D04 nhị thức newton muc do 3

Câu [DS11.C2.2.E04.c] Cho n số tự nhiên, n 2 Chứng minh đẳng thức sau: 2 n 2Cn0   n  1 Cn1   n   Cn2   2 Cnn   12 Cnn  n(n  1)2 n  Lời giải Ta có với x 0 ,  x  1 Suy n  Cnk x n  k ,  1 k 0 Đạo hàm hai vế nx  x  1 n n  1 ta n  x  1  (n  k )Cnk x n  k  k 0 n   n  k  Cnk x n  k ,   k 0 Đạo hàm hai vế n n   ta : n   x  1  n   n  1  x  1 n n    n  k  Cnk x n  k  ,  3  k 0  3 ta đpcm Thay x 1 vào Câu [HH10.C3.1.E02.b] Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  0 , d : x  y  0 điểm I (1;  2) Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường 1  d , d AC đạt giá trị nhỏ thẳng qua I cắt B C cho AB Lời giải d1  d , d1  d  A  A   2;1 Gọi H hình chiếu A BC 1   2 ABC vuông A nên AB AC AH 1   2 AC nhỏ AH nhỏ  AH lớn  H  I Do AB    n  AI (  1;  1) Pt  x  y  0 Khi  qua I có vtpt Câu 1 x  x [DS11.C2.2.E04.c] Cho khai triển: 11  x   x10  a0  a1 x  a2 x  a3 x   a110 x110 10 11 Chứng minh rằng: C11a0  C11a1  C11a2  C11a3   C11 a10  C11 a11 11 Lời giải 11  x  1 ta có: Xét x 1 từ khai triển trên, nhân hai vế với x 11 11  1  x  1 11 11 a VT (2)  C11k x11k   1 k 0  a1 x  a2 x   a110 x110  (2) 11 k  Hệ số x11 vế trái C11 11  11 k  VP (2)   C11k x11 k   1   a0  a1 x  a2 x   a110 x110   k 0  10 11  Hệ số x11 vế phải C11a0  C11a1  C11a2  C11a3   C11 a10  C11 a11 Từ suy đẳng thức cần chứng minh Câu n 2 3 n k [DS11.C2.2.E04.c] Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn Cn  2Cn Cn  Cn Cn 100 , Cn tổ hợp chập k n phần tử Lời giải n 2 3 n Cn Cn  2Cn Cn  Cn Cn 100 2   Cn2   2Cn2Cn3   Cn3  100   Cn2  Cn3  100  (n  1)n(n  1) 3.4.5  n 4 n Câu  2  x   , x 0 x x [DS11.C2.2.E04.c] Tìm hệ số khai triển nhị thức Newton  , biết 3 n số nguyên dương thỏa mãn 4Cn 1  2Cn  An Lời giải Từ 4C n 1 n n  2C  A Điều kiện n  * , n 3 Tìm n 11 11 11 11 k k  2 k 11 k x   C x     k  C11k    x 22 3k   11    x x k 0 k 0 Khai triển  Hệ số x tương ứng với 22  3k 7  k 5 Câu C     14784 Vậy hệ số x 11 2018 [DS11.C2.2.E04.c] Tính tổng S C2018  2C2018  3C2018    2019C2018 Lời giải k n Ta có: kC nC k n * * , k   , k n, n   n n n n n k 0 k 1 k 0  S  (k  1).Cnk 0.Cn0   k Cnk   Cnk  S  n.Cnk11   Cnk k 0  S n 2 k 1 n n n   S (n  2)2 , n  , n  2017 Thay n 2018 , ta S 2020 2 Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG 2018 - 2019 - THPT Đan Phượng - Hà Nội) Tìm số hạng khơng chứa x n   x  4 x  , biết: Cn  2Cn  An 109 khai triển  Lời giải Điều kiện: n 2; n   ; Ta có: Cn0  2Cn1  An2 109   2n  n  n  1 109  n 12  tm   n2  3n  108 0    n  9(l)   x  4 x  Khi đó:  12 12 k   C12 x2 k 0   12 k 12 k 24  k x  k   C12 x k 0 Đề số hạng khơng chứa x 24  6k 0  k 4 Vậy số hạng không chứa x C12 495 Câu [DS11.C2.2.E04.c] (Đề Ôn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Tính tổng 11 11 C1311 C2019 C2020 C1111 C1211 S      10.11 11.12 12.13 2018.2019 2019.2020 Lời giải 11 Ck C  k  , 11 k 2020 k  1 k 10.11 Ta có:  S C99  C109   C2018   10.11 Vậy: Xét 10 P( x)   x     x      x  1 x Mà: Hệ số x khai triển C10 C 10 S  2019  2019 10.11 110 Do đó: Câu 2018 1 x  2019  x 1  x x 2019 10 C2019 x n [DS11.C2.2.E04.c] Tính tổng S 2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn   n(n  1)Cn Lời giải S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn Số hạng tổng quát: uk k  k  1 Cnk k  k  1 n  n  1  n   ! n!  n  n  1 Cnk 22  k n  k ! n  k  !  k   !   n   !  k   !   S n  n  1 Cn0  Cn1   Cnn 22 n  n  1 2n  Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG Toán 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Tính tổng 2014 C2014 C2014 C2014 C2014 S     2015 Lời giải Ta có: k C2014 2014! 2015! k 1    C2015 k   k 1 ! 2014  k  ! 2015  k  1 ! 2015  ( k  1)  ! 2015 Vậy Câu S 2015 2015 1  1  2 2015 C2015  C2015   C2015    C   2015   2015 2015  2015    n 2 3 n k [DS11.C2.2.E04.c] Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn Cn  2Cn Cn  Cn Cn 100 , Cn tổ hợp chập k n phần tử Lời giải Biểu thức 2   Cn2   2Cn2Cn3   Cn3  100   Cn2  Cn3  100   ( n  1) n(n  1) 3.4.5  n 4 n Câu  2  x   , x 0 x [DS11.C2.2.E04.c] Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  , 3 biết n số nguyên dương thỏa mãn 4Cn 1  2Cn  An Lời giải 3 * Từ 4Cn 1  2Cn  An Điều kiện n   , n 3 Tìm n 11 11 11 11 k k  2 k 11 k x   C x   C11k    x 22  k      11    k x x k 0 k 0 Khai triển  Hệ số x tương ứng với 22  3k 7  k 5 C   14784 Vậy hệ số x 11   Câu [DS11.C2.2.E04.c] hệ số x 3n  a (YÊN LẠC VĨNH PHÚC 2019) Cho n số nguyên dương Gọi 3n  x khai triển thành đa thức  1 n  x  2 n a 26n ? Tìm n cho 3n  Lời giải Ta có:  x 1 n  x  2 n n k   n  n   n   n    Cnk  x     Cnm x n m 2m    Cnk x n  k    Cnm x n  m m   k 0   m0   k 0   m0   m, n, k  ; m, k n  3n   2n  2k    n  m  3n   2k  m 3 Xét số hạng chứa x ta suy  k , m     0;3 ,  1;1  Do k , m   nên suy 3 1 ⇒ Hệ số số hạng chứa x3n  a3n  Cn Cn  Cn Cn Theo giả thiết  a3n  26n nên Cn0 Cn3 23  Cn1 Cn1 26n  n! n! n!  26n 3! n  3 !  n  1 !  n  1 ! 4n  n  1  n    2n 26n  2n  3n  35 0  n 5 (Do n  ) Vậy n 5 thỏa mãn yêu cầu toán Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG THUẬN THÀNH 2- 2019) Tính tổng S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn Lời giải S 2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn   n(n  1)Cnn Ta có: uk k  k  1 Cnk k  k  1 Số hạng tổng quát: n  n  1 Cnk 22  k n  n  n  1  n   ! n!  k ! n  k  !  