I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 17: BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU  Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu Phương pháp giải: 2  Phương trình tắc mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c  R 2 2  Phương trình tổng quát mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d với tâm I  a; b; c  bán kính R  a  b2  c  d Chú ý: - Nếu A, B thuộc mặt cầu  S   IA IB R     OB  OA2 - Nếu IA IB ta có: AB.OI OB  OA2  AB.OI       2 Chứng minh: Ta có: IA IB  IA2 IB  IA IB  IO  OA  IO  OB         OB  OA2  IO OB  OA OB  OA2  AB.OI    - Với toán: Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D ta làm sau: Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu thì: IA IB IC ID I  x; y; z  nghiệm hệ phương trình:   OB  OA2 AB OI     IA IB   OC  OA2   IA  IC  AC OI    CASIO suy tọa độ điểm I    IA ID     OD  OA2  AD.OI   Trong O  0;0;0  gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy tọa độ điểm I Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu  S  biết: a) Tâm I thuộc Oy, qua A  1;1;3 ; B   1;3;3 b) Tâm I thuộc Oz, qua A  2;1;1 ; B  4;  1;  1 Lời giải 2 a) Gọi I  0; y;0  ta có: IA2 IB    y  1  1   y  3   y 2  R IA  14 Suy  S  : x   y    z 14 b) Gọi I  0;0; z  ta có: IA2 IB     z  1 16    z  1  z  12  z   I  0;0;  3 ; R  21 2 Phương trình mặt cầu  S  : x  y   z  3 21 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu  S  biết:  x 1  t  a) Tâm I thuộc d :  y t qua A  3;0;  1 ; B  1; 4;1  z 2t  b) Tâm I thuộc d : x y z   qua A  3;6;  1 ; B  5; 4;  3 1 Lời giải a) Gọi I   t ; t ; 2t  tâm mặt cầu ta có: 2 IA2 IB   t    t   2t  1 t   t     2t  1   12t  12  t 1  I  2;1;   R  11 2 Phương trình mặt cầu là:  x     y  1   z   11 b) Gọi I   t ;1  t ; 2t  tâm mặt cầu ta có: 2 2 IA2 IB   t  1   t  5   2t  1  t  3   t  3   2t     16t 0  t 0  I  2;1;0   R 3 2 Phương trình mặt cầu là:  x     y  1  z 27 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu  S  biết  S  a) Đi qua điểm A  2; 4;  1 ; B  1;  4;  1 ; C  2; 4;3 ; D  2; 2;  1 b) Đi qua điểm A  3;3;0  ; B  3;0;3 ; C  0;3;3  ; D  3;3;   Lời giải   OB  OA2 AB OI      OC  OA2  Áp dụng: IA IB IC ID I  x; y; z  nghiệm hệ phương trình:  AC.OI     OD  OA2 AD OI      OB  OA2 AB OI   45   x     IA IB  OC  OA2    IA  IC  AC OI   z  I x ; y ; z  tâm mặt cầu ta có:  a) Gọi     IA ID   y 3     OD  OA2   AD.OI   45  2421 2  Phương trình mặt cầu:  x     y  3   z  1      0;  3;3  x; y; z  0  b) Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu ta có:   3;0;3  x; y; z  0    0;0;  3  x; y; z    2   x     y     z   3 2 3  3   171  Phương trình mặt cầu:  x     y     z    2  2  2  Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu  S  biết a)  S  qua A  2;0;1 ; B  1;0;0  ; C  1;1;1 I   P  : x  y  z  0 b)  S qua A   2; 4;1 ; B  3;1;  3 ; C   5;0;0  I   P  : x  y  z  0 Lời giải Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu   OB  OA2  AB.OI    1;0;  1  x; y; z       OC  OA2     1;1;0   x; y; z    a) Ta có:  AC.OI    x  y  z 2   x  y  z  0    x 1   y 0  z 1  Khi  S  :  x  1  y   z  1 1   OB  OA2  AB.OI   5;  3;    x; y; z       OC  OA2     3;  4;  1  x; y; z  2  b) Ta có:  AC.OI    x  y  z    x  y  z  0   2  x 1   y   z 3  Khi  S  :  x  1   y     z  3 49 Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu qua ba điểm M  2;3;3 ; N  2;  1;  1 ; P   2;  1;3 có tâm thuộc mặt phẳng:    : 2x  3y  z  0 A x  y  x  y  z  10 0 B x  y  z  x  y  z  0 C x  y  z  x  y  z  0 D x  y  z  x  y  z  0 Lời giải Giả sử mặt cầu có tâm I  x; y; z    ON  OM MN OI    0;  4;    x; y; z       OP  OM     4;  4;0   x; y; z    Ta có:  MP.OI    x  y  z    x  y  z  0   2  x 2   y   z 3  Phương trình mặt cầu là:  x     y  1   z  3 16 hay x  y  z  x  y  z  0 Chọn B Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;  4;0  , B  0;0;  , C   1;0;3 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A x  y  z  x  y  z 0 B x  y  z  x  y  z 0 C x  y  z  x  y  z 0 D x  y  z  x  y  z 0 Lời giải   OA2 OI OA    2;  4;0   x; y; z  10     OB    0;0;   x; y; z  8  Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu ta có: OI OI        1;0;3  x; y; z  5  OC OC.OI   2  x 1   y   z 2  Phương trình mặt cầu là:  x  1   y     z   9 hay x  y  z  x  y  z 0 Chọn D Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A  3; 2;  3 ; B   1;  2;1 mặt phẳng  P  : x  y  z 0 Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I thuộc  P  qua A, B cho tam giác OIA vuông gốc tọa độ O 2 B  S  :  x     y     z  1 84 2 D  S  :  x     y     z  1 42 A  S  :  x     y     z  1 84 C  S  :  x     y     z  1 42 Lời giải Phương trình mặt phẳng trung trực AB là:  Q  : x  y  z  0  x t  Gọi d  P    Q   d  y 1  t  I  t ;1  t ;  1  z   2 2 2  Ta có: OI OA 0  3t   2t  0  t   I   5;6;  1 2 Vậy PT mặt cầu  S  :  x     y     z  1 84 Chọn A Ví dụ 8: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu qua điểm A  3;1;1 ; B  0;1;  ;C   1;  3;1 có tâm thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z  0 là: 2 B  x  1   y  1   z   9 2 D  x  1   y  1   z   81 A  x  1   y  1   z   9 C  x  1   y  1   z   81 2 2 2 Lời giải Gọi I  x; y; z  tâm mặt cầu   OB  OA2  AB.OI    3;0;3  x; y; z  3     OC  OA2     4;  4;0   x; y; z  0  Ta có:  AC.OI    x  y  z    x  y  z  0   2  x 1   y   z 2  Khi phương trình mặt cầu là:  x  1   y  1   z   9 Chọn A Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng  P  : x  y  z  0 cắt trục Oz đường thẳng d : x y z   A B Phương trình mặt cầu đường kính AB 1 2 B  x     y  1   z   36 2 D  x     y  1   z   9 A  x     y  1   z   9 C  x     y  1   z   36 2 2 2 Lời giải Ta có A  Oz  A  0;0; a  mà A   P   2.0  6.0  a  0  a 3  A  0;0;3   x 5  t  Lại có d :  y 2t  t    mà B  d  B  t  5; 2t ;6  t   z 6  t  Hơn B   P    t  5  6.2t    t   0  13t  13 0  t   B  4;  2;  Mặt cầu đường kính AB có tâm I trung điểm AB  I  2;  1;5  Mặt cầu đường kính AB có bán kính R  AB  2 2 Mà AB  4;  2;   AB  42      6  R 3   