CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí: Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b Giả sử hàm số x t có đạo hàm liên tục đoạn ; cho a; b a t b với t ; b Khi f x dx f t ' t dt a Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép biến đổi biến số dạng sau: b Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b Để tính f x dx , ta chọn hàm số u u x làm a biến số mới, đoạn a; b , u x có đạo hàm liên tục u x ; Giả sử viết f x g u x u ' x , x a; b , với g u liên tục đoạn ; u b b Khi đó, ta có f x dx g u du a u a 2) Các dạng toán trọng tâm Dạng 1: Đổi biến số với hàm vô tỉ quen thuộc Trong biểu thức f x dx có chứa đặt t Trong biểu thức f x dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f x dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 1: Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số: ln dx a) I x 1 b) I dx x e 1 c) I x xdx d) I x2 Lời giải Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận x 0 t 1 a) Đặt t x t 2 x dx tdt Đổi cận x 4 t 3 3 t dt Khi I dt t 3ln t 3t t 3 1 3 3.ln 3.ln 2 3.ln x x x b) Đặt t e t e 2tdt e dx dx 2t dt t 1 2 x 0 t dt t1 , I ln Đổi cận t 1 t 1 x ln t 2 c) Đặt t x t 1 x 3t dt dx Đổi cận ln 3 2 x 1 t 0 x 9 t dx 2 2 t7 t4 Khi I t t 3t dt t t dt 3 7 4 0 2 468 x 0 t 0 d) Đặt x 2sin t dx 2 cos tdt t 0; Đổi cận x 1 t Khi I 4cos t 4cos t dt dt 2 dt 2t 2cos t 4sin t 0 55 Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho dx a ln b ln c ln11 với a, b, c số hữu tỷ x 9 x 16 Mệnh đề A a b c B a b c C a b 3c Lời giải x 16 t 5 x 55 t 8 Đặt t x t x 2tdt dx Đổi cận 8 D a b 3c 2tdt 2dt t ln Khi I t 3 t t t 9 t 5 1 1 ln ln ln ln ln11 11 3 1 Do a ; b ; c a b c Chọn A 3 dx I a ln b ln c với a, b, c số hữu tỷ, tính tổng x x Ví dụ 3: Cho A a 4b 12c A A B A C A 4 Lời giải Đặt t x t 4 x tdt 2dx Đổi cận Khi I x 6 t 5 x 2 t 3 5 1 tdt tdt dt 2 t 1 (t 1) t 1 (t 1) 3 t ln ln D A 2 dt ln t t 1 3 ln 12 1 a 1; b 1; c 12 12 Do A a 4b 12c 1 Chọn B Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn b Chú ý tính chất: b b f x dx f t dt f u du (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) a a a Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f x dx 12 Tính tích phân I f 3x dx A I 6 B I 36 C I 2 Lời giải Ta có: I f 3x dx D I 4 1 12 3 x f 3x d 3x t f t dt f x dx 4 Chọn D 30 30 30 3 Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục 1; f A I 2 B I 8 x dx 8 Tính I x f x dx C I 4 Lời giải D I 16 x 0 t 1 Đặt t x t x 2tdt dx đổi cận x 3 t 2 Khi I f Ví dụ 3: Cho 2 x dx 2 t f t dt 8 t f t dt 4 f 1 x f x dx 4 Chọn C x dx a f x dx b Tính tích phân I f x dx theo a b x a A I 2b 0 C I 2 a b B I 2a b D I a b Lời giải Ta có: f x dx f x x d 3 x x t 2 f t dt a 2 f t dt 2 a a Do 2 f x dx 2 1 2 a 1 u 2 x f u d u f x dx b Lại có: f x dx f x d x 20 20 20 Do f x dx 2b f x dx f x dx f x dx 2b Chọn A 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn ln f sin 3x cos 3xdx 1 e f e dx 3 x 0 Tính tích phân I f x dx A I 4 Ta có: B I 5 C I 2 Lời giải D I 6 1 1 sin x f sin 3x cos xdx f sin 3x d sin x t f t dt f x dx 1 30 30 30 x f x dx 3 ln ln x 2 x x x x u e f u du f x dx 3 Lại có: e f e dx f e d e 0 1 Do I f x dx f x dx f x dx 3 6 Chọn D 0 16 Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn cot xf sin x dx x dx 1 f x f 4x I dx Tính tích phân x B I A I 3 D I C I 2 Lời giải 4 cos x A cot xf sin x dx f sin x dx sin x f t Đặt t sin x dt 2sin x cos xdx, đổi cận suy A 2t dt 1 16 Mặt khác B f x dx 1 u x x 1 f x dx 2 