k   !   n   !  k   ! S n  n  1  Cn0  Cn1   Cnn 22  n  n  1 2n  Câu [DS11.C2.2.E04.c] Tính tổng S 2 1Cn2  2Cn3  3Cn4    n  n  1 Cnn Lời giải Ta S 2 1Cn2  2Cn3  3Cn4    n  n  1 Cnn có: uk k  k  1 Cnk k  k  1 với số hạng n  n  1  n   ! n!  k ! n  k  !  k   !   n   !  k   ! tổng quát n  n  1 Cnk 22  k n  S n  n  1  Cn0  Cn1    Cnn 22  n  n  1 2n  Từ đó: Câu [DS11.C2.2.E04.c] Tính tổng 2 S C2019  C2019 2019 2018       2018 2018 2019 2019  C2019    C2019  Lời giải Xét số hạng tổng quát : k 2019! 2019! k k k k  C2019  C2019 Tk  C2019 k 2019  k 2020  k  2019  k  ! k ! C2019 C2019  2020  k  !  k  1 ! 2020  k , k 1,2, ,2019 2018 2017 2017 2018 Suy S C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019   Xét 2019 2019 2019 2019 2019 2019  C2019 x   C2019 x   C2019  C2019 x   C2019 x    x    x   C2019 2019 2019 2018  x   x Hệ số x khai triển  : 2018 2017 2017 2018 C2019 C2019  C2019 C2019   C2019 C2019  C2019 C2019  1 Xét khai triển :   x 4038 2018 2018 4038 4038 C4038  C4038 x   C4038 x   C4038 x 4038 2018 2018  x  2 Hệ số x khai triển  C4038 2 2018 2018 S  C  C   C2019 2019 2019 1 2   2019 2018 Từ ta có  Câu       2019 2019 2018 C2019  C4038  [DS11.C2.2.E04.c] (HSG Tốn 12 - Hịa Bình năm 1718) Tìm hệ số x khai triển nhị n  2 3  x   ,x 0 x thức Newton  , biết n số nguyên dương thỏa mãn 4Cn 1  2Cn  An Lời giải Từ 4C n 1 n n  2C  A Điều kiện n   ,n 3 Tìm n 11 * 11 11  2 x   C11k x    x k 3 Khai triển    11 k k   2 11 k  C11k    x 22 3k  k x k 3 7 C     14784 Hệ số x tương ứng với 22  3k 7  k 5 Vậy hệ số x 11 Câu 1 1 2019 S C2019  C2019  C2019   C2019 2020 [DS11.C2.2.E04.c] Tính tổng Lời giải Xét khai triển P  x    x  2019 2019 2019 C2019  C2019 x  C2019 x    C2019 x  1  1 ta được: Lấy tích phân cận từ  cho vế 0   x   2019 1 2019 2019 dx  C2019  C2019 x  C2019 x    C2019 x  dx 1 2 2020 2019 2020 C2019 x  C2019 x  C2019 x    C2019 x 1 x 0 2020 2020  22020  1 1 2019 C2019  C2019  C2019   C2019 2020 2020 S Vậy Cách 2: Ta có: 22020  2020  n  1 !   n  1 !  n!  C k * k1 Cn   n   k k  k  1 !  n  k  ! k!  n  k  ! n k!  n  k  ! n  * ta có: Áp dụng cơng thức 1 k 1  C2019  C2019  C2020 2020 1 k 2  C2019  C2020 2020 k 3  C2019  C2020 2020 …………… 1 2019 2020 k 2020  C2019  C2020 2020 2020 Cộng vế với vế đẳng thức ta 1 2020  C2020  S  C2020  C2020   C2020 2020 1 2020   C2020    C2020  C2020  C2020   C2020  C2020    2020 22020    22020  1  2020 2020 2020 1 S 2020 Vậy Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG TOÁN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Cho khai triển nhị thức Newton ( x  x) n a0  a1 x  a2 x   a2 n x n , (n  N * ) Tìm hệ số a10 Biết Cnn  Cnn 21 Lời giải n n Cn  Cn 21(n  N * , n 2) Giải phương trình tìm n:  n 6(nh) n! n! n(n  1)   21  n  21  n  n  42 0   ( n  1)! 