ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 UBND HUYỆN N LẬP PHỊNG GD&ĐT (Đề thức) (Đề có trang) MƠN THI: TỐN, LỚP Ngày thi: /11/2017 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Thí sinh làm tờ giấy thi Hãy chọn phương án trả lời đúng: Câu 1: Giá trị biểu thức 15 6 15 6 bằng: A 12 B 30 Câu : Giá trị x để A C 4x 20 B D x 9x 45 khác là: C D Cả A, B, C sai m2 x Câu 3: Hàm số y = m hàm số bậc m bằng: A m = B m ≠ - C m ≠ D m ≠ 2; m ≠ - Câu : Cho hàm số bậc nhất: y = (m-1)x - m+1 Kết luận sau sai : A Với m> 1, hàm số hàm số nghịch biến B Với m> 1, hàm số hàm số đồng biến C Với m = đồ thị hàm số qua gốc toạ độ D Với m = đồ thị hàm số qua điểm có toạ độ(-1;-2) 1 x 5 x 5 Câu : Cho hàm số bậc y = ; y = -2 ; y = -2x+5 Kết luận sau A Đồ thị hàm số đường thẳng song song với B Đồ thị hàm số đường thẳng qua gốc toạ độ C Các hàm số luôn nghịch biến D Đồ thị hàm số đường thẳng cắt điểm Câu : Cho E = √ x + x+ Trục thức mẫu, E = 3[ ( x+1 ) −√ x ] a x +bx +c Khi giá trị a + b + c là: A -2 B C -1 D Câu 7: Hàm số y = (m +2 )x2 đạt giá trị nhỏ : A m < -2 B m -2 C m > -2 D m -2 Câu 8: Nghiệm p.trình 2x2 - (m-1)x - m -1 = là: m A m 1 C B -1 m D Câu 9: Cho ∆ ABC ∆ A’B’C’ có Â = Â’ ; AB = 6, AC = 9, A’B’ = 1,5 ; A’C’ = 2,25 M trung điểm BC, M’ trung điểm B’C’ Phát biểu sau ? A BC = 4B’C’ B Nếu chu vi ∆ ABC 28 chu vi ∆ A’B’C’ A'M ' A' B ' AB C AM S A ' B 'C ' S ABC D Câu 10 : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH (H BC) Lần lượt vẽ HE vng góc với AC E, HF vng góc với AB F Biết BH = 6cm, CH = 9cm Diện tích tứ giác AEHF : 54 A cm2 54 B cm2 C cm2 18 D cm2 Câu 11 : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH (H BC) Biết AB = 6cm, AC = 2AH Tỷ số AC : BC : A B C 2 D Câu 12 : Cho tam giác ABC vuông A, AC = 4cm, BC = 5cm, đường thẳng d qua C vng góc với BC Kẻ AH vng góc với d H Khi HC : 12 A cm 12 B 11 cm 12 C cm D Một số khác Câu 13 : Nếu sinx = 3cosx sinx.cosx : A B C D 10 Câu 14 : Cho hình vng ABCD có cạnh a, O giao điểm AC BD Khẳng định sau : A Đường tròn tâm O qua A có trục đối xứng AC B Đường tròn tâm O qua A có đường kính a C Đường trịn tâm O qua A qua B D Đường trịn tâm O qua A có bán kính a Câu 15 : Cho đường trịn (O; R) Từ M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Nếu tam giác MAB độ dài OM : A R B R D ( +1)R C 2R Câu 16 : Lúc 10 phút kim kim phút đồng hồ tạo với góc có số đo độ ? A 550 B 600 C 650 D 700 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) : a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz b z a y 1 1 y c x b b) Chứng minh : Nếu ta có abc xyz Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình : x y y x xy x2 x 2 y b) Giải hệ phương trình: y2 y x Câu (4,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Gọi H K hình chiếu M AC BC HM MK CD Chứng minh rằng: HK MC R c) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường tròn cố định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Câu (1,5 điểm) : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = c ab a bc b ac 2 Chứng minh rằng: a b b c a c Hết Họ tên học sinh:……………………………….,số báo danh:…………… Cán coi thi không giải thích thêm UBND HUYỆN N LẬP PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHON HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2017-2018 MƠN : TỐN, LỚP Ngày thi: /11/2017 I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câ u ĐA C 11 14 15 16 AC D D A C D B C B C AB C B D C D AB C C C II PHẦN TỰ LUẬN (12 ĐIỂM) Câu (3,0 điểm) : a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz b z a y 1 1 y c x b b) Chứng minh : Nếu ta có (1) (2) abc xyz Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) : x + y + z = xyz (1) Ta nhận thấy ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự ẩn Giả sử: x y z 0,25 Ta có: xyz = x + y + z 3z => xy => xy {1; 2; 3} 0,5 Với xy = => x = 1, y = 1, thay vào (1) được: + z = z (loại) 0,25 Với xy = => x = 1, y = 2, thay vào (1) được: + z = 2z => z = 0,25 Với xy = => x = 1, y = 3, thay vào (1) được: + z = 3z => z =1 (loại, x y z) 0,25 Vậy với x y z nghiệm nguyên phương trình (1; 2; 3) Hốn vị số ta số (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (3; 2; 1) Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên 0,5 b ab b 1 y (3) b) (1,5 điểm) : Nhân hai vế (1) với y ta có: xy b z 1 c (4) Từ (2) ta có: y ab z 1 c abc xyz (ĐPCM) Từ (3) (4) ta có: xy 0,75 0,25 0,5 Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình : x y y x xy x2 x 2 y b) Giải hệ phương trình: y2 y x Đáp án a) (1,5 điểm) : Xét VP = x y y x xy x y 4 y x = x.2 0,25 y y.2 x y 0, x 0 nên theo BĐT Cô si ta có : 4 x x x 2 Do VP 0,25 ĐK : x 4; y 4 Vì Điểm y 4 y y 2 0,5 xy xy xy 2 0,5 x 2 Dấu “=” xảy y 2 x = y = (thỏa mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình x = 8, y = b) (2,0 điểm) ĐK: x 0, y 0 x2 x 2 y 0,25 k (k 1) y 2 1 y2 y 1 y (**) x (*) k 0,25 Đặt x ky (k 0) , ta có: - Nếu k = -1, hệ phương trình (**) vô nghiệm 0,25 k (k 1) 4 - Nếu k 0, k từ (**) ta có: k => k = k = -2 0,5 Với k = 2, ta có: x = 2y thay vào hệ phương trình (*) ta y2 y 2 y y y 2y 0,25 y = => x = Với k = -2, ta có x = -2y, thay vào (*) ta tìm y = => x = -2 Vậy hệ phương trình có có nghiệm: ( ; ) (-2;1) 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm): Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Gọi H K hình chiếu M AC BC HM MK CD HK MC 4R Chứng minh rằng: c) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường trịn cố định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Đáp án Điểm 0,5 a) (1,0 điểm): Vì CD AB CM = MD Tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên hình 0,5 bình hành Mà AE CD tứ giác ACED hình thoi b) (2,0 điểm) Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vng C, suy tứ giác CHMK hình chữ nhật 0,25 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có: MA.MC 0,25 MH.AC = MA.MC MH = AC 0,25 MB.MC Tương tự ta có: MK = BC MA.MB.MC MH.MK = AC.BC Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông C) MC2 MC MC3 MH.MK MC = = MH.MK = MC.AB AB MC AB Mà MC = HK ( CHMK hình chữ nhật) MH.MK MC 2MC CD HM MK CD = = = = HK.MC AB 2AB 4R Vậy: HK MC 4R (đpcm) c) (1,0 điểm) Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy O’ cố định 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường 0,25 Do O’C’ = OC = R khơng đổi 0,25 Suy C’ nằm đường tròn (O’;R) cố định M di chuyển đường kính AB 0,25 Câu (1,5 điểm) : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = c ab a bc b ac 2 Chứng minh rằng: a b b c a c Đáp án Điểm Vì a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) BĐT cần chứng minh tương đương với: c a c b b a b c a b a c 2 a b a c 0,5 b c 2 c a c b b a b c a b a c 2 a b a c bc 2 Mặt khác dễ thấy: x y z xy yz zx , với x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có: VT b c a b c a 2 0,5 Dấu “=” xảy a = b =c = đpcm 0,5 Ghi chú: - Trong trình chấm thi học sinh, giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ làm học sinh Học sinh giải theo cách khác đáp án mà cho điểm - Khi chấm tổ chấm chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm