Cđ 10 giải phương trình

CHUN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CĨ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: Do x = khơng phải nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x , đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 HD: Thấy x = nghiệm phương trình: Chia hai vế cho x ta được:   1   x  3x    0   x     x    0 x x 3 x    1  y  x   y  x x Đặt , Thay vào phương trình ta có: y   y  0 x Bài 2: Giải phương trình: x  25x  12 x  25x  0 HD: Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế PT x 0 ta được:   25  1 x  25x  12   0   x    25  x    12 0 x x x x    1 t  x  t  x x Đặt: , Thay vào phương trình ta được: 2 t   25t  12 0  6t  25t  24 0 x   Bài 3: Giải phương trình: x  5x  12 x  5x  0 HD: Nhận thấy x=0 nghiệm PT, chia hai vế PT cho x 0 , ta được:   1 1 x  5x  12   0   x     x    12 0 x x x x    1 t  x  t  x x Đặt: , Thay vào phương trình ta được: t  5t  14 0   t  7  t   x Bài 4: Giải phương trình: x  x  x  x  0 Bài 5: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 HD: Nhận thấy x = nghiệm PT, chia hai vế PT cho x 0 , ta được:   1 1 x  3x    0   x     x    0 x x x x    Đặt x t x , Phương trình tương đương với: t  3t  0 Bài 6: Giải phương trình: x  x  14 x  x  0 HD: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Nhận thấy x=0 khơng phải nghiệm phương trình , chia hai vế PT cho x 0 ta được: x  x  14  Đặt: x    1  0   x     x    14 0 x x x x    t x , phương trình trở thành: 2t  9t  10 0 Bài 7: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 Bài 8: Giải phương trình: 3x  13x  16 x  13x  0 Bài 9: Giải phương trình: x  5x  38x  5x  0 Bài 10: Giải phương trình: x  7x  36 x  x  0 Bài 11: Giải phương trình: x  x  x  x  0 Bài 12: Giải phương trình: x  5x  x  5x  0 Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x  x  x  x  0 Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x  x  x  x  0 HD: Nhân hai vế phương trình với x-1 ta được:  x  1 x  x3  x  x   x  0  x 1  x 1  Cách 2: Đặt  y x  x Bài 15: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x  x  x  3x  0 HD: x  x  x  x  0 Biến đổi phương trình thành:    Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG  x  a   x  b   x  c   x  d  k Phương pháp: Nhận xét tích a  d b  c , nhóm hợp lý tạo biểu thức chung để đạt ẩn phụ Đôi ta phải nhân thêm với hệ số để có biểu thức chung  x  7  x  5  x    x   72 Bài 1: Giải phương trình: HD: Phương trình tương đương với  x  7  x    x  5  x   72  x  x  14 x  x  20  72 0    Đặt x  x  14 t , phương trình trở thành: t  t    72 0   t  12   t   0   23 t  12  x  x  14  12   x    0   Với t 6  x  x  14 6   x  1  x  8 0 Với  x  1  x  3  x  5  x  7 297 Bài 2: Giải phương trình: HD: Phương trình tương đương với:  x  1  x  5  x  3  x  7  297 0  x  x  21 x  x   297 0    Đặt x  x  t phương trình trở thành:  t  16 t  297 0   t  8  192 0   t  27   t  11 0 Với t 27  x  x  27   x    x   0 Với t  11  x  x   11   x    0 Bài 3: Giải phương trình sau: HD:  x  7  x  5  x  4  x   72 Biến đổi phương trình thành: x  x x  x  24   Đặt x  x   y , Khi phương trình trở thành:  y  1  y  1 24  y2  24  y 25 Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình: Bài 9: Giải phương trình: Bài 10: Giải phương trình: HD:  x  1  x    x    x  5 40 x  x  1  x  1  x   24  x  4  x  5  x  6  x  7 1680 x  x  1  x  1  x   24  x  1  x  3  x  5  x  7 297 x  x  1  x    x  3 24  x  2  x  2  x  10 72  Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 2 y  y   72  y  y  81   y  3  92 0 Đặt x   y Phương trình trở thành: Bài 11: Giải phương trình: HD: x  x  1  x  1 9 x  x  1  8x   72 Nhân vào hai vế ta được:  y  1 y2  y  1 72  y2  y  0 Đặt 8x   y , ta :    Bài 12: Giải phương trình: HD:  12 x  7  3x    x  1 3  12 x  7  12 x  8  12 x   72 Nhân hai vế với 24 ta được: Đặt 12   y Bài 13: Giải phương trình: HD:  x  1  x  1  x  3 18  x  1  x    x  3 0 Nhân hai vế với ta được: , Dặt x   y  x  7  3x    x  1 6 Bài 14: Giải phương trình: HD:  x  7  x  8  x  6 72 Nhân hai vế với 12 ta được: Đặt y 6 x   x  1  12 x  1  3x    x  1  0 Bài 15: Giải phương trình: HD : Phương trình   x  1  3x    12 x  1  x  1  0  12 x  11x  12 x  11x   0    Đặt 12 x  11x  t phương trình trở thành:  t  3 t  0   t    t  1 0 2 Với t   12 x  11x    12 x  11x  0 t 1  12 x  11x  1   3x    x  1 0 Với  x  1  x Bài 16: Giải phương trình:  8x  18  HD: Biến đổi phương trình thành:  x  1 2  x  x   1 18   x  1   x  1       1 18   x  1 t ,  t 0  , Thay vào phương trình ta được: Đặt t  4t  1 18  4t  t  18 0 x    x  3  x    x    x 0  Bài 17: Giải phương trình: HD: Vì x 0 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 12 12    12  4  x   1  0 t x  x x x    x , ta có: Đặt  t 1  t    t  1  0  t  3t  0    t 2  x 4 12 t 1  x  1  x  x  12 0   x  x  Với Với t 2  x  x  12 0  x 1  13 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x  3; x 4; x 1  13 Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG  x  a   x  b Bài 1: Giải phương trình: HD:  x  1   x  3 4 c 82 4 y  1   y  1 82  y  y  40 0  y  x  Đặt , ta có: Bài 2: Giải phương trình: HD:  x     x  8 16 4  y  1   y  1 16 Đặt x   y , phương trình trở thành: 4 Rút gọn ta được: y  12 y  16  y  y  0 4 82 4 2 4 16 4 1 Bài 3: Giải phương trình:  x     x  6 Bài 4: Giải phương trình:  x  3   x  5 Bài 5: Giải phương trình:  x  3   x  5 Bài 6: Giải phương trình:  x     x  3 Bài 7: Giải phương trình:  x  1   x  3 Bài 8: Giải phương trình:  x  2,5   x  1,5 Bài 9: Giải phương trình:   x    x  2 4 82 4 x  1 Bài 10: Giải phương trình:  4 1 32   x  3 2 Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ  x  3x  1   x  3x  3  24 0  x  x    x  x  12  x  6x  9  15  x  6x  10  1 Bài 1: Giải phương trình: 2 Bài 2: Giải phương trình: 2 Bài 3: Giải phương trình: HD : 2 x  x   x  3 t,  t 0  Đặt : , Thay vào phương trình ta : 2 t  15  t  1 1  t  15t  16 0   t  1  t  16  0 Bài 4: Giải phương trình: HD : x  x Biến đổi phương trình : Bài 5: Giải phương trình: HD :  2x 2  x   x   43  4x   x  x  43   Đặt x  x  y  3  16  x  3 0 2 PT   x  3   x  12  0  x   x  12 x   x  12 0  Ta có:   x  x  15  x  x   0   Bài 6: Giải phương trình sau: x  x  8x  0 HD: x  x  x  x  x  0 Biến đổi phương trình thành:   x  x     x  x  0     x    x Bài 7: Giải phương trình:   x  HD: 3  x  y   x  y  z   x z  Đặt , phương trình trở thành: y  z   y  z   yz y  3yz  z 0   Bài 8: Giải phương trình: HD:  x  7   x  8  15  x  x  a, x  b  a  b   a  b  Đặt 4  x  1   x   Bài 9: Giải phương trình: 4    ab  a2  ab  b  0 0    x  1 HD: Đặt  x  y   x t   x  z ta có: x  y  z 0 3 Phương trình trở thành: y  z  t 0 yzt 0 Bài 10: Giải phương trình:  x  1   x    x  1  x  1  x     x  0 Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com HD: Đặt x  a, x  b,1  x c  a  b  c 0 3  x  1   x      x  Phương trình tương đương với x 2 0  a3  b  c3 0   3x x   x 0    Bài 11 : Giải phương trình: HD: x   y  y  3xy  x 0   x  y   y  x 0  Đặt x  x  x  1  12  x  1 0 Bài 12: Giải phương trình: HD :  x a  x  1 b a2  4ab  12b 0   a  6b   a  2b  0    Đặt Khi phương trình trở thành: Với a 6b  x 6  x  1  x  12 x  0   x    30 Với   a  2b  x  x  0   x    Bài 13: Giải phương trình: HD:  3x  8x  x   12 x 0  Phương trình tương đương với:    3x    x    x    x    12 x 0 2  3x  x   x    12 x 0  x  x  x   x    12 x 0     2   x   x     x    12 x 0  x  x     x    12 x 0     x a  x   b    Đặt: , Khi phương trình trở thành: 2 12a  4ab  b 0  12a  6ab  2ab  b 0  6a  2a  b   b  2a  b  0   6a  b   2a  b  0  6a  b 0    2a  b 0  6a b  x  x  x   x  x  0   a b 0  l  Giải pt ta được: x x Bài 14: Giải phương trình:  2  x  x  192   HD: x Biến đổi phương trình thành:   x  1  x  3 192   x  1  x  1   x  3 192  y   y2  y   192  y2 y2  192 Đặt x   y  Phương trình trở thành:  