S  :  x     y  1   z   9 Chọn A  Dạng 2: Bài tốn mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Có hai đặc điểm quan trọng toán trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu  Điều kiện tiếp xúc d  I ;  P   R  Tâm I nằm đường thẳng  qua điểm tiếp xúc vng góc với mặt phẳng  P  Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc  P  : x  y  z  0 điểm M  1;  2;3 qua A   1;0;1 Lời giải Do  S  tiếp xúc với  P  M  1;  2;3 nên IM   P   IM qua M  1;  2;3 có vectơ phương  x 1  3t    u n P   3;1;1 suy IM :  y   t  z 3  t  2 Gọi I   3t ;   t;3  t  Ta có IM IA2  11t  3t     t     t    12t  12 0  t  2 Suy I   2;  3;  ; R IA  11   S  :  x     y  3   z   11 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc  P  : x  y  z  10 0 điểm M  2;  3;   qua A  0;1;  Lời giải Do  S  tiếp xúc với  P M  2;  3;   nên IM   P   IM qua M  2;  3;   có vectơ  x 2  t    phương u n P   1; 2;3 suy IM :  y   2t  z   3t  2 Gọi I   t ;   2t ;   3t  Ta có IM IA2  14t  t     2t     3t    36  36t 0  t 1  I  3;  1;1 ; R IA  14 2 Phương trình mặt cầu  S  :  x  3   y  1   z  1 14 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I   1; 2;  1 tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  y  z  0 ? 2 B  x  1   y     z  1 9 2 D  x  1   y     z  1 9 A  x  1   y     z  1 3 C  x  1   y     z  1 3 2 2 2 Lời giải Bán kính mặt cầu tâm I là: R d  I ;  P      1    1  3 Do phương trình mặt cầu là:  x  1   y     z  1 9 Chọn D Ví dụ 4: Có mặt phẳng song song với mặt phẳng    : x  y  z 0 đồng thời tiếp xúc với mặt 2 cầu  S  : x  y  z  x  y  z 0 ? A B C vô số Lời giải D Mặt cầu có tâm I  1;1;1 ; R  Mặt phẳng cầm tìm có dạng  P  : x  y  z  m 0  Do  P  / /     m 0  Điều kiện tiếp xúc: d  I ;  P   R   m 0  loai   3  Chọn A  m  m 3  x t  Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  hai mặt phẳng  z  t   P  : x  y  z  0  Q  : x  y  z  0 Phương trình mặt cầu  S  có I  d tiếp xúc với hai mặt phẳng  P   Q  có phương trình là: 2 A  x  3   y  1   z  3  4 2 B  x  3   y  1   z  3  9 2 C  x  3   y  1   z  3  4 2 D  x  3   y  1   z  3  Lời giải Gọi I  t ;  1;  t   d ,  S  tiếp xúc với mặt phẳng  P   Q  nên: d  I ;  P   d  I ;  Q   R  1 t 5 t   t 3  R  3 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là:  x  3   y  1   z  3  Chọn B Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  P  : x  y  z  0 Phương trình mặt cầu  S  x  y 1 z   mặt phẳng 1 có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với  P  qua điểm A  1;  1;1 là: 2 B  x  1   y  1  z 4 2 D  x  1   y  1  z 4 A  x  1   y  1  z 1 C  x  1   y  1  z 1 2 2 Lời giải Do I  d ta gọi I   3t ;   t ; t  IA d  I ;  P   R  t 0  R 1 5t  2  11t  2t   R   11t  2t  t   5t  3    t  24  R  77 37 37  2 Do  S  có bán kính nhỏ nên ta chọn t 0; R 1  I  1;  1;1   S  :  x  1   y  1  z 1 Chọn A Ví dụ 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  qua điểm A  2;  2;5  tiếp xúc với mặt phẳng    : x 1;    : y  1;    : z 1 Bán kính mặt cầu  S bằng: A 33 B