2!(n  2)!  n  7(l) 6 ( x  x)  C6k ( x )6  k (  x) k  C6k ( 1) k x12  k k 0 k 0 Ta có: 12 10 Mà ( x  x) a0  a1 x  a2 x   a12 x nên a10 hệ số x 10 12  k  k 2 Suy ra: x  x 2 Vậy hệ số a10 là: C6 ( 1) 15 Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho k số tự nhiên thỏa mãn: k k1 k k k 2014 Chứng minh rằng: C5 C2014  C5 C2014   C5 C2014 C2019 Lời giải Ta có:  x 1  x 1 2014  x  1 2019 Đặt M  x  1 C50  C51 x  C52 x  C53 x3  C54 x  C55 x 2014 k 2014 2014 C2014  C2014 x  C2014 x   C2014 x k   C2014 x 2019 k 2019 2019 C2019  C2019 x  C2019 x   C2019 x k   C2019 x N  x  1 P  x  1 k Vì P M N nên số hạng chứa x P có dạng: k k k1 k1 k k k k C2019 x k C50 C2014 x k  C51 x C2014 x  C52 x C2014 x  C55 x C2014 x k k1 k k k k k C50 C2014 x k  C51.C2014 x  C52 C2014 x   C55 C2014 x (*) k1 k k C C k  C51.C2014   C55 C2014 C2019 Thay x 1 vào (*) ta có: 2014 Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG12 Đồng Tháp 2016-2017) Cho n số nguyên dương Tính tổng S 2Cn1  3Cn2  4Cn3    n  1 Cnn n Lời giải C  xC  x C  x C   x nCnn n n 2 n 3 n 1 x Ta có n  x   x   xCn0  x 2Cn1  x3Cn2  x 4Cn3   x n 1Cnn Đạo hàm hai vế theo biến x , ta được: 1 x n  n 1 x n x Cn0  xCn1  3x 2Cn2  x 3Cn3    n  1 x nCnn Cho x 1 , ta được: 2n  n2n  Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3    n  1 Cnn  Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3    n  1 Cnn  n   n   S  n   2n   1 x  x Câu [DS11.C2.2.E04.c] Cho khai triển   x14  15 a0  a1 x  a2 x   a210 x 210 rằng: 15 C15 a15  C15 a14  C15 a13   C15 a0  15 Lời giải 1 x  15 Ta có 15    x  x   x14 15    x   x15 15 x Suy hệ số khai triển    1 k  15 210 15 k    1 C15k x i  k i 0 k 0 15 15 C15k C15 a15  C15 a14  C15 a13   C15 a0 i  k 15 1 x  Mặt khác 15 15 1  15 x15   x 225   15  x15 15 Suy hệ số x khai triển  15 15 Vậy C15 a15  C15 a14  C15 a13   C15 a0  15 (đpcm) Câu [DS11.C2.2.E04.c] Tìm số nguyên dương n cho: C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1    2n  1 22 n C22nn11 2011 Lời giải n 1   x  C20n1  C21n 1 x  C22n1 x  C23n1 x3   C22nn11 x n1 (1) Ta có Lấy đạo hàm hai vế (1) theo x ta Chứng minh 2n  2n  1   x    1  C21n1  2C22n1 x  3C23n1 x    2n  1 C22nn11 x n   2n  1   x  2n C21n 1  2C22n 1 x  3C23n 1 x    2n  1 C22nn11 x n (2) Cho x 2 vào hai vế (2) ta được: 2n  C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1    2n  