x 4 f u f u udu B du 1 u u 1 f x dx x 1 4 f 4x f v dv f v f x v 4 x I dx I dv dx A B Xét v v x x Chọn D 1 2 Ví dụ 6: Cho khẳng định sau: (2) sin x dx sin xdx 0 (1) sin x dx sin xdx 0 (3) f x dx f sin x cos xdx 2 0 (4) f x dx 2x f x 1 dx Số khẳng định là: A B 1 C Lời giải D 1 t 1 x Ta có sin x dx sin x d x sin tdt sin tdt sin xdx 0 0 x x x sin dx 2sin d 2 sin udu 2 sin xdx 0 1 1 1 f sin x cos xdx f sin x d sin x f v dv f x dx 20 40 40 40 2 5 x f x 1 dx f x 1 d x 1 f z dz f x dx 1 1 Số khẳng định Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn x2 f x dx b f tan x dx a x 1 Tính tích phân I f x dx theo a b A I a b a C I b Lời giải B I a b D I a b x 0 t 0 Đặt x tan t dx dt Đổi cận cos t x 1 t Khi x f x x Suy f tan x dx tan f tan x dx cos x tan t f tan t dx dt tan t f tan t dt tan x f tan x dx b 1 tan t cos t 0 0 x f tan x dx tan x f tan x dx 1 f tan x d tan x f u du f x dx 0 Do I f x dx a b Chọn A Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f x liên tục đoạn a; a Chứng minh rằng: a a) a f x dx 2f x dx a f x hàm số chẵn a b) f x dx 0 f x hàm số lẻ a Lời giải a) Hàm số f x hàm chẵn f x f x 0 a a 0 a t x f x d x f t dt f x dx f x dx Ta có: f x dx a a a a a Do f x dx f x dx f x dx 2f x dx a a 0 b) Hàm số f x hàm lẻ f x f x Ta có: a a f x dx t x f x dx f x d x a a a a a a a f t dt f x dx a a a Do f x dx 0 a f x dx 0 a Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f x f x cos x , x 3 Tính I f x dx 3 A I B I 0 C I Lời giải Lấy tích phân vế f x f x cos x cận từ 3 3 3 f x dx f x dx 3 3 D I 6 3 3 ta có: 2 3 2 cos xdx 2 3 cos x dx 12 (Sử dụng máy tính Casio) 3 3 3 t 2 Đặt t x dt dx đổi cận 3 3 x t 2 x 3 Khi 3 3 f x dx f t dt f t dt f x dx 3 3 Suy 3 3 3 f x dx f x dx 2I 12 I 6 3 Cách 2: Vì 3 2 cos x cos x ta chọn f x 3 Sau sử dụng Casio để bấm I 3 2 2cos x 2 cos x dx Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định liên tục , thỏa mãn f x f x cos x, x Khi I f x dx bằng: A B C D Lời giải Lấy tích phân vế f x f x cos x , x cận từ ta có: 6 f x dx f x dx cos xdx cos xd x sin x 6 x , t Đặt t x dt dx x , t 6 6 f x dx f t dt f t dt f x dx Suy f x dx f x dx 2 f x dx f x dx Chọn D cos x Cách 2: Vì cos x cos x ta chọn f x cos x dx Ví dụ 3: Cho hàm số y= f x liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f x f x 3x, x Tính tích phân I f x dx A I C I Lời giải B I 1 Cách 1: Ta có f x f x 3x 1 f x dx 2f x dx 3xdx x 0 x 0, t 1 Đặt t 1 x dt dx x 1, t 0 1 D I 2 1 f x dx f t dt f t dt f x dx Suy f x dx f x dx 3f x dx 0 1 1 f x dx I Chọn C Cách 2: Ta có f x f x 3x f x f x 3 x 3 3x (1) f x f x 3 x , lấy 1 , ta Khi f x f x 3 x f x 2 x 3x f x 2 x 1 3x I f x dx x dx x Vậy 0 1 Chọn C 2 Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f x f x x , x Tính I f x dx 1 A I B I 1 D I C I 2 Lời giải Ta có f x f x x 1 1 x 1, t 1 Đặt t x dt dx x 1, t 1 1 f x f x dx x dx 1 f x dx f x dx x dx 1 1 1 1 1 f x dx f t dt f t dt f x dx 1 1 x3 Suy f x dx f x dx x dx f x dx 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f x dx 3 Chọn D 1 Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục số thực a dương Biết với x 0; a f x a dx f x f a x 1 Tính I 1 f x a A I B I 2a D I C I a a Lời giải Ta có: f x f a x 1 f x f a x 1 f a x f a x 1 f x 1 f a x a a f a x dx I dx Lấy tích phân vế ta có: f x f a x 0 a a a a 1 f a x f t f t dt dx dt dt dt Đặt t a x dt dx f a x 1 f t 1 f t 1 f t a 0 a a dx a a f x Khi I a I I Chọn A a dx x Cách 2: Vì f x f a x 1 ta chọn f x 1 f a x 1 I 2 a a