng minh số số phương ta số có hàng đơn vị 2, 3, 7, 2) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ 2 Ví dụ: 3600 60 2  Để chứng minh số khơng phải SCP ta số phân tích TSNT có số mũ lẻ 3) Số phương có dạng 3n 3n  ( a 0,1(mod 3) ) khơng có SCP có dạng 3n  ( n  N ) 4) Số phương có dạng 4n 4n  ( a 0,1(mod 4) ) SCP có dang 4n  4n  ( n  N ) 5) Số ước số số phương số lẻ, ngược lại số có số lượng ước lẻ số phương 6) Nếu số phương chia hết cho p chia hết cho p 7) Nếu hai số tự nhiên a b ngun tố có tích số phương số a, b số phương ab SCP  a, b  1  a, b số phương 8) Số phương tận hoặc chữ số hàng chục chữ số chẵn (121, 49, …) - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục lẻ 9) Mọi SCP chia cho 5, cho dư 0, 1, 10) Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương 11) Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích số phương hai số số 12) Nếu n  k   n  1  n  Z  k khơng số phương 2 13) Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a mp ; b mq *) HỆ QUẢ: Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số phương chia hết cho chia hết cho 16 B Các dạng toán Dạng 1: Chứng minh số số phương, tổng nhiều số số phương Cách giải: - Để chứng minh số n số phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức chứng minh n k  k  Z  Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A ( x  y)( x  y)( x  y )( x  y)  y số phương Lời giải Cách 1: Ta có: A  x  xy  y   x  xy  y   y x  10 x y  35 x y  50 xy  25 y 2  x  xy    x  xy  y   y   x 5 xy  y  2 2 Vì x, y, z  Z  x ,5 xy,5 y  Z  x  xy  y  Z  A số phương Cách 2: Đặt x  xy  y t  t  Z   A  t  y   t  y   y t  x  5xy  y   đpcm Bài 2: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm ln số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1, n  2, n   n  N  Ta có: n  n  1  n    n  3   n  3n  1 n  3n  1  N Vì n  N nên  Vậy tích bốn số tự nhiên liên tiếp ln số phương (đpcm) Bài 3: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n 1, n   n  N , n 2  n  2 Ta có:  2 2   n  1  n   n  1   n   5n  10 5  n   2 Vì n số phương nên n khơng thể có chữ số tận nên n  không chia hết cho 5, hay  n2  2 số phương (đpcm) Bài 4: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải 2 Gọi hai số phương liên tiếp là: a (a 1)  a  Z  Theo ta có: 2 a   a  1 a  a  1 a  2a  3a  2a   a  2a  a    2a  2a  1  a  a    a  a    a a  1 2 số phương lẻ a a a (a  1) số chẵn  a  a  số lẻ Bài 5: Chứng minh số n  2014 với n nguyên dương khơng phải số phương Lời giải Giả sử n  2014 số phương 2 2 Đặt n  2014 k  k  n 2014  (k  n)(k  n) 2014 Ta có (k  n)  (k  n) 2n chẵn  k  n; k  n tính chất chẵn lẻ  k ; n tính chẵn lẻ Mặt khác ta lại có:  k  n   k  n  2014  k  n; k  n chia hết cho hay (k  n)(k  n)4 Mà 20144  (k  n)(k  n) 2014 Vậy khơng có số ngun dương n để n  2014 số phương (đpcm) Bài 6: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ số phương Lời giải a 2k 1  k , m  N   a  b 4(k  k  m  m)  4t  2(t  N )  Vì a, b hai số lẻ, ta đặt b 2m  Khơng có số phương dạng 4t  2(t  N )  a  b khơng phải số phương (đpcm) Bài 7: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số SCP Lời giải Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho là: 1, 3, 5, 7, Khi tổng chúng là: 25 5 số phương Cách 2: Nếu số phương M a có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a nên a 2  a 4 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Do ta có:     5 số phương Bài 8: Chứng minh số sau số phương a) c) A 11 155 56   n 1 b) n 1997 1998  10n   A 11  11  66         2n n 1   n d) A 11  44     1 nchuso1 B 11 1122 225       nchuso  2.10n   A 44         22     88 n   n n  e) Lời giải a) Ta có: n 1 A 11 1.10  55 5.10 6    n 1 n 99 n 1 10n 1  n 1 5(10 n  1) 10  55 5.10   10  10   9 n 102 n 2  10n 1  5.10n 1  50  54 102 n 2  4.10n 1   10n 1   A    9   2 1999 B 11 11.10  22 22.10   (101997  1).101999  (101998  1).10        9 1997 1998 b) 100 005     3996  1998 1998 2  (10  2.5.10  25)  (10  5)  ( 1997 ) 3  101  102  103  1 ;11  ;111  9 c) Ta có : 102 n  4(10n  1) 102 n  4.102   10n   A  1    9   n Vì 10 23  A số phương 10n  A 11  11  66   ( )    n n  n d) Ta có: 2 e) Ta có:  2.10n   A 44  22  88        n   2n n 1 Bài 9: Chứng minh số sau số phương Cho S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k (k 1)(k  2) Chứng minh 4S  số phương Lời giải 1 k (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)  (k  3)  (k  1)   k (k  1)(k  2)(k  3)  (k  1)k (k  1)(k  2) 4 Ta có:  S  k (k  1)(k  2)(k  3)  4S  k (k  1)(k  2)(k  3)   k  3k  1 số phương Bài 10: Khó Cho dãy số có số 16, số sau tạo cách viết thêm số 15 vào số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh số dãy số phương Lời giải Trong số dãy trên, số chữ số ln số chữ số chữ số A 11 11    55 55    Đặt n.chu so n  1.chu so Thật vậy, đặt thuộc dãy số Ta chứng minh A số phương a 11 11  10n 9a   n.chu so Ta có: n 2 A  11.11 10n  11 11  5.11 11     10   11 11.10       a (9a  1)  5a  (3a  1)  33 33    n.chu so.1 n  1.chu so n chu so.1 n chu so.1 n  1.chu so.3 Vậy A số phương Bài 11: Cho a 11 1; b 10 05   2016 2015 Chứng minh ab  số tự nhiên Lời giải Cách 1: Ta có: b 10 05 10     9   9 a   ab  a  9a    9 a  a   3a  1 2015 2016 2016  ab    3a  1 3a  1 N Vậy ab  số tự nhiên Cách 2:  10 102016  102016  a 11  ; b  10 05  ab    10 2016       9 2016 2015 Ta có:  102016        Mà  10 2016 2016   4.102016   9  102016   ab        3  ab  số tự nhiên Vậy ab  số tự nhiên Bài 12: Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số Chứng minh a  b số tự nhiên Lời giải  10  1 1060  2.1030 1 1060  1030  1060  a 11  ; b  22   a  b     9 9 60 30 Cách 1: Ta có 30  1030       33       30  Cách 2: Ta có Đặt 30 b 22 2.11 1; a 11 11 1.00  11 11 1.10  11         30 30 60 30 30 30 30 30 c 11  9c  99  1030  a c  9c  1  c 9c  2c.b 2c  a  b 9c  2c  2c  3c    30 30    33    30  Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số số tự nhiên b gồm k chữ số Chứng minh a  b số tự nhiên Bài 13: n2  Cho n  N cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp Lời giải n2  a  a  1 Giả sử ta có 2 2 Từ ta có n 3a  3a   4n  12a 12a    2n  1  2n 1 3  2a  1 Vì 2n  1, 2n  hai số lẻ liên tiếp nên ta có trường hợp sau  2n  3 p  q 3 p   - TH1: 2n  q (vô lý) Vậy trường hợp không xảy 2n   p  p  2 n   q  - TH2:  số lẻ nên p 2k  2 Từ 2n  2k  1 1  n k   k  1  đpcm Bài 14: Cho k số nguyên dương a 3k  3k 1 a) Chứng minh 2a a tổng ba số phương b) Chứng minh a ước số nguyên dương b b tổng gồm ba n số phương b tổng ba số phương Lời giải a) Ta có: 2a 6k  6k   2k  1   k  1  k 2 2 a 9k  18k 15k  6k   k  k    2k  3k  1   2k  k  a12  a22  a32 b) Vì ba nên đặt b ca 2 Vì b tổng ba số phương nên đặt b b1  b2  b3 Khi b c a c  a12  a22  a32  Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành sau: Cho n 2 p  ta được: b p 1  b p   b12  b22  b32  b n  b p  b  a12  a22  a32  cho n 2 p  ta Dạng 2: Chứng minh số khơng số phương Cách giải: Để chứng minh n khơng số phương, tùy vào ta sử dụng cách sau 1) Chứng minh n viết dạng bình phương số nguyên 2 2) Chứng minh k  n   k  1 với k số nguyên 3) Chứng minh n có tận 2,3, 7,8 4) Chứng minh n có dạng 4n  2; 4n  5) Chứng minh n có dạng 3k  2 6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p Bài 1: BTVN Một số tự nhiên có tổng chữ số 2018 số phương hay khơng? Tại sao? Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số 2018 n Ta có: 2018 3m  nên số tự nhiên n chia dư 2, số n có dạng 3k   k  N  Mặt khác số phương khơng có dạng 3k   số tự nhiên n khơng số phương Bài 2: Chứng minh số A n  2n  2n  2n  1 n  N , n  1 khơng phải số phương Lời giải Ta có 2 A n  2n3  2n  2n   n  2n3  n    n  2n  1  n  n    n  1   n  n  , n   A   n  n  , n   1 n Mặt khác  2  n  1 n  2n3  2n  n2  2n  n4  2n3  2n2   n  A  n2  A, n   A   n  n  1  2  n2  n  Từ       A   n  n  1 2 Ta có n  n n  n  hai số tự nhiên liên tiếp nên A số phương Bài 3: 33 Cho A 1       Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Lời giải Ta có: A 1   22  23  24   233 1    22  23  24  25     230  231  232  233  A 3  22    22  23    230    22  23  3  2.30   229.30 10 Do a chữ số nên a 9 Kết hợp với a  N  a   5;6;7 Bài 10: 11 n Tìm số tự nhiên n để   số phương Lời giải 11 n 2 n n Đặt   a (a  0, a  N )  48  a  (a  48)(a  48) +) n 0  ( a  48)(a  48) 1  voly +) a  48 2 x n 0  ( x  y n; x  y )  96 2 x  y  y (2 x y  1) 25.3 y a  48 2 le 2 y 5   x y  2 4  x 7  n 12   y 5 Vậy n 12 giá trị cần tìm Bài 11: Tìm số tự nhiên n 1 cho : 1! 2!  n ! số phương Lời giải +) n 1  S 1! 1 1 +) n 2  S 1! 2! 3 (loại) +) n 3  S 1! 2! 3! 9 3 +) n 4  S 1! 2! 3! 4! 33 (loại) +) n 5  S 1!  2! 3!  4!  5!  6!  n !  33 tc 0 khơng số phương Vậy n 1 n 3 Bài 12: Tìm tất số nguyên dương n cho n ! 232 số phương Lời giải +) n 1  1! 232 233 (loại) +) n 2,3  (loại) 17 +) n 4  n ! 232 256 16 (thỏa mãn) +) n 5  n !5  n ! 232 2(mod 5)  n! 232 không số phương Vậy n 4 Bài 13: Cho n số nguyên dương cho n  2n  só phương Chứng minh n chia hết cho 24 Lời giải 2 Đặt n  a ; 2n  b (a, b  N )  b lẻ  b 2k   b 4k (k  1)  b  4k (k  1) n  2k (k  1)  n 2 Mà chẵn  n  lẻ  a lẻ  a 2q  1(q  N )  a 4q (q  1)   n 4q (q 1) 8(1)    2 2 Mặt khác: a  b 3n  2(mod 3) 2 2 2 Và a , b 0,1(mod 3)  a , b 1(mod 3)  a  b 0(mod 3)  (2n  1)  (n 1) 3  n 3 Mà (3,8) 1  n  n24  đpcm Bài 14: Biết x  N ; x  Tìm x cho x( x  1) x( x  1) ( x  2) xx( x  1) Lời giải Ta có vế trái đẳng thức số phương nên vế phải số phương Một số phương có chữ số tân 0, 1, 4, 5, 6, Nên x có tận là: 1, 2, 5, 6, 7, (1) Do x chữ số nên x 9   x 9(2) Từ (1)(2)  x   5, 6, 7 Bằng phép thử ta thấy x 7 thỏa mãn toán: 76 5776 18 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương a) n  n  b) n  n  Lời giải a) Với n 1 n  n  2 khơng số phương Với n 2 n  n  4 số phương 2 2 Với n  n  n  khơng số phương vì: (n  1)  n  n   n 5 2 b) Ta có (n  n)5 n  n (n  1)n(n  1) - n 5k  n 5 - n 5k 1  n  15 - n 5k 2  n  15 5 Nên n  n  chia dư nên n  n  có chữ số tận nên n  n  số phương Vậy khơng có giá trị n thỏa mãn tốn Bài 2: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006  n số phương Hướng dẫn giải 2 Giả sử 2010  n số phương 2010  n m  m  N  2 Từ suy m  n 2006   m  n   m  n  2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m  n  m  n 2m  số m  n m  n tính chẵn lẻ (2) Từ  1    m  n m  n số chẵn 19   m  n   m  n  4 2006 không chia hết cho  điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006  n số phương Bài 3: Tìm số nguyên tố ab  a  b   cho ab  ba số phương Hướng dẫn giải Ta có: ab  ba  10a  b    10b  a  9a  9b 9  a  b  32  a  b  Do ab  ab số phương nên a  b số phương Ta thấy a  b 8 nên a  b   1; 4 Với a  b 1 ab   21;32; 43;54;65;76;87;98 loại số hợp số 21,32,54, 65, 76,87,98 số 43 số nguyên tố Với a  b 4 ab   21;32; 43;54;65;76;87;98 loại hợp số 51, 62,84,95 số 73 số nguyên tố Vậy ab   43;73 20