Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
461,66 KB
Nội dung
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN KẸP CỦA DÃY SỐ Kiều Đình Minh Trường THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Kieudinhminh14@yahoo.com.vn Định lý giới hạn kẹp (SLT: Sandwich Limit Theorem) định lý bản, quan trọng hay Giải tích SLT cho phép tìm giới hạn dãy số cách gián tiếp Trong giảng nêu số kỹ thuật tình sử dụng SLT thường gặp Hy vọng giảng giúp đỡ bạn áp dụng thành thạo SLT giải toán để chuẩn bị tốt cho kỳ thi Olympic tới Định lý giới hạn kẹp (SLT) Cho ba dãy số an , bn , cn Nếu an bn cn , n lim an lim cn L lim bn L Hệ quả: Nếu an bn , n lim bn lim an Hệ thường sử dụng dùng định nghĩa giới hạn dãy định lý Lagrange với hàm co Định lý tương đương Cho ba dãy số an , bn , cn thoả mãn an bn cn , n Khi điều kiện sau tương đương: i lim an lim cn L ii lim cn an lim bn L iii lim an lim bn lim cn L Một số kết hay dùng Nếu n * , n lim n n Cho a , lim n a Nếu q lim q n Tiếp theo tìm hiểu số kỹ thuật sử dụng SLT hay gặp Nói chúng cách phân chia dạng tương đối mà I KỸ THUẬT LÀM TRỘI Thí dụ ( KSTN TST, ĐHBK HN 2012) Tính giới hạn I lim n n 2012 2012n Lời giải Ta có n n2012 2012n n n2012 n2012 n n2013 n n 2013 Mà lim n n nên I Thí dụ (Olympic Sinh Viên (VMC) 2003) Cho dãy xk : xk k 2! 3! 4! k 1! n Tìm giới hạn J lim n x1n x2n x2003 Lời giải Dễ thấy xk đơn điệu tăng Từ đẳng thức k 1 ta có xk k 1! k ! k 1! k 1! n n n n Ta có x2003 x1n x2n x2003 2003 x2003 x2003 n x1n x2n x2003 n 2003.x2003 2004! Thí dụ Cho Xét dãy số dương an : a1 0, an a1 a2 an1, n Chứng minh n Suy J lim n x1n x2n x2003 x2003 a dãy n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n Lời a n1 giải Nhận a an an a n 1 n 1 a Ta có n1 n 1 xét 1 an1 a 1 n a n 1 1 an dãy 1 a 1 n 1 a 1 n đơn điệu tăng Do 1, n Suy an11 a2 1 n 1 n 1 a2 1 Vì lim n 1 n 1 0,lim n 1 1 n 1 nên theo SLT ta 1 a lim n 1 n 1 hay lim an n Thí dụ Cho a Chứng minh lim an n! Lời giải Chọn m * cho m a Ta có m a a a a a a a an 0 n! m m n m! m an an theo SLT lim lim n! n! n m m m 1 a m! m n m Mà a lim m 1 n m 0 nên Nhận xét: Ta nói n! trội a n 4n 10 4n n n n n 4k 4k 4k 4k Lời giải Ta có an Đặt bn ; cn ; dn k 4k k 0 k k 4k k 0 k 4k 4k 4k 4k Dễ thấy , k Suy an bn cn d n 4k 4k k 4k 1 Do an4 anbncnd n an Áp dụng SLT ta lim an 4n 4n 2n Thí dụ (ĐHSPHN TST 2011) Cho dãy số an : a1 1, an an1 , n Đặt 2n Thí dụ Tính giới hạn dãy số an n bn , n i 1 Chứng minh bn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Ta có 2nan 2n 3 an1 an1 n 1 an1 nan , n Do n n bn iai i 1 1 1 n 1 an 1 Lại có i 1 i 1 an 12.32.52 2n 2n 2n 3 2n 5 5.3 a an 1 n 2 2 2n 2n 2n 4.2 1 1 2n 4n 2n 1 4n an 2n 2n Suy 1 n 1 an 1 bn Theo SLT, ta có lim bn 2n Nhận xét: Có thể chứng minh quy nạp nan , n n Bài tập tương tự Tìm giới hạn lim n sin n Tính lim n n n Cho un : u1 u2 1, un1 4un 5un1, n Chứng minh với a ta có lim un an n Giả sử Sn C33nk Tìm lim 3n Sn k 0 Cho dãy số dương an thoả mãn an31 a1 a2 an , n Chứng minh với a ta ln có lim n n (Kiều Đình Minh) Cho dãy số an xác định a0 4n an1 an , n Đặt 4n n b bn Tính giới hạn lim n n n i 0 II SỬ DỤNG TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG KHƠNG ÂM Thí dụ Giả sử a, b, c cho b2 4ac un , hai dãy thoả mãn aun2 bun cvn2 , n Chứng minh un 0, , n 4ac b2 bv Lời giải Ta có a au bunvn cv aun n Vì b 4ac suy bv 2 0 aun n a aun bu nvn cvn 0 ac b v a au bu v cv n n n n n Theo SLT ta có un 0, n n n Thí dụ (30/4/2012 Shortlist) Cho hai dãy số un , xác định bởi: u1 2011, v1 2012 1 u v 1 u v un1 2n n sin un ; vn1 2n n un cos un Tính giới hạn hai dãy cho Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có 2 vn2 un un2 vn2 1 u n2 vn2 u sin un un sin u n 2 4 16 1 un u n2 1 2 vn1 u n cos u n cos un2 vn2 un2 vn2 2 u 1 4 un 16 n a2 Do bất đẳng thức 2 a 1 Từ suy a 1 n1 un21 vn21 2 un lim un2 vn2 lim un lim Bài tập tương tự (Kiều Đình Minh) Cho ba dãy số an , bn , cn xác định sau: a0 24, b0 11, c0 2013 1 an an1 bn 1 cn1 1 bn an 1 bn 1 cn 1 n 1 cn an1 bn1 cn1 Tìm giới hạn dãy cho III SỬ DỤNG HỆ QUẢ SLT VÀ ĐỊNH NGHĨA Thí dụ (Canada MO 1985) Cho dãy số xn : x1 1; , xn1 xn xn2 , n Chứng minh xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Dễ thấy xn 0, n Giả sử xn có giới hạn a a a a a2 a 2 Ta chứng minh lim xn Thật vậy, ta có xn1 xn xn2 xn 2 xn 2 Bằng quy nạp ta xn , n Suy 1 2 xn 2 q 1 2 Như xn1 q xn q n x1 0, n lim xn Thí dụ 10 (T11/422 THTT) Cho dãy số un xác định u0 a 0;2 ; un un21 , n 1,2, n Tìm giới hạn lim un n Lời giải Ta ln tìm số hạng thứ k dãy mà uk 1;1 Thật vậy, a 0;1 u0 a 0;1 1;1 Xét trường hợp a 1;2 , tức u0 1;2 Nếu xảy un21 , suy un 1, n n n 1 k uk k , tức , k 1, 2, , n n k uk 1 k trường hợp un 1;1 từ hệ thức un Để ý n un n un1 n un 1 n Nhân theo vế n bất đẳng thức với k 1, 2, , n ta thu n un n 1 n n 1 n n n u0 un n u0 u0 2 n 1 Điều khơng thể, n đủ lớn n u0 vế trái số dương vế phải số u0 âm Vậy tồn k cho uk 1;1 Khi theo hệ thức un un21 , suy n 1 un , n k Do un n , n k Suy lim un n n n Bài tập tương tự xn2 1, n 1, 2, Tìm giới hạn lim xn 1 3 Cho dãy số un : u1 1; un1 un , n 1, 2, Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn 2 un 1.Cho dãy số xn : x1 ; xn1 tìm giới hạn (VMO 2012) Cho dãy số xn : x1 3; xn n2 xn1 , n Chứng minh dãy số 3n xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn IV SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN n c Thí dụ 11 Chứng minh lim 1, c n n Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bernulli: 1 a na, a 1;1 , n (Chứng minh quy nạp) Khi n lớn n c c , ta có n2 n n c c c c 1 n n n n n n n c c 1 Mặt khác 1 1 n n n n n c n c n2 c n c n c n c nc c Ta có lim lim 1 Theo SLT, ta lim 1, c n n n c Nhận xét: Kết c không số mà đại lượng bị chặn Chẳng n bn b hạn với c lim 1 an n a n n k Thí dụ 12 Tính giới hạn lim 1 n k 1 x x 1 x , x Ta có x 2 1 x 1 x x x 2x bất đẳng thức x , suy x 1 x 1 x x 2x x k Tóm lại ta có x , x * Áp dụng * thay x ta 4 x n k 2 n n n n n n n 1 k 2k k n k 1 2 2 k 1 2n k n n k n 4n k 1 k 1 k k 4 n Lời giải Áp dụng AM – GM có x n n n k 2k k2 k n n 1 n 1 , suy 2 2 48n k 1 2n k 1 4n k k 1 2n 4n k k 1 8n n Ta có n n n n 1 2k k k lim lim Theo SLT lim 1 2 4n n k 1 4n k k 1 n k 1 n lim Nhận xét: 1) Có thể dùng bất đẳng thức TBĐH, TBN, TBC, ta x 1 x 1 x 1 x , x 1 ** 2 x 2 1 1 x 2x x x2 2) Ta có 0, x nên * chặt ** x x x x 1 Thí dụ 13 Cho a Xác định dãy số xn : x0 a, xn1 xn x , n Tìm giới hạn lim n xn n Lời giải Ta có x k 1 1 xk xk3 xk3 , suy xn3 x03 3n, n 1(1) xk xk xk Từ 1 suy xk31 xk3 n1 1 1 n1 3 x x x n k n x03 3k x3 3k k 9k k 1 k k 1 k n 1 n xn3 x13 3n k 1 k k 1 k n 1 1 Ta có 3 1.2 2.3 n n 1 n k 1 k n 1 n n 1 Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta n 2n 2n k k k k 1 k 1 k 1 Từ 1 , , 3 suy x03 x3 x 2 n 3 n n n n 9n Chuyển qua giới hạn n , theo SLT ta lim xn3 x lim n 3 n n Bài tập tương tự , n Tìm số thực p cho dãy un (VN TST 1993) Cho dãy số un : u1 1, un1 un up số n , n có giới hạn khác khơng n n 2k k 1 n c Cho số thực c thoả mãn c Tìm giới hạn dãy số un n Cho số thực x Chứng minh lim n x 1 x V SỬ DỤNG QUY NẠP Thí dụ 14 (IMC 2011) Cho dãy số an : an 1, n Xác định dãy xn x0 a0 , xn1 an1 xn , n an1 xn Chứng minh xn hội tụ tìm giới hạn dãy 1 x0 a0 x0 Ta chứng minh quy nạp xn n 1 Thật 2 vậy, giả sử xn n1 Ta có 1 a x an 1xn an1 xn an 1 an1 nên xn1 n 1 n 1 xn Vì an1 xn an1 xn an 1 xn an1 xn 1 1 xn1 1 xn n 1 n 2 Theo SLT, ta có lim xn 1 lim xn 2 2 Thí dụ 15 (VMC 2005) Cho dãy số xn : x1 5, xn1 xn2 2, n 1, 2, Tìm giới hạn Lời giải Ta có lim xn1 x1x2 xn Lời giải Theo giả thiết ta có xn21 xn2 xn4 xn2 xn2 xn2 xn2 xn21 xn21 xn2 xn21 x12 x12 21 x1x2 xn Suy xn1 21 x1x2 xn x1x2 xn Bằng quy nạp ta xn 2, n , suy x1x2 xn 2n , n x1x2 xn , theo 4n SLT ta có xn1 xn1 lim 21 21 lim x1x2 xn