Sở Giáo dục - Đào tạo TP.Hồ Chí Minh KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2008 – 2009 Khóa ngày 25/3/2009 MÔN TOÁN Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài : (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 2mx (m 0) đoạn [0 ; m ] b) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số y ( x x m) đoạn [–2 ; 2] Bài : (4 điểm) Định a để phương trình : log ( x 4ax) log (2 x 2a 1) có nghiệm Bài : (3 điểm) 2 x y 2x y Giải hệ phương trình 2 x x y Bài : (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = a, AD = 2a, BD = a , CD = a Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) Bài : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên đường thẳng SB, SC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH theo a Bài : (3 điểm) Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : ( P ) : 2x – y – 2z + = ( Q ) : x + 2y + 2z + = ( R ) : mx + y – 3z + n = a) Xác định m, n để ba mặt phẳng có điểm chung b) Xác định m, n để ba mặt phẳng qua đường thẳng HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT KHÓA NGÀY 25/3/2009 Bài : (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ hàm số y x 2mx (m 0) đoạn [0 ; m ] Giải / y x 4mx y / x 0, x m Nếu m m m GTNN f(m) = m4 – 2m3 + x y’ y - m – + 0 m + m – + f(m) Nếu m m m GTNN f(m) = m4– 2m3 + GTNN f( m ) = – m2 x y’ y - m – + 0 – m m + f( m ) b) Tìm m để giá trị nhỏ hàm số : y ( x x m) đoạn [ – ; 2] Giải Đặt t = x2 + x x [-2;2] t y = (t + m)2 , t [ ;6] y’ = 2(t + m) y’ = t = – m 1 1 Nếu m m , y f ( ) (m ) = m = 4 4 1 Nếu m 6 m , y f (m) 4 Nếu m m 6 , y f (6) (6 m) = m = – Vậy m = hay m = – Bài : (4 điểm) Định a để phương trình : log ( x 4ax) log (2 x 2a 1) có nghiệm Giải x 4ax x 2a log ( x 4ax) log (2 x 2a 1) 2 x 2a x 2x x 2x x 2x a a a 2x 2x 2x x 2x 2x 5x x x ( ;0) ( ;) x x x 2x g ( x) 2x + g / ( x) 2x 2x , g / ( x) x 1, x 2 (2 x 1) x - y’ –2 – – 1/2 + + -1 - 2a a Để có nghiệm 2a a 10 y’ 2/5 + + -1/5 0 Bài (3 điểm) x y 2x y Giải hệ phương trình 2x 4x y Giải (2) 2x – 4x + = - y ≥ y - y2 ≥ (1) (x2 + 1)y2 – 2x = (x2 + 1)(y2 – 1) + (x – 1)2 = x = 1, y = -1 Thử lại ta có nghiệm hệ phương trình x = 1, y = – Bài : (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = a, AD = 2a, BD = a , CD = a Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) Giải Ta có BCD vng C, ABD vng B Gọi H hình chiếu D lên mp(ABC) Ta có AB BD AB BH CBH = 300 BC CD BC CH a CH = DH = DC CH a Bài : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K hình chiếu A lên đường thẳng SB, SC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH Giải Gọi O giao điểm đường cao BD CE ABC + – - BD (SAC) CE (SAB) Do ABC tam giác nên D, E trung điểm AC, AB D, E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC AHB O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH a Bán kính OA = Bài : (3 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba mặt phẳng : ( P ) : 2x – y – 2z + = ( Q ) : x + 2y + 2z + = ( R ) : mx + y – 3z + n = a) Xác định m để ba mặt phẳng có điểm chung b) Xác định m để ba mặt phẳng qua đường thẳng Giải x 1 2t Phương trình giao tuyến (P) (Q): y 1 6t z 5t Thế x, y, z vào phương trình (R) ta : (2m – 21)t = m – n + 21 2m 21 m Ba mp (P), (Q), (R) có điểm chung n R n R 21 m 2m 21 Ba mp (P), (Q), (R) qua đường thẳng m n n 23 HẾT