TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI HSG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM HỌC 2010-2011 Mơn: Tốn, Lớp: 10 Thời gian làm bài: 180 phút - - Câu Cho đa thức Biết Xác định giá trị lớn hệ số a? Câu Cho số thực thoả mãn: Câu Cho tứ giác nội tiếp đường tròn cạnh, trọng tâm tứ giác, Chứng minh Gọi điểm đối xứng độ dài qua Chứng minh a) b) Câu Tìm số nguyên dương với ta có cho với số nguyên nguyên tố chia hết cho Câu Cho 100 tập hợp đôi khác thoả mãn: a) Với 10 tập số 100 tập cho tồn hai tập b) Với tập số 100 tập cho thoả mãn: cho ta có Chứng minh chọn 12 tập số 100 tập cho thoả mãn: .Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu Cho đa thức Biết Xác định giá trị lớn hệ số a? Giải Ta có Đặt ta có Đặt Đặt , ta có , ta có Suy Xét ta có Đặt ta có Cho ta suy Cho , ta có Dễ thấy thoả mãn Vậy giá trị lớn hệ số Câu Cho số thực thoả mãn: Chứng minh Giải Ta có Chọn , ta có điều phải chứng minh Câu Cho tứ giác cạnh, nội tiếp đường tròn trọng tâm tứ giác, Gọi điểm đối xứng qua Chứng minh c) d) Giải a) Ta có: Do đối xứng với qua nên Suy Vậy b) Ta có Mặt khác Bình phương vơ hướng hai vế ta có Ta có độ dài Thay vào (1) ta suy Áp dụng định lý Ptoleme ta có Suy Vậy Câu Tìm số ngun dương với ta có Giải Viết Bây giờ, xét cho với số nguyên nguyên tố chia hết cho , lẻ Xét , ta có nên , ta có Thử lại, ước 24 thoả mãn Câu Cho 100 tập hợp đôi khác thoả mãn: c) Với 10 tập số 100 tập cho ln tồn hai tập d) Với tập số 100 tập cho thoả mãn: cho ta có Chứng minh chọn 12 tập số 100 tập cho thoả mãn: Giải Ta phân chia 100 tập cho thành dãy theo cách sau: Lần Chọn dãy cho khơng cịn tập chứa khơng cịn tập Lần Loại bỏ chọn nhóm cịn lại dãy cho khơng cịn tập chứa khơng cịn tập Cứ khơng cịn tập Cách phân chia ln làm Nếu có dãy chứa 12 tập ta có điều phải chứng minh Nếu tất dãy chứa khơng q 11 tập phải có 10 dãy (do có 100 tập) Xét tập đứng đầu dãy: cho , theo giả thiết có hai tập, chẳng hạn , vơ lý Hết