x1x2 xn Bài tập tương tự (VMC 2001) Cho số p 0, q 0, p q dãy an không âm thoả mãn an2 pan1 qan , n 1, 2, Chứng minh an hội tụ tìm giới hạn 1 , un1 un n , n Tìm giới hạn lim un 2014 2013 2015 1 2020 Cho hai dãy an , bn : a1 , b1 ; an 1 an , bn 1 bn , n Tìm lim 2014 2014 bn an an bn x x x (IMC2010) Cho dãy sô xn : x1 5, xn1 xn2 2, n Tìm giới hạn lim n xn1 (ĐHSPHN TST 2010) Cho dãy số xn : x1 1, x2 1; xn2 xn21 xn , n 1, 2, Chứng minh 2 Cho dãy số un : u1 dãy có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn (T11/420 THTT) Cho dãy số xn : x1 1001 ; xn 1 xn xn2 xn3 xn4 xn2011 xn2012 , n * 1003 Tìm giới hạn lim nxn Gợi ý: Quy nạp n n nxn , n 1, 2,3, n 1 n 2n VI SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA PHẦN NGUYÊN x x x Thí dụ 16 (T9/405 THTT) Cho k * , Xét dãy số 1k. 2k n k , n 1, 2, Tìm lim an an : an n k 1 1k k n k 1k k n k Lời giải Ta có x x x nên a n n k 1 nk n k 1 k 1k k n k n i n i Lại có f với f x x k Theo định nghĩa tích phân xác k 1 n n i 1 n n i 1 n định 1 1k k n k n i lim lim f f x dx x k dx k 1 n n i 1 n k 1 Do theo SLT lim an k 1 b ba n ba Nhắc lại định nghĩa tích phân xác định: lim f a i n f x dx n i 1 a Thí dụ 17 Chứng minh lim 1 x x e x 0 Lời giải Ta dùng SLT dãy số để tìm giới hạn Trước hết ta chứng minh cho y x lim 1 x e giới hạn tương đương với x 1 y Ta có bất đẳng thức kẹp y 1 lim 1 e y y y 1 1 y y y 1 n Chuyển qua giới hạn n theo định nghĩa e lim 1 ta có n y 1 lim 1 e y y Để chứng minh lim 1 x x0 x y 1 e lim e , ta đặt t y có điều cần chứng minh y y Bài tập tương tự Chứng minh xlim x2 0 x 2 VII SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON n an Lời giải Chọn k * cho k với n k Do a nên đặt a q, q , từ khai triển Thí dụ 18 Cho a 1, Tìm giới hạn lim nhị thức Newton ta có 1 q n qk n n 1 n k 1 n n k !n n n k! a 1 q q k n n 1 n k 1 n an Nhận xét: Ta nói dãy a n trội dãy n Theo SLT, ta có lim Bài tập tương tự n n n Tìm giới hạn lim 2 Tìm giới hạn lim VIII SỬ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR ĐỊNH LÝ (Taylor) Giả sử f : a, b khả vi liên tục cấp n khoảng a , b có đạo hàm cấp n điểm khoảng a , b trừ điểm x0 a , b Khi đó, điểm x0 điểm x a, b bất kỳ, tồn điểm c , cho n f x k 0 f k x0 k x x0 Rn1 f ; x k! p x x0 n 1 n1 c , p , p x c f n! p x c Chứng minh WLOG, ta xét x x0 Xét hàm số Rn1 f ; x n f k t k x t p , x0 t x , p , p 0, tham số n! p liên tục đoạn x0 , x , h x đạo hàm h t tồn với t x0 , x Ta h t f x k! k 0 x t Hàm h t chọn số cho p n h x0 f x k 0 f k x0 x x0 * k x x0 k! n! p Với cách chọn đó, hàm h t thoả mãn điều kiện định lý Rolle đoạn x0 , x Do tồn c x0 , x , cho h c f n1 c x c n x c n! n! p 1 0 Vì đạo hàm n n 1 f t f t f t f t f t x t n 1 n h t f t x t n x t x t x t 1! 1! 2! n! n! n! f n1 t n! n x t x t p 1 n! Suy f n1 c x c p1 n p 1 n f x , thay vào * , ta f k x0 x x0 k x x0 p f n1 c x c n p 1 ■ k! n! p Bằng cách chọn giá trị p hoàn toàn xác định, ta thu trường hợp riêng phần dư Rn1 f ; x Ta xét trường hợp quan trọng p n p k 0 Khi p n ta có cơng thức Taylor dạng phần dư Lagrange Rn1 f ; x f n 1 c n1 x x0 , c x0 x x ,0 n 1! Khi p ta có cơng thức Taylor dạng phần dư Cauchy f n 1 c n 1 n Rn1 f ; x x x0 1 , c x0 x x0 ,0 n! Khi x0 cơng thức khai triển Taylor gọi khai triển Maclaurin Ta xét khai triển Maclaurin (phần dư Lagrange) cho số hàm sơ cấp ● ex 1 x x2 xn e x x n 1 , 2! n ! n 1! n1 n 1 x2 1 x n ,0 n x ● ln 1 x x 1 n n 1 x n n1 x x 1 x 2n1 ● sin x x 3! 5! 2n 1! sin x 2n 1 x n 1 2 ,0 2n 1! x2 x4 x x2n n 1 1 cos x n ,0 2! 4! n 1 ! n ! 