C Lời giải D Gọi I  a; b; c  ta có: d  I ;     d  I ;     d  I ;     suy R  a   b   c  Do điểm A  2;  2;5  thuộc miền x  1; y   1; z  nên I  a; b; c  thuộc miền x  1; y   1; z  2 2 Khi I  R  1;   R; R  1 Mặt khác IA R   R  1   R  1   R   R  R 3 Chọn D  Dạng 3: Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp giải:  Mặt cầu  S  có tâm I bán kính R cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến đường trịn bán kính r 2 d  I ;  P    R Khi d  I ;  P    r R  Tâm đường tròn giao tuyến  S   P  hình chiếu vng góc xủa điểm I mặt phẳng  P  Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho I  1; 2;    P  : x  y  z  0 Lập phương trình mặt cầu  S  có tâm I cho giao tuyến  S   P  đường trịn có chu vi 8 Lời giải Do chu vi đường tròn giao tuyến C 2 r 8r  r 4 Ta có: d  I ;  P    Bán kính mặt cầu R  r  d  42  32 5 4  5  1 3 2 Phương trình mặt cầu là:  S  :  x  1   y     z   25 2 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng    : x  y  z  0 mặt cầu  S  :  x  1  y   z   9 Lập phương trình mặt phẳng  P  song song với    cắt  S  theo giao tuyến đường trịn có diện tích 6 Lời giải 2 Mặt cầu  S  :  x  1  y   z   9 có tâm I  1;0;   bán kính R 3 Do diện tích đường trịn giao tuyến S  r 6  r   d  I ;  P    R  r  Mặt phẳng  P  song song với      P  : x  y  z  D 0 Ta có: d  I ;  P    1  D  D 0  3   D  Do  P  : x  y  z 0 x  y  z  0 Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y z   mặt cầu 2  S  : x  y  z  x  y  z  19 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt phẳng qua M vng góc với d cắt mặt cầu  S  theo đường trịn có chu vi 8 Lời giải Mặt cầu  S  có tâm I  1;  1;  , bán kính R 5 Do C 2 r  r 4 mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt  S  theo đường trịn có bán kính  VTCP d ud  2;1;   M  d    2t ;  t;1  t  Phương trình mặt phẳng  P  có dạng  x   2t    y   t    z   2t  0 Hay x  y  z  9t  0 2 Ta có: d  I ;  P    R  r 3  9t  3   t 0  t   Từ suy M  3; 2;1 , M   1;0;5  điểm cần tìm 2 Ví dụ 4: Trong khơng gian cho mặt cầu có phương trình  S  :  x  3   y     z   4 mặt phẳng  P : x  y  z  0 Biết mặt cầu  S  cắt mặt phẳng  P  theo đường trịn  C  Tính chu vi đường trịn  C  A 8 B 4 C 2 Lời giải D 4 Mặt cầu  S  có tâm I   3;5;7  bán kính R 2 Khoảng cách từ tâm I đến  P  là: d   3 57 4  Bán kính đường trịn  C  là: r  R  d   1 Chu vi đường tròn  C  là: C 2 r 2 Chọn C 2 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  0 Viết phương trình mặt phẳng    chứa trục Oy cắt mặt cầu  S  theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A 3x  z 0 B 3x  z  0 2 C 3x  z 0 Lời giải D x  z 0 Ta có:  S  :  x  1   y     z   16   S  có tâm I  1; 2;3 bán kính R 4 Bán kính đường trịn là: r  C 4 R  đường tròn qua tâm mặt cầu  S  2  Vtcp Oy u  0;1;0  , điểm A  0;1;0   Oy    Ta có: IA  1;1;3  n  IA; u    3;0;1 Mặt phẳng    : 3x     qua O nhận n làm vtpt suy phương trình mặt phẳng là: z 0 Chọn C Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu Δ:    S có tâm I thuộc đường thẳng x y 3 z   Biết mặt cầu  S  có bán kính 2 cắt mặt phẳng  Oxz  theo đường 1 trịn có bán kính Tìm tọa độ tâm I A I  1;  2;  ; I  5; 2;10  B I  1;  2;  ; I  0;  3;0  C I  5; 2;10  ; I  0;  3;0  D I  1;  2;  ; I   1; 2;   Lời giải Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  Oxz  d  R  r   2  t 5  Điểm I  d suy I  t ; t  3; 2t   d  I ;  P    t  2    t 1  I  5; 2;10  Chọn A   I  1;  2;  Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S  0;0;1 Hai điểm M  m;0;0  ; N  0; n;0  thay đổi cho m  n 1 m  0; n  Biết mặt phẳng  SMN  tiếp xúc với mặt cầu cố định Bán kính mặt cầu bằng: R  A R  B R 2 D R  C R 1 Lời giải Phương trình mặt phẳng  SMN  theo đoạn chắn là: Ta có: d d  P;  SMN   x y   z 1 Gọi P  x0 ; y0 ; z0  m n x0 y0   z0  m n  1  1 m2 n2 2 1 2  1  mn      Lại có              1     m n  m n  mn  mn  mn  mn  mn  mn  x0 y0   z0  m n d Ta chọn 1 mn mn  x0 1 1  mn 1 với m  0; n   y0 1  d   z 0 1  mn Do mặt cầu cần tìm mặt cầu tâm P0  1;1;0  bán kính R 1 Chọn C  Dạng 4: Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng Phương pháp giải: Xét tương giao mặt cầu  S  có tâm I bán kính R đường thẳng  ta có:   tiếp xúc với mặt cầu  S   d  I ;Δ  R   cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt A, B d  I ;Δ   R hình chiếu vng góc điểm I  AB   trung điểm AB d  I ;Δ     R   Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu tâm I  2;3;  1 cắt đường thẳng  x 1  2t  d :  y   t A, B với AB 16  z  15  2t  Lời giải   Đường thẳng d qua điểm M  1;  5;  15  có vtcp ud  2;1;   ; IM   1;  8;  14     IM ; ud   30;  30;  15  AB     2  15  R  d   Khi d  I ; d     15  17 2;1;    ud 2 Do phương trình mặt cầu cần tìm là:  x     y  3   z  1 289  x 1  t  Ví dụ 2: Cho đường thẳng d :  y   t ,  P  : x  y  z  0 Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với  z    P M  1;0;   cắt d A, B cho AB 2 Lời giải  Đường thẳng d qua E  1;  2;   có vectơ phương ud  1;  1;0   x 1  t  Gọi I tâm mặt cầu suy đường thẳng IM   P   IM :  y t  z   t   AB  2 Khi gọi I   t ; t ;   t   d  I ; d     R  d  I ; d   IM      IE; ud    t;  t; 2t   6t  8t      Trong d  I ; d    IM 3t 2 ud 2 Suy 3t  4t   3t  t   I  0;  1;   ; R IM  2 Phương trình mặt cầu  S  là: x   y  1   z  3 3 Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z    điểm I  2;1;0  Viết 1 phương trình mặt cầu  S  tâm I cắt d điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vuông Lời giải  Ta có: ud  1; 2;  1 , gọi H trung điểm AB ta có: IH  AB   Khi H    t ; 2t ;1  t   IH    t ; 2t  1;1  t   IH u d 0    t  4t   t  0  t 1  H  0; 2;0  Tam giác IAB vuông cân I nên ta có: R  IH    10 2 Do phương trình mặt cầu  S  cần tìm là:  x     y  1  z 10 Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  S  : x  y  z  x  y 0 Viết phương trình đường thẳng x y z   mặt cầu 1 Δ qua M  1;  1;0  cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu  S  A, B cho AB 4 Lời giải   Ta có: I  1;  2;0  , R  Gọi N   t ;3  2t ;1  t  Ta có: uΔ MN   t ;  2t ;1  t   AB  2 Mặt khác    d  I ;Δ  R  d  I ;Δ  1     IM ; MN  2t     d  I ;Δ    1  4t  16t  16 0  t  2 t  16 t  18 MN  x 1  3t  Với t   Δ:  y  đường thẳng cần tìm  z  t  Ví dụ 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Δ1 :  P  : x  y  z  10 0 đường thẳng x y z x  y z 3     Δ : Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm thuộc Δ1 đồng thời 1 1 tiếp xúc với Δ  P  Lời giải  Gọi I   t ; t ; t  1  Δ1 tâm mặt cầu Δ xác định qua M  2;0;  3 , uΔ2  1;1;  Ta có: d  I ;Δ  d  I ;  P   Khi d  I ;  P     IM   t ;  t ;   t   d  I ;Δ  Cho  t  2t    t   10 1    IM ; uΔ   3t   3t    2     16 uΔ2  10  3t 10  3t 3t   13 10    t  I ; ;  3  3 3 2 13   7  10   Vậy phương trình mặt cầu  S  :  x     y     z   1 3  3  3  Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A   2;  4;5  Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A cắt trục Oz hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông 2 B  x     y     z   82 2 D  x     y     z   90 A  x     y     z   40 C  x     y     z   58 2 2 2 Lời giải Gọi H  0;0;5  hình chiếu vng góc A xuống trục Oz Khi tam giác OHB vuông cân H suy OH  2 R  R OH 2 10 Suy  S  :  x     y     z   40 Chọn A Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x  y  z 1   điểm I  2;  1;1 2 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I 2 B  x     y  1   z  1 9 2 D  x     y  1   z  1  A  x     y  1   z  1 9 C  x     y  1   z  1 8 2 2 2 80 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d  H  2t  2; 2t  1;  t  1 Đường thẳng d có    1 vecto pháp tuyến ud  2; 2;  1 Sử dụng IH ud 0  t   H  ;  ;    IH 2  3 3   IM ; ud     2 Hoặc ta có IH d  I ; d   ud Tam giác IAB vuông cân I nên R IA  2.IH 2 2 Suy phương trình mặt cầu là:  x     y  1   z  1 8 Chọn C  x t  x 5  2t   Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y   t ; Δ :  y 1  t mặt  z 2  t  z   t   phẳng  P  : x  y  z  0 Mặt cầu  S  có tâm I thuộc d, tiếp xúc với Δ  P  Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A B C 4 Lời giải D 2 Gọi I  t ;   t ;  t  tâm mặt cầu R bán kính mặt cầu  S  Ta có R d  I ;  P    t  3   t     t   12  32    1  5t  21 11  1  Điểm A  5;1;  1   Δ   AI  t  5; t  7;3  t  suy VTCP Δ u  2;1;  1   u; AI  2t  20t  98    Mặt khác R d  I ;  Δ      2 u Từ (1), (2) ta 5t  21 11  2t  20t  98  t 2  xI 2  yI  Chọn C Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1 2   y  1   z  1 9 điểm A  2;3;  1 Xét điểm M thuộc  S  cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A x  y  11 0 B 3x  y  0 C 3x  y  0 Lời giải D x  y  11 0 Mặt cầu  S  có tâm I   1;  1;  1 , bán kính R 3  Ta có: IA  3; 4;0   IA 5 Vì AM tiếp tuyến mặt cầu nên ta có: AM  IM  AM  IA2  IM 4 Gọi  S  mặt cầu tâm A, bán kính R 4 2 Ta có phương trình mặt cầu  S  :  x     y  3   z  1 16 Vì AM 4 nên điểm M ln thuộc mặt cầu  S  Vậy M   S    S   tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x  1   y  1   z 1 9  1  2    x  y  11  hay M   P  : 3x  y  0 Chọn C  2 x   y   z   16        