PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ Đề thức ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2018-2019 MƠN:TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Biểu thức P = x x có giá trị lớn khi: A x B x 2 C x 2 D x 1 1 Câu Giá trị biểu thức Q = bằng: 1 3 5 2023 2025 A C 45 B 2025 Câu Công thức hàm số f(x), biết f(x - 1) = 3x - là: D 22 A f(x) = 3x - B f(x) = 3x - C f(x) = 3x D f(x) = 3x + Câu Điểm cố định mà đường thẳng y = (m + 3)x + m - qua là: A (1; 8) B (-1; -8) C (-1; 8) D (1; -8) Câu Cho ABC có B 40 ; C 60 ; đường trung tuyến AM Khi ta có: A AMC 730 B AMC 730 C AMC 730 D AMC 720 Câu Một tam giác vng có chu vi 60cm, cạnh huyền 25cm Độ dài cạnh góc vng là: A 10cm 25cm B 15cm 20cm C 5cm 30cm D 15cm 25cm Câu Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH BK Khi đó, ta có hệ thức: 1 ; 2 BC BK AH 1 C ; 2 BK BC AH A 1 ; 2 BC BK AH 1 2 D AH BC BK B Câu Tam giác ABC A 1200 ; AB 3cm; AC 6cm Độ đài đường phân giác AD D BC là: A 3cm B 2,5cm C 2cm D 1,5cm Câu Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm, M trung điểm BC, D trung điểm BM Khi độ dài đoạn thẳng AD : A 2,5cm B 3cm C 3,5cm D 10 cm 1 a 1 a 1 1 , Câu 10 Kết rút gọn biểu thức M a a2 a a 1 a 1 a với a là: A M a B M a C M 1 D M Câu 11 Điều kiện k để hai đường thẳng: y k k x k y 3 k x k k song song là: A k 2 B k C k 2; k D k 2; k Câu 12 Cho tam giác ABC có đường phân giác AD D BC Khi đó, ta có: 1 ; B AD AB AC ; C AD AB AC ; D AD AB AC AB AD AC Câu 13 Cho ABC vng A Đường trịn (O) nội tiếp ABC tiếp xúc với BC D; BD = 4cm, DC = 6cm Độ dài đường kính đường tròn (O) là: A 4cm B 5cm C 6cm D 2cm A Câu 14 Cho x Giá trị biểu thức A x 3x 2004 bằng: A 2020 B 2019 C 2018 D 2017 Câu 15 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 25cm, dây CD = 7cm Các đường vng góc với CD C D cắt AB thứ tự E F Diện tích tứ giác CDFE : A 81cm B 82cm C 84cm D 85cm Câu 16 Người ta cần phải làm cửa sổ (hình vẽ) có chu vi a mà phía nửa hình trịn, phía hình chữ nhật (a chu vi nửa hình trịn cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh đường kính nửa hình trịn) Để diện tích cửa sổ lớn kích thước phần hình chữ nhật là: 2a a , Chiều cao ; 2a a B Chiều rộng , Chiều cao ; C Chiều rộng a , Chiều cao 2a ; A Chiều rộng D Chiều rộng 2a , Chiều cao a II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 320 b) Cho a, b, c thỏa mãn thức N a b c 7; a b c 23; abc 3 Tính giá trị biểu 1 ab c bc a ca b Câu (3,5 điểm) Giải phương trình sau: a) x 10 x x x x ; b) Câu (4,0 điểm) x 5 3 x 15 x x 0 Cho hình vng ABCD có cạnh a, N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Gọi M trung điểm EF a) Chứng minh: NB.DE = a2 ba điểm B, D, M thẳng hàng b) Tìm vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E 1 x y z y z x z x y Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi không cần giải thích thêm./ PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 04 trang A Một số chỳ ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm thống cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án B,C,D D A B C B A C B 10 D 11 B 12 D 13 A 14 15 C C 16 A II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 320 b) Cho a, b, c thỏa mãn biểu thức N a b c 7; a b c 23; abc 3 Tính giá trị 1 ab c bc a ca b Nội dung Điểm a) Ta có x y x y 320 x y x 320 1 0,5 Vì x3 y 0 nên từ (1) suy x 320 x 2 x 0; 1; 2 (vì x Z ) 0,5 - Với x = 0, thay vào (1) ta y 320 y Z - Với x = 1, thay vào (1) ta y 319 y Z - Với x = -1, thay vào (1) ta y 319 y Z 0,5 - Với x = 2, thay vào (1) ta y 256 y 8;24 - Với x = -2, thay vào (1) ta y 256 y 8; 24 Vậy nghiệm nguyên (x,y) PT là: (2; -8), (2; 24), (-2; 8), (-2; -24) b) Ta có a b c a b c ab bc ca 0,5 Mà a b c 7 ; a b c 23 nên ab bc ca 13 Ta lại có a b c 7 c a b ab c ab Tương tự, ta có: bc a 1 b 1 a b 1 c 1 ; ac a b 1 0,5 b 6 a1 c1 1 ab c bc a ca b 1 a1 b1 b1 c1 a1 c1 Vậy N 0,5 c 1 a 1 b a1 b1 abc c1 a b c a b c ab bc ca 7 13 Câu (3,5 điểm) Giải phương trình sau: a) x 10 x x x x (1) x 5 3 x b) 15 x x 0 (2) Nội dung Điểm a) Ta có 1 x x x 1 4 x 1 x x 0,5 Nhận xét: Với a, b a b 4ab Dấu "=" xảy a = b Do đó, ta có: x x x 1 4 x 1 x x 0,5 x x x 1 4 x 1 x x x x 2 x x x 0 x 3 3 x 0,5 Vậy nghiệm PT x 0,25 b) ĐK: x 3 0,25 Đặt t x x t 8 15 x x t 2 0,5 PT (2) trở thành: t t 12 0 t t 3 0 t 4 (vì t 2 ) 0,5 Với t = 4, ta có: x x 4 15 x x 4 x 1 0 x Ta thấy x = -1 t/m ĐK nên x = -1 nghiệm PT cho 0,5 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Gọi M trung điểm EF a) Chứng minh: NB.DE = a2 ba điểm B, D, M thẳng hàng b) Tìm vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Nội dung Điểm Hình vẽ E M A N B D a) Ta có: E CD B CF (cùng phụ với F C ) ECB Chứng minh được: EDC = FBC (g.c.g) 0,5 ED = FB + NCF vuông C, CB NF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: BC2 = NB.BF hay a2 = NB.DE + CEF vuông C có CM đường trung tuyến nên CM EF + AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM EF2 CM = AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC b) Đặt DE = x (x > 0) BF = x SAEFC = SACF + SAEF = 12AFAE CB (AB BF) AE AD (a x).DE (a x)x 2 0,5 0,5 0,5 0,5 SAEFC = 3.SABCD (ax) 3a2 6a2 ax x20 0,5 (2a x)(3a x) 0 Do x > 0; a > 3a + x > 2a x0 x = 2a A trung điểm DE AE = a Vì AE //BC nên N trung điểm AB AN AE 1 NB BC Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD 0,5 0,5 Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E 1 x y z y z x z x y Nội dung Điểm 1 1 1 Đặt a ; b ; c a, b, c abc x y z xyz 0,25 x y c a b ; y z a b c ; z x b c a E a2 b2 c2 b c c a a b 0,5 a2 b c ; Áp dụng BĐT Cơ-si cho số dương ta có: bc a2 bc a2 b c a2 b c 2 a a bc b c b c 2 b ca c a b b c Tương tự, ta có: ; ca a b a b c a b c abc Do E a b c 2 2 E a b c 1 x y z 1 Vậy MinE = x = y = z = 0,5 0,25