2 n1 ● cos x ● 1 x 1 x 1 1 n n 1 1 n 1 n x x 1 x x n , , x 1 2! n! n 1! Hệ ta có số bất đẳng thức hay dùng sau (Việc chứng minh dựa vào khảo sát hàm số) x2 ln 1 x x, x 2x ▪ ln 1 x x, x 2 x 2x x x3 ▪ ln 1 x x , x 2 x 1 ln 1 , x ▪ x 1 x x ▪ x x3 sin x x, x x2 ▪ cos x 1, x ▪ x Thí dụ 19 Tìm giới hạn dãy an , an 1 2 n 1 , n n n n k Lời giải Đặt bn ln an ln 1 Áp dụng bất đẳng thức n k 1 n x2 ln 1 x x, x , ta có n k k2 n k n k n n n n n 1 ln k k b k n 2 2n k 1 n k 1 n n k 1 2n k 1 n k 1 n k 1 n x n n 1 n 1 n n 1 n n 1 2n 1 n 1 bn bn 2n n 2n 12n 2n Chuyển qua giới hạn n áp dụng SLT, ta 1 lim bn lim ln an lim an e 2 10 ln m k 1 ln m k mk ln m k 1 ln m k Suy m m m ln m k ln m k m k ln m k 1 ln m k ln 2m 1 ln m 1 u2 m k 1 k 1 k 1 ln 2m ln m ln u2m ln m 1 m1 Theo SLT, ta có lim u2 m ln Mặt khác u2m1 1 k 1 k k 1 2m 1 k 1 k k 1 1 u2 m , 2m 2m suy lim u2 m1 lim u2m ln lim un ln Thí dụ 24 Tính giới hạn lim sin sin sin n 1 n2 2n x3 sin x x, x , ta có n n n n 3 sin n k k 1 n k k 1 n k k 1 n k k 1 Lời giải Áp dụng kết x n 1 ln Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức ln 1 , x , ta có x 1 x x k 1 n k n n n n n n 1 1 1 ln 1 ln 1 n k k 0 n k k 0 n k k 0 n k k 0 n k k 0 n k k 0 2n n 2n ln ln n k 0 n k n2 n n n 1 n n 1 Theo SLT lim ln Lại có lim 0 3 3 4n k 1 n k k 1 n k 2n k 1 n k n n Ta có lim Theo SLT, ta lim sin sin sin ln n 1 n2 2n Thí dụ 25 Tìm giới hạn lim un , biết un Lời giải Viết lại un Xét hàm f x n2 1 n2 n n n n2 n n2 n2 , n n 1 1 n n2 n n n n2 , n x x2 có khai triển Maclaurin f x x x 1 x2 f x x, x Ta chứng minh bất đẳng thức sau: x x, x ▫ Dễ thấy x 1 x 1 ▫ Xét hàm g x g x 1 0, x Suy 2 x 1 x x 1 Dự đoán x g x g 0, x x x2 x x 1 12 n n 1 n f n 2n n n n n 1 n n 1 n Từ đó, theo SLT ta có un n n n 2n n n 2n 2n lim un x x2 Nhận xét: Ta chứng minh x sau: x 1 x x2 x x 1 1 x Thật x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 Áp dụng vào tốn có un f f n n Thí dụ 26 Cho số thực a Tìm giới hạn lim n n a 1 ln a 2x Áp dụng kết ln 1 x x, x , ta có n 2 x an an 2an ln an 1 an n ln a n.an Xét hai dãy bn n.an , cn n cn ln a bn an an an Lời giải Đặt an n a ln an 1 Ta chứng minh lim bn cn Thật vậy, bn cn n.an 1 n.an2 an an Mặt khác dãy an giảm nên an a1 a ln a 2nan a 1 ln a na a a 1 ln a nan n n a 1 2 nan2 lim bn ln a an Mà lim an nên theo SLT lim nan2 , lim bn cn lim (Theo định lý tương đương) Vậy lim n n a 1 ln a nanb Thí dụ 27 Cho a, b Tìm giới hạn lim n n a n b 2n ab Mặt khác ta có n n a 1 n b 1 b 1 1 n Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có n n a nanb nanb ln n.ln n.ln 2 Theo thí dụ ta có n lim n n n a 1 n b a 1 b 1 ln a;lim n ln b lim n ln ab ln ab 2 2 n nanb Áp dụng SLT ta lim ab Nhận xét: Với cách làm tương tự ta có tốn tổng quát sau: Cho a1, a2 , , ak Khi n n a n a2 n ak lim k a1a2 ak k Thí dụ 28 Cho dãy số an : a1 0, an1 ln 1 an , n 1, 2,3, Chứng minh a) lim nan 13 b) lim n nan ln n Lời giải a) Do a1 nên dễ dàng chứng minh an 0, n * an1 ln 1 an an , n * Suy dãy an giảm, bị chặn nên hội tụ lim an a Chuyển qua giới hạn ta có a lim an 1 a ln an 1 an 1 an a a an Xét Khi n n 1 n nan n n 1 n an an1 a ln 1 an n an Áp dụng kết x ln an 1 x2 a2 a ln 1 x x, x có an n ln an 1 an n 1 2 an a Do lim an nên lim n Theo SLT, ta có lim 2 ln an 1 (1) an x2 x x3 ln 1 x x , x ta 2 a ln an 1 an2 an2 an3 an2 an3 a2 a an ln an 1 an an ln an 1 n n n 2 3 2 an2 1 a ln an 1 a an Theo SLT, ta có lim n Từ 1 suy lim n 1 Áp dụng an n 1 n 1 định lý Stolz, ta lim lim nan nan Lại áp dụng kết x 2 2 nan n 2 n n nan an an b) Ta có lim lim lim ln n ln n ln n 2 2 n 1 n 1 n an1 an an1 an Xét n ln 1 n ln n 1 ln 1 n Ta có ln 1 an an nan ln 1 an n ln 1 an 2nan nan n ln 1 an 2nan 2 n 1 n 1 a ln a an a an 1 an n n n an ln an2 ln an an x x3 x x x3 ln 1 x x , x , ta có 3 a a a a a na na na na na an n n n ln an 1 an n n 2nan n n n nan 2n ln 1 an 2nan n n 6 6 2 na n ln a na na na n n na na na n n n n n n an 6 Áp dụng kết x Mà lim an 0,lim nan nên theo SLT lim nan 2n ln 1 an 2nan Suy 14 an2 2 n n n nan an 1 an an Theo Định lý Stolz lim lim ln 1 n ln n ln n ln n n 1 lim Nhắc lại định lý Stolz: Xét hai dãy số xn yn , yn dãy số dương tăng dần đến vơ Khi đó, lim xn xn1 x L lim n L yn yn1 yn 1 Thí dụ 29 Cho k Tính giới hạn lim k n n n n * 1 n 1 1 Lời giải Xét ln k n ln 1 k n n n n n n Ta có 1 1 1 1 k k ln k n n n n n n n n n 1 k , suy n n n n 1 1 1 1 1 k 1 n k ln k k 1 n n n n n n n n n n n n Lại có 1 1 1 1 1 1 k 1 1; n k 1 k 1 0, n n n n n n n n n n n Do theo tính liên tục hàm ln ta có n n 1 1 ln k lim 1 k e n n n n n n Bài tập tương tự 1 Tính giới hạn lim n n n 1 Cho k * Tính giới hạn lim n n kn 1 Tìm giới hạn lim n n n 12 1 Tìm giới hạn lim (n 1)(n 2) 2n(2n 1) n(n 1) 22 n2 Tính giới hạn lim 1 1 , c cn cn cn k Chứng minh tồn lim 1 tính giới hạn n n k 1 n Tính giới hạn dãy số un sin 2sin 3sin n sin , n n n n n 3n n n k Tìm giới hạn lim sin n ! k 1 n n n S Đặt Sn k cos Tính giới hạn lim n2 k n k 2 n 10.Tìm giới hạn lim tan nk k 1 n 15 n z 11.Cho z Tìm giới hạn lim n n k2 12.Tìm giới hạn lim 1 n k 1 a a a 13.Chứng minh 1 22 kk bn c ea1b k * , n 1 n 1 i i k 1 14.Chứng minh 1 k e k k * n n n i 1 n n 1 1 a1 a a.i a.i k 1 15 Chứng minh 1 k e k k * , a n n n i 1 n IX SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE Định lý Lagrange: Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b có đạo hàm khoảng a; b tồn c a; b cho f b f a f c ba Thí dụ 30 Cho dãy số xn : x1 a ; xn1 ln 1 xn2 2002, n 1, 2, Tìm giới hạn dãy số Lời giải Xét hàm số f x ln 1 x 2002 liên tục có x , x 1 x Xét hàm số g x x f x liên tục có f x x2 x 0, x ; g g 2002 x2 Nên suy phương trình f x x có nghiệm x l 2002;0 Áp dụng định lý g x lagrange ta có n xn 1 l f xn f l f c xn l 1 xn l x1 l 0, n , với c xn ; l 2 Vậy theo hệ SLT có lim xn l Bài tập tương tự (T6/391 THTT) Cho dãy số xn : x0 xn1 , n 0,1, Tìm lim xn xn (Dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy xn xác định x1 a, xn1 ln cos xn sin xn 2008, n 0,1, Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn X SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH , TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Thí dụ 31 Chứng minh với n * phương trình x 2nx n có ba nghiệm phân biệt x1 x2 x3 Đặt n x2 Tìm lim n Lời giải Xét f n x x 2nx n, n * , ta có 16 lim f n x , f n n 0, f n 1 n 0, lim f n x Mà f n x liên tục nên x phương x trình cho có ba nghiệm x1 x2 x3 x2 Lại có 15 15 1 1 1 f n 0; f n , n Vậy n đủ lớn 2 n n 2n 4n 1 1 1 1 1 f n Do x2 n lim n 2 n 2 n 2 n * Thí dụ 32 (VMO 2002A) Cho n Chứng minh phương trình 1 1 có nghiệm xn n xn x 1 4x 1 n x 1 1 1 Lời giải Với n * , xét hàm f n x liên tục nghịch x 1 x n x 1 biến 1; Hơn lim f n x ; xlim f n x Do với n * phương x1 trình f n x có nghiệm xn Ta có f n 1 1 f n xn xn 4, n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 4n Theo định lý Lagrange f n xn f n f n c xn với c xn ; 4n Mặt khác f n c c 1 4c 1 n2 n c 1 2 Suy xn 0, n Vậy lim xn 4n f n c 4n Nhận xét: Nếu tốn u cầu tìm giới hạn dãy xn khó Nếu khơng dung định lý Lagrange ta xây dựng dãy số un mà f n f n xn f n un u n xn Có thể xét dãy un k khơng? k số chọn n Thí dụ 33 (Vĩnh Long TST 2011) Xét phương trình x n x x 1, n , n a) Chứng minh với số tự nhiên n phương trình có nghiệm dương b) Chứng minh lim xn Lời giải a) Ta thấy x nghiệm phương trình x n x x x Với n cố định, xét hàm f n x x n x x 1 , x , ta có f n x nx n 1 x 1 x x 1 x nên f n x đồng biến 1; , f n x có khơng q nghiệm Hơn f n 1 2 lim f n x hàm số x f n x lien tục 1; nên phương trình f n x có nghiệm xn b) Ta có f n1 xn xnn1 xn2 xn 1 xn xn2 xn 1 xn2 xn 1 xn3 f n 1 xn 1 xn xn1, n 17 Do xn bị chặn nên xn hội tụ Ta chứng minh f n 1 , n Thật n n Cn1 Cn2 n 1 1 n 1 1 fn 1 f n xn n n n n n n xn n Theo SLT lim xn Nhận xét: Sau xn giảm bị chặn nên ta dự đoán giới hạn dãy xây dựng bất đẳng thức kẹp xn n Bài tập tương tự (30/4/2006 Shortlist) Cho phương trình với tham số n nguyên dương 1 1 x x 1 x n 1 n n 1 n a) Chứng minh với n 23 phương trình nói có nghiệm 0; , kí hiệu nghiệm xn b) Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Gợi ý: Xây dựng bất đẳng thức yn xn 1, n 24 với yn 1 1 n 1 1, n n 1 2 (VMO 2007) Cho số thực a f n x a10 x n10 x n x a) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình f n x a ln có nghiệm dương b) Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn n XI XÂY DỰNG DÃY PHỤ ĐỂ KẸP DÃY CON Thí dụ 34 Cho dãy số xn : x0 x1 1,3xn2 xn1 xn , n Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Với toán tìm CTTQ xn thơng qua việc giải phương trình đặc trưng dãy Tuy nhiên xây dựng dãy số phụ để kẹp dãy cho dung SLT để suy giới hạn Dễ thấy xn 0, n dự đốn giới hạn dãy khơng Vì thế, ý tưởng xây dựng dãy an cho: 1) Dãy an hội tụ đến 2) Max x2 n , x2 n1 an , n Một cách tự nhiên ta chọn dãy an xác định a0 1; an1 an1 an an an 1 an Vậy an có giới hạn hữu hạn n 1 an , n Ta có lim an (hoặc thấy 2 an1 an 0, n ) Ta chứng minh Max x2 n , x2 n1 an , n quy nạp 3 Với n x0 1, x1 1, a0 Max x0 , x1 a0 , khẳng định 18 Giả sử ta có Max x2n , x2n1 an , n Khi Với n x2 , x3 , a1 Max x2 , x3 a1 , khẳng định x2 n2 x2 n1 x2 n an an an 3an 1 x2 n2 an 1 an 3x2 n3 x2 n2 x2 n1 an an 2an 3an 1 x2n 3 an 1 Vậy Max x2 n2 , x2 n3 an 1 Ta có x2 n , x2 n1 an mà lim an nên SLT suy lim x2 n lim x2 n1 Do lim xn Nhận xét: Trong toán dự đoán giới hạn dãy xn xn 0, n nên ta lợi dụng điều cần xây dựng dãy phụ Có tốn cần phải xây dựng hai dãy phụ để kẹp hai đầu Thí dụ 35 Cho a, b 0;1 dãy xn : x0 a, x1 b; xn2 2009 n xn1 xn , n Chứng minh 2010 2010 dãy xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Tương tự thí dụ trên, ta dự đoán giới hạn dãy xn xn 1, n Bây ta xây dựng dãy an cho: 1) an tăng dần tới 2) an x2n , x2n1 , n 2009 n an an , n 2010 2010 tăng Bằng quy nạp an 1, n Vậy tồn giới hạn hữu Ta chọn dãy an xác định bởi: a0 a, b ; an1 Xét 2010 an1 an an hạn lim an Từ suy lim an Tiếp theo ta chứng minh an x2 n , x2 n1 , n quy nạp Với n x0 a, x1 b x0 , x1 a, b a0 khẳng định Giá sử an x2n , x2n1 , n , ta phải chứng minh an1 x2n2 , x2 n3 2009 2009 x24n1 x2 n an4 an an 1 2010 2010 2010 2010 2009 2009 2009 x n 3 x2 n x2 n1 an41 an an4 an an 1 2010 2010 2010 2010 2010 2010 Vậy an x2n , x2n1 1, n Áp dụng SLT, ta suy lim x2 n lim x2n1 lim xn x2 n Thí dụ 36 Cho dãy số xn : x1 , x2 cho trước, xn xn1 xn , n Tìm lim xn Lời giải Khác với hai thí dụ trên, toán ta chưa chặn dãy xn ta cần phải xây dựng hai dãy chẵn hai đầu xn Cụ thể xây dựng hai dãy an , bn sau: Khi an a1 max x1 , x2 , 4 b1 x1 , x2 , 4 an1 an , n bn 1 bn , n giảm dần bn tăng dần Thật a1 4, a2 4, an 4; an1 an an an Bằng quy nạp ta có an an Từ an an lim an Tương tự lim bn bn x2 n , x2 n1 max x2 n , x2 n 1 an max x2 n , x2 n 1 an 19 Trước hết chứng minh Với n max x2n , x2n1 max x2 , x3 a1 x2 a1 max x1, x2 , 4 , x3 x2 x1 a1 a1 a2 a1 Giả sử max x2n , x2n1 an , n Ta phải chứng minh max x2 n2 , x2 n3 an1 Thật x2n2 x2n1 x2n an an1 an ; x2n3 x2n2 x2 n1 an1 an an an1 Tương tự bn x2 n , x2 n1 Do theo SLT lim x2 n lim x2 n1 lim xn Thí dụ 37 Cho dãy số không âm un thoả mãn điều kiện 1 1 4un 2 u n1 un , n 2n 4n n 1 n 2n n Tìm giới hạn lim un 1 n 1 2n Lời giải Ta có 1, n ; , n n 1 n 2n n 2n n 4n 2n 3 Như 4un2 un1 un , n Xét dãy : v1 u1 , v2 u2 ;4vn2 vn1 , n có phương 2 n n suy C1 C2 lim 4 2 Tiếp theo ta chứng minh quy nạp un 0, n Với n 1, khẳng định theo 3 trình đặc trưng x x x1 , x2 định nghĩa dãy Giả sử khẳng định với n k Khi ta có 3 4vk 2 vk 1 vk uk 1 uk 4uk 2 vk 2 u k 2 Cuối cùng, áp dụng SLT, ta lim un Tiếp theo ta nghiên cứu tình hồn tồn khác thú vị Thí dụ 38 (Vĩnh Phúc TST 2012) Cho dãy un : u1 , u2 un un1 , n un Chứng minh un có giới hạn hữu hạn Tìm lim un Lời giải Nhận xét rằng: +) un 1, n 1 un 3, n un 1 un u Suy un n1 , n Do muốn chứng minh dãy un có giới hạn xét un x n cách chứng minh dãy sau hội tụ: x0 u6 , x1 u7 ; xn 2 n 1 , n Dễ thấy xn xn 3, n 1 xn1 xn Từ xn3 ta có xn3 Đặt yn xn yn * xn 1 xn xn1 xn +) un3 Sử dụng bất đẳng thức a b a b max a ; b điều kiện xn ta quy chứng minh 3 dãy sau có giới hạn: y0 a , y1 b, y2 c a , b, c 1 yn3 max yn1, yn n 3 3 Xét y3n max y3n2 , y3n3 max y3n4 , y3n5 , y3n6 max yn , yn1, , y0 4 4 4 20 n n n n 3 Tương tự có y3n1 , y3n2 Vậy yn lim yn lim xn lim un 4 4 4 k Bài toán tổng quát: Giả sử f : hàm tăng theo biến tồn số thực dương a cho f x, x, , x x với x a f x, x, , x x với x a Cho x1, x2 , , xk số dương Định nghĩa dãy truy hồi xn sau: xn f xn1, xn2 , , xnk với n k Khi lim xn a Lời giải Ta hàm số f liên tục điểm a, a, , a f a, a , , a a Xét dãy an , bn xác định sau: a1 a2 ak x1 , x2 , , xk b1 b2 bk max x1 , x2 , , xk an f an 1 , an 2, , an k , n k bn f bn1 , bn2, , bnk , n k Nếu x1, x2 , , xk a an dãy giảm bị chặn a Nếu x1 , x2 , , xk a an dãy tăng bị chặn a Như ta có an hội tụ lim an a Hơn , hàm f tăng theo biến nên xn an , n Tương tự với dãy bn lim bn a bn xn , n Theo SLT suy lim xn a Bài tập tương tự Cho dãy xn : x0 1, x1 5; xn2 xn1 xn2 , n Chứng minh xn hội tụ tìm giới hạn Cho dãy xn : x0 , x1, x2 0; xn3 xn xn2 , n Tìm giới hạn lim xn , n Chứng minh an hội tụ tìm giới hạn an an1 1 Cho dãy an : a1 0, a2 ; an1 1 an an31 , n Tìm giới hạn lim an Cho dãy xn : x0 , x1, x2 tuỳ ý cho trước; xn3 log5 3xn xn2 , n Chứng minh Cho dãy an : a1, a2 0; an1 lim xn Cho dãy un : u1 2; un2 un 1 2un , n Tìm giới hạn lim un XII SỬ DỤNG SLT TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM Thí dụ 39 (Terkey TST 2005) Tìm tất hàm số f : 0; 0; thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) f x 3x, x b) f f x 3x x, x 3bn 1 an 4b 13 n1 Lời giải Xét hai dãy số an , bn xác định bởi: a1 , b1 n 12 b 3an n an Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức kẹp an x f x bn x, x 0, n Lại quy nạp ta có an tăng, bn giảm an bn , n Ngoài với n ta có 3 an 1 an 1 an1 an 1 an 13 4bn 1 3an1 1 3an 1 1 3a1 21 , n Theo SLT lim an , suy lim bn Do f x x, x 4.13n1 Câu hỏi: Tại lại chọn hai dãy an , bn vậy? Do an Thí dụ 40 (China MO) Tìm tất hàm số f : 1; 1; thoả mãn điều kiện sau: a) x 1 f x x 1 , x 2 b) xf x 1 f x 1, x Lời giải Thay x x a) ta có xf x 1 f x , x x2 f x 1 x c Từ b) suy 2 xf x 1 f x xf x 1 , x d Từ c),d) ta có x x 2 x 1 f x x x f x x , x e f x 1 x x 2 Bằng quy nạp, áp dụng e) cách lập luận k lần ta k x 1 f x 2 k x 1 Với x 1, chuyển qua giới hạn bất đẳng thức k sử dụng SLT ta có x f x x f x x Thử lại thoả mãn Vậy f x x 1, x Nhận xét: Liên quan đến toán ta có tốn sau: Tìm giới hạn dãy số xn , biết xn n 1 n , n Xét hàm số n f x x 1 x x 1 f x x 1 x 1 f x 2 n x 1 n n Cho x ta xn Áp dụng SLT lim xn 2 Thí dụ 41 Tìm tất hàm f : * * thoả mãn điều kiện sau: a) f b) n L f n nf n L , n, L * c) f m.n f m f n , m, n * Lời giải Ta có * 2k ; 2k 1 Quy nạp ta f 2k 22 k Xét n 2k ; 2k 1 , từ b) suy k 0 f k f n f 2k 1 f n f n L f n 2 k 1 22k f n k k 1 k k 1 k k 1 n nL n 2 n 2 n Do m f n f n f n f n 2, n * 2, n * 2, n, m * m m 2 n nm n n m Với n * , Chuyển qua giới hạn m , theo SLT f n f n n , n * n Thí dụ 42 (T6/216.THTT ) Tìm tất hàm số liên tục f : 0;1 thoả mãn 22 ta f x xf x , x 0;1 1 Lời giải Cho x f Cho x f 1 f 1 f 1 Với x , sử dụng 1 n lần ta n f x f n n f x xf x 22 x f x x x n1 f x , n * 3 Vì x 0; f liên tục nên lim x n x n1 n 2 n 2n Từ 3 cho ta 1 f x 0, x 0; Mặt khác với x 0;1 từ 1 , ta có 2 21n f x f x f x x f x f x 1 n x 2n x f 2n x nên từ , ta có f x 0, x 0;1 Từ cho ta Mà nlim 1 n n 2 x 1 f x 0, x 0; 2 n n n 1 Với x ;1 tồn n * để x f x n x 1 f x Do 2 1 1 f x 0, x ;1 Từ , suy f x 0, x ;1 Tóm lại f x 0, x 0;1 2 2 Vì hàm f liên tục 0;1 nên với dãy xn 0;1 cho lim xn f 1 f lim xn lim f xn lim f Vậy f x 0, x 0;1 , thử lại thoả mãn Thí dụ 43 Tìm f : 0;1 0;1 thoả mãn điều kiện sau: a) x f x 0;1, x 0;1 b) f x f x x, x 0;1 Lời giải Xét dãy số xn : xn nx n 1 f x , n Bằng quy nạp xn 0;1 f xn xn 1, n 2,3, Do xn 1, n nên nx n 1 f x 1, n suy nx nx f x , n Với x 0;1 cho n , ta n 1 n 1 f x x Thử lại f x x, x 0;1 nghiệm phương trình cho nx n 1 f x nx Thí dụ 44 Cho dãy hàm số f n x xác định bởi: x f n2 x f x 0; f n1 x f n x , n 0, x 0;1 Tìm giới hạn lim f n x n 23 Lời giải Trước hết ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức f n x x , n 1 Thật x Với x 0;1 x x f1 x x , suy 1 n Giả sử 1 giả x t , t 0;1 có g t t 0, t 0;1 nên g t đồng biến thiết quy nạp f n x x 1, x 0;1 nên x x , x 0;1 Mặt khác, từ có x f n2 x f n 1 x f n x đến n Xét hàm số g t t 0;1 Theo f n 1 x g f n x g Do f n1 x x , tức 1 đến n Theo nguyên lý quy nạp có 1 Tiếp theo ta chứng minh x f n x , x 0;1 , n n 1 Thật vậy, ta có n x f n1 x x x x f n x x f n 1 x 1 x f n 1 x 1 x f x 1 2 n 1 n x x n 1 n n n x x 2 2 n n n n 1 n 1 n n 1 Vậy x f n x , x 0;1 , n Theo SLT, ta có lim f n x x , x 0;1 n n 1 Thí dụ 45 (ĐHKHTN HN 2010) Tìm tất hàm số f : cho f xy f x3 y f x , x, y f x Lời giải Cho y ta f x 1 f x 1 Cho x ta f y 1 f 1 f y 2 Đặt f 1 a sử dụng 1 ta tính f 1 f a3 1, f f 23 1 a3 1 Mặt khác sử dụng ta có f 2 f 3 1 a3 a , f a3 a a a , f a a a , , a a a a a 1 1 f 9 a3 a2 a 1 4 a a a a a Từ suy f 3 a 1 1 a 1 a a 1 g a , a a a3 a a7 g a a12 a11 2a10 4a 5a 6a 7a a 5a a 3a a Giải ta tìm a a 3 1 a a a Vậy ta có f x 1 f x f x f x Từ suy f x n f x n, n * Với r p , ta tính f q r q hai cách sau: 3 Ta có f r q f r q f r q Mặt khác 24 f p2 p r q f r .q .q q f r p pq q f r p pq q q q f r p pq q Từ ta phương trình q f r q f r p pq Giải phương trình này, với ý f r , ta f r f x y f p r Vậy f r r , r Bây để ý với x, y ta có q x y f f x f x.y x f x f f x y x f x Suy f x hàm tăng Cuối cùng, với x , xét dãy số hữu tỷ un , cho un tăng dần x (suy un x, n ), giảm dần x (suy x, n ) Khi ta có bất đẳng thức kẹp un f un f x f Chuyển qua giới hạn n , theo SLT ta f x x, x Thử lại thoả mãn tốn Bài tập tương tự Tìm tất hàm số f : 0;1 bị chặn thoả mãn f 0, f 1 x y f x f y f , x, y 0;1 Tìm tất hàm số f : 0; 0; thoả mãn f f x x x, x (Belarusian MO 1998) Tìm f : liên tục thoả mãn f f x f x x, x (VMO 2012) Tìm tất hàm số f xác định tập số thực , lấy giá trị thoả mãn đồng thời điều kiện sau: a) f toàn ánh từ đến ; b) f hàm số tăng ; c) f f x f x 12 x, x BÀI TẬP TỔNG HỢP Tính giới hạn lim n 2sin n 2013 n 2013 cos n 1 n 1 Cho a1, a2 , , a p số thực dương Tính lim n Tính giới hạn lim n n cos n a1n a2n a np p n n sin n n n 1 n n n 1 n a n n1 Cho dãy số an , bn : an ; bn n , n 2n 1 n 1 n n 1 Tìm giới hạn lim bn Cho trước số , , A, B : A2 B Lập hai dãy số an , bn sau: a0 , b0 ; an Aan 1 Bbn 1 , bn Ban1 Abn1 , n Tìm giới hạn dãy số an , bn Cho dãy số un : u1 a 0; un1 un n u , n Tìm lim n un n 25 (SMO 1997) Cho dãy số an : a0 ; ak 1 ak 2 Chứng minh lim n ak2 , k 1, n Tìm lim an n n n 1 n2 Cho dãy số dương un Đặt sn u13 u23 un3 , n Giả sử un1 S n 1 un un 1 , n Tìm lim un S n1 10.Tính giới hạn lim 2014 n 2013 n 11.Cho dãy số xn : x0 , x1, x2 cho trước xn xn1 xn xn1 , n Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy 12.Cho a, b 0; dãy số an : a0 a, a1 b; an2 an 1 an an 1 an , n Tìm lim an n 13.Cho dãy số dương un thoả mãn un1 u n un2 , n M : ui M , n Chứng i 1 minh lim nun 3 15.Cho a, b * , a , b 1, n ab 1; ab 2; ab 3; Kí hiệu rn số cặp số u , v * * 14 Giả sử dãy bị chặn an thoả mãn an2 an1 an , n Chứng minh dãy hội tụ cho n au bv Chứng minh lim rn n ab x 16 Cho x ; Đặt S1 sin x, S sin x sin x, , S n sin x sin x sin nx Gọi tn số số hạng âm dãy S1, S2 , , Sn Chứng minh lim tn x n 2 cos1 cos n.cos n 1 Gọi k , k tương ứng số cos n.cos n 1 số hạng dương số số hạng âm dãy u1, u2 , , uk Tìm giới hạn lim k k 17 Cho dãy số un xác định un 18.Chứng minh với n tồn xn 0; n cho xnn e x Tìm lim xn n n n n n 1 19.Cho dãy số xn Tìm lim xn 2 3 n 20 Với n * , xét hàm số f n x x n x 2n1 x x 1, x Chứng minh hàm số f n đạt giá trị nhỏ điểm Gọi giá trị nhỏ Sn đạt xn Chứng minh rằng: a) Sn , n không tồn a cho S n a, n 2 b) S n dãy giảm lim Sn c) lim xn 1 26