CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 3 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên miền D Số M gọi là giá trị lớn nh[.]
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ C H Ư Ơ N BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT = = = I Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định miền D f x M , x D x0 D, f x0 M Số M gọi giá trị lớn hàm số y f x D nếu: M max f x M max f x xD D Kí hiệu: f x m, x D x D, f x0 m y f x Số m gọi giá trị nhỏ hàm số D nếu: m min f x m min f x xD D Kí hiệu: Định lý Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm liên tục đoạn y f x a; b Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giả sử hàm số liên tục đoạn a; b ta làm sau: hàm f đoạn * Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn thuộc a; b cho hàm số f có đạo hàm khơng xác định * Tính f x1 ; f x2 ; ; f xn ; f a ; f b * So sánh giá trị tìm a; b , số nhỏ Số lớn giá trị giá trị lớn hàm f đoạn a; b giá trị giá trị nhỏ hàm f đoạn * Nếu: max f x f b a ;b y ' 0, x a; b f x f a min a ;b 1) Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 126 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ max f x f a a ;b y ' 0, x a; b f x f b min a ;b 2) Chú ý * Quy tắc sử dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn * Đối với tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (nửa khoảng) ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên hàm f dựa vào nội dung bảng biến thiên để suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm f khoảng (nửa khoảng) * Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (nửa khoảng) khơng tồn * Với toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện ẩn phụ II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = DẠNG TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ I THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG y f x 3; 2 có bảng biến thiên hình Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x 1; Giá trị M m ? Câu Cho hàm số liên tục y x x đoạn Câu a) Tìm GTLN, GTNN hàm số b) Tìm GTLN, GTNN hàm số y x 1; 3x2 đoạn 1; 2 3 x2 f x ; x Câu Tìm giá trị lớn hàm số đoạn 0; 2 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 3x đoạn Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 127 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x2 x y x Câu Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 3; 2 Tính M m Câu Kí hiệu m M giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn 0;3 y x2 x x M Tính giá trị tỉ số m 3 x2 f x ; 4 x Câu Gọi giá trị lớn hàm số, giá trị nhỏ hàm số đoạn M , m Tìm M 3m Câu Cho hàm số f x liên tục đoạn 2;3 có đồ thị hình vẽ Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số đoạn bao nhiêu? 2;3 Giá trị 2m 3M 1;5 có đồ thị hình vẽ bên Gọi M Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục lượt giá trị lớn nhỏ hàm số cho bao nhiêu? m lần 1;5 Giá trị M m Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 128 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 10 Cho hàm số f ( x) liên tục 1;3 có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Câu 11 Cho hàm số y f x liên tục đoạn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu 12 Cho hàm số y x x 21 y f x 2;6 f x 1;3 Tính M m có đồ thị hình vẽ Gọi M , đoạn m 2;6 Giá trị 2M 3m x x 10 , gọi y0 GTNN hàm số cho, đạt điểm x0 Tính 6x0 y0 Câu 13 Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình dưới: 0; 2 Tìm GTLN, GTNN hàm số y f ( x) đoạn Câu 14 Cho hàm số y f ( x) liên tục có đồ thị hình dưới: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 129 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2;1 Tìm GTLN, GTNN hàm số y 1 f ( x) đoạn DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Câu Cho hàm số y f x y sin x 4sin x có bảng xét dấu biến thiên sau: Giá trị lớn hàm số f sin x 1 bao nhiêu? Câu Cho hàm số y=f ( x ) xác định liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi M vàm giá trị lớn nhỏ hàm số y=f (−sinx+2) Giá trị M −mbằng Câu Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị lớn hàm số y f x2 0; đoạn Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 130 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1;5 có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị lớn Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục nhỏ hàm số Câu Cho hàm số y = f ( x) y f x2 2x 4 0; 2 liên tục tập có bảng biến thiên sau y = f ( x - x) Gọi M ; m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số é 7ù ê- ; ú ú Tìm tổng M + m ë 2û đoạn ê Câu Cho hàm số y f x Xét hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ: g x f x3 x 1 m Tìm m để max g x 10 0;1 DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ Câu Tìm tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số y x x m đoạn 1;1 Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 131 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x m2 y x đạt giá trị lớn Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 4; 2 y x x m Câu Tính tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn 1;1 y x2 x m Câu Tìm tất tham số m đểGTNN hàm số Câu Tìm tất giá trị m để GTNN hàm số y x2 4x m 4x Câu Gọi S tập tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f x x 3x m Câu 7: y x3 3x m 16 Tổng tất phần tử S đoạn 0; 2 Số phần tử S y x2 x m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số thỏa mãn y 2 2; 2 Câu 9: 0;3 Gọi tập S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số Câu 8: đoạn Tổng tất phần tử S Gọi M giá trị lớn hàm số số thực m để M f x x x 12 x m đoạn 1;3 Có 59 ? Câu 10: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số Tích phần tử S y x m2 m x2 thỏa max y 1 1;2 Câu 11: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y x mx m x 1 Câu 12: Xét hàm số trên 1; 2 Số phần tử S f x x ax b , với a , b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số 1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ tính T a 2b Câu 13: Cho