z    z   192  z 14 Đặt y  z , Phương trình trở thành:  Bài 15: Giải phương trình: HD: x   x  1   x    x  3  3  y  3   y     y  5  y  6 Đặt x  y  , Phương trình trở thành:  y y  y  21 0   Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 2  x  x  1   x  1 5  x  1 Bài 16: Giải phương trình: HD : Vì x  khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x  ta được: x2  x 1 x 1 x2  x 1 2 t  3t  5  3t  5t  0  t 2, t  x 1 x  x  Đặt x 1 t t 2  x  x  0  x   13  x  x  0 phương trình vơ nghiệm x  1  x    x  3  x    x  5 360 Bài 17: Giải phương trình:  HD:  x  x  x  x  x  x  360 Phương trình  y  5  y  8  y   360 Đặt t x  x , ta có phương trình:  x 0  y y  22 y  157 0  y 0  x  x 0    x  Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x  t        x Bài 18: Giải phương trình: 3  x    x  24 x  30 0 HD: Ta có: x x  x  30 5 x3  x   x    nên phương trình tương đương  x     x3  24 x   x3  24 x  30 0 Đặt u  x  x  Ta hệ: u  5u   x   u  x  u  ux  x  0  u  x   x  x  u    x  x  0   x  1 x  x  0  x    Vậy x  nghiệm phương trình  x2  x    x  x  3 6 Bài 19: Giải phương trình: HD:  t 2 t  t  1 6    t  Đặt x  x  t Phương trình cho thành 2 Với t 2 x  x  2  x  x 0  x 0 x    21 x  x    x  x  0  x  Với t     21   21  S  1;0; ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình x    x    x  1 1  Bài 20: Giải phương trình: HD:  36 x2  84 x  49   36 x2  84 x  48 12 Biến đổi phương trình thành  t 3 t  t  1 12    t  Đặt t 36 x  84 x  48 phương trình thành Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Với t 3 36 x  84 x  48 3  36 x  84 x  45 0  x  x  2 Với t  36 x  84 x  48   36 x  84 x  52 0 , phương trình vơ nghiệm  3 S  ;    2 Vậy tập nghiệm phương trình Bài 21: Giải phương trình: HD:  x  1 4   x  3 82  y 1  x 0 24 y  48 y  216 82      y   x  Đặt y x  phương trình cho thành S   2;0 Vậy tập nghiệm phương trình cho  x 1  x    x    x  5 10 Bài 22: Giải phương trình: HD: x 1  x   x   x  y x  Đặt phương trình trở thành:  y   x      y  1 10  y  y  0     x    y  S    3;  Vậy tập nghiệm phương trình 2  x  x    x  x   2 x Bài 23: Giải phương trình: HD: Do x 0 khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta được:    y x   x   1  x    2 x  x   x phương trình trở thành Đặt y    x  0   y 0  x  x     y  1  y   2    y   x    x   x  x    x  1  x  8  x   4 x Bài 24: Giải phương trình: HD: Biến đổi phương trình thành:   x    x      x  1  x    4 x   x  x    x  x   4 x Do x 2 không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 8    y x   x     x    4 x x    x phương trình trở thành Đặt  y    y   4  Với y 5 x  y 5 y  15 y  50 0    y 10 5  x  x  0 x (vô nghiệm) Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com  x 5  17   x 5  17 y  10 Với S   17;5  17 Vậy tập nghiệm phương trình x 10  x  10 x  0  x  Bài 25: Giải phương trình: HD:   x  x  1   x  3x  1  x 0 Do x 0 không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta 2 1      x      x     0 y x  x x     x , phương trình trở thành: Đặt   x  x 1    y 1 2   y     y  3  0  y  0   x   x  y  Suy       S  ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình Bài 26: Giải phương trình: 3x  x  x  x  0 HD: Phương trình khơng nhận x 0 nghiệm, chia hai vế cho x :   1 x    1 x     3 x2    x   1   x    0 t x  x  x phương trình trở thành 3t  4t  0 Đặt t 3t  4t  0  t 1 1 1 1  x  x  0  x  x x Với t 1 1  37  37 x    x  x  0  x3  x4  t x 2 Với 1    37  37  S  ; ; ;  2 2    Vậy tập nghiệm phương trình Bài 27: Giải phương trình: x  21x  34 x  105 x  50 0 (1) HD: 105 50 k  k  25  21 Ta thấy nên phương trình phương trình bậc bốn có hệ số đối 25 5 25  1   x    21 x    34 0 t x  t x   10 x x     x suy x xứng tỉ lệ Đặt x t Phương trình trở thành 2t  21t  54 0  t 6 x  6  x  x   x  x  0 x Với t 6 Phương trình có hai nghiệm x1 3  14; x2 3  14 Với x 9 x    x  x  10 0 x Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 10