1 22 n C22nn11 2n  2011  n 1005 Vậy n 1005 Câu [DS11.C2.2.E04.c] (HSG 11 TRẦN PHÚ 2012-2013) Tìm hệ số x khai triển sau: n 3  2  nx   x  biết n số nguyên thỏa 2Cn  Cn  n  20  Lời giải Từ hệ thức 2Cn1  Cn2 n  20 Điều kiện n 2 , n    n  3n  40 0  n 8  n  Ta n 8 thỏa mãn Ta  có: k 8 3    k 8 k  x    x   C8 2 x x   x   k 0 40  14 k Khai triển chứa x4 40  14k 4  k 2 C 26 1792 Vậy hệ số x Câu [DS11.C1.1.E01.b] (HSG 11 TRẦN PHÚ 2012-2013) Cho A , B , C ba góc tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC vuông nếu: sin A  cos B  cos C sin B  sin C Lời giải A cos B  cos C A A sin A   sin cos  A sin B  sin C 2 A 1  cos A 0  Aˆ cos  cos 2 sin Từ Câu vuông Vậy tam giác ABC vng A [DS11.C2.2.E04.c] Tìm giá trị nguyên dương x thoả mãn 2007 2006 2005 k 2007  k 2007 C2008 C2008  C2008 C2007  C2008 C2006  C2008 C2008  C2008 C1 2008.2 x k k 2007  k C2008 C2008 k +) Ta có Lời giải 2008! (2008  k )! k   2008C2007 k !(2008  k )! (2007  k )! +) Do 2007 2006 2005 k 2007  k 2007 x C2008 C2008  C2008 C2007  C2008 C2006  C2008 C2008  k  C2008 C1 2008.2   2007  2008 C2007  C2007  C2007  C2007 2008.2 x góc 2007  C2007  C2007  C2007  C2007 2 x  22007 2 x  x 2007(t / m) Câu 19 [DS11.C2.2.E04.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức n   n  3 x  x  ; x 0 , biết n  * Cn  Cn   Cn 4095 Lời giải Cn1  Cn2   Cnn 4095  2n 4096  n 12 12 12   2   x  C12k      x  x  k 0 12  k  x k 5k   36  3k  19  k 10 Yêu cầu tốn 10 19 Số hạng cần tìm C12 x Câu [DS11.C2.2.E04.c] Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển thành đa thức n 2 2n   x   x   Biết C2 n  C2 n   C2 n 2048 2n Lời giải C  C  C  C   C22nn 2n 2n 2n 2n   1 + Ta có 2n   1 C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn Mặt khác ta có Do   1 2n C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn C20n  C22n   C22nn C21n  C23n   C22nn   22 n 2n 2n  C2 n  C2 n   C2 n 2 2n 2048  22 n  211  n 6 Kết hợp với giả thiết ta có 8 Ta có k   x   x    C8k  x   x    C8k x k   x  k 0 k k 0 Hệ số x xuất số hạng ứng với k 3 k 4 Từ ta có hệ số x C8 C3  C8 C4 238 Câu 1 2 2016 2017 Tính tổng: S C2017C2017  C2017C2017  C2017C2017   C2017 C2017 [DS11.C2.2.E04.c] Lời giải Xét khai triển f  x    x  2n n n Hệ số x khai triển C2 n (1) Mặt khác, ta có: f  x    x  2n   x  n  x  1 n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cnn x n   Cn0 x n  Cn1 x n   Cn2 x n   Cnn  1 2 n n n Hệ số x khai triển Cn Cn  Cn Cn  Cn Cn   Cn Cn (2) 0 1 2 n n n Từ (1) (2)  Cn Cn  CnCn  Cn Cn   Cn Cn C2 n 1 2 2016 2017 2016 Áp dụng với n = 2017 ta có: S C2017C2017  C2017C2017  C2017C2017   C2017 C2017 C4034