hàm số y x3 3x m Câu 14: Cho hàm số (với m tham số thực) Hỏi f x x ax b max y 1;2 có giá trị nhỏ , a , b tham số thực Tìm mối liên hệ a f x 1;1 b để giá trị lớn hàm số đoạn Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 132 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f x x x3 x a Câu 15: Cho hàm số Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn cho M 2m ? y Câu 16: Cho hàm số hàm số đoạn x ax a x 1 0; 2 Có số nguyên a thuộc đoạn 3;3 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ 1;2 Có số nguyên a cho M 2m ? y x x2 x 1 x m y 2x x2 x 1 x m Câu 17: Cho hàm số m để max y 3 ? Câu 18: Cho hàm số nhỏ Mệnh đề sau đúng? Câu 19: Gọi S tập hợp tất số nguyên m Có tất giá trị thực tham số Khi giá trị lớn hàm số đạt giá trị 19 y x4 x 30 x m để hàm số có giá trị lớn 0; 2 không vượt 20 Tổng phần tử S f x 3 y x3 3x m Câu 20: Cho hàm số Có số nguyên m để 1;3 ? f ( x) 1, x [0;1] Câu 21: Cho hàm số f ( x ) ax bx c, Tìm giá trị lớn f (0) y max y 10 y x x3 x a 1; 2 Câu 22: Cho hàm số Có số thực a để 1; 2 ? đoạn DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f x , m 0 CÓ NGHIỆM (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I Phương pháp: Bước Tìm điều kiện xác định phương trình cho Bước Đặt t u x kiện m x u t Tìm tập giá trị K t Chuyển tốn về: tìm điều để phương trình g t Bước Tìm GTLN, GTNN Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp: g t h m có nghiệm thuộc K tập giá trị g t K để suy điều kiện ax b cx d ax b cx d Xuất biểu thức đối xứng PP: Đặt Xuất t ax b cx d a bx c bx a c Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 133 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn m CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ a bx a c sin 2 0; a bx c bx a c c bx a c cos PP: Vì Nên đặt , tan sin 2 tan tan cos tan t tan , tiếp tục đặt , t 0;1 Và sử dụng hệ thức Ta phương trình ẩn t Câu Tìm giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm: x 2 x 1 x m x 4 x Câu Tìm giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm: 2m 1 x m x m 0 DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI x K (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I Phương pháp Tìm điều kiện tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm nghiệm x a; b với m f x x a; b m max f x a ;b m f x x a; b m max f x a ;b m f x x a; b m f x a ;b m f x x a; b m min f x a ;b m f x có nghiệm m f x có nghiệm m f x có nghiệm m f x có nghiệm x a; b m f x a ;b x a; b m min f x a ;b x a; b m max f x a ;b x a; b m max f x a ;b Tìm điều kiện tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm nghiệm x a; b với Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 134 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ MẸO NHỚ Nếu hàm có max biên khơng tồn thì: Loại ln có dấu =, loại có nghiệm ln bỏ dấu = Nếu hàm có max tồn có dấu giữ nguyên m f x x a; b m f b m max m f d m f x x a; b m f b m max m f d m f x x a; b m f a m m f c m f x x a; b m f a m min m f c m f x có nghiệm m f a m m f c m f x có nghiệm m f a m min m f c m f x có nghiệm m f b m max m f d m f b m max m f d m f x có nghiệm 6x Câu Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình nghiệm với x 2;8 x x x m Câu Cho phương trình có nghiệm thực? Câu Tìm m để bất phương trình Câu Cho hàm số f x x x x2 m x 2 2 3 x Tìm m để bất phương trình cho x x x x m 1 có nghiệm y f x liên tục Hàm số có đồ thị hình vẽ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 135 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f 2sin x 2sin x m x 0; m Tìm cho bất phương trình với ? DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I Phương pháp: Đưa yêu cầu toán mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước Chú ý: Ta sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức Một số bất đẳng thức thường dùng Bất đẳng thức AM GM : a b ab a , b Cho hai số thực ta có: hay a b 2 ab Dấu '' '' xãy a b a bc abc 3 Cho ba số thực a , b , c 0 ta có: hay a b c 3 abc Dấu '' '' xãy a b c Bất đẳng thức Bunhiacopxki : ax by ta có: Dấu '' '' xãy ay bx a ; b ; c , x ; y ; z ta có: Cho hai số thực Cho hai số thực a ;b , x ; y ax by cz a a b2 x y b2 c x y z Dấu '' '' xãy a : b : c x : y : z Câu Một chất điểm chuyển động theo quy luật S (t ) 3t t Tìm thời điểm t (giây) vận tốc v m/s chuyển động đạt giá trị lớn nhất? Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S t t 3t 2t 4 , t tính s S tính mét m Tại thời điểm vận tốc chuyển động đạt giá giây trị lớn nhất? Câu Hằng ngày mực nước hồ thủy điện miền Trung lên xuống theo lượng nước mưa suối nước đổ hồ Từ lúc sáng, độ sâu mực nước hồ tính theo mét lên xuống theo thời gian t (giờ) ngày cho công thức: h t t 5t 24t t 0 Biết phải thông báo cho hộ dân phải di dời trước xả nước theo quy định trước Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước xả nước Biết mực nước hồ phải lên cao xả nước Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 136 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức x F x x 30 x 40 , liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều Câu Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao 60 cm , thể tích 96000 cm Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ / m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ /m bể cá Tính chi phí thấp để hồn thành Câu Nhà xe khốn cho hai tài xế An Bình người nhận 32 lít 72 lít xăng tháng Biết ngày tổng số xăng hai người sử dụng 10 lít Tổng số ngày để hai tài xế sử dụng hết số xăng khoán Câu Người ta cần xây bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 200 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí để xây bể 300 nghìn đồng /m (chi phí tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy diện tích xung quanh khơng tính chiều dày đáy thành bên) Tính chi phí thấp để xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng) Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 137 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn