De 144 đề ôn tập toán

ĐỀ 144 Câu 1: p x 2sin2( - )sinx - cos3x =0 3 sin x - cos x a) Giải phương trình : 4x 2x + cos - m=0 2 x + x + b) Tìm m để phương trình cos có nghiệm Lời giải Điều kiện ỉ pư p p 3p ÷ sin x - cosx > sin ỗ > Û k2p < x < p + k2p Û + k2p < x < + k2p ỗx - ữ ữ ữ ỗ 4ứ 4 ố p x 2sin2( - )sinx - cos3x = Khi (1) trở thành : x x    cos  sin  sin x  cos x 0 2     sin x  sin x  cos3 x 0  sin x  sin x  cos x 0  sin x   cos x  cos3 x 0  sin x     sin x    cos x  0    sin x     sin x    cos x   1 0  sin x 1  x   k 2 +Nếu sin x 1    sin x    cos x   0 +Nếu  sin x  cos x  sin x.cos x 0 (*) 1 t2 sin x cos x  t  0 Đặt sin x  cos x t  suy t (*) trở thành : 1 t2 0  2t   t 0   t  1 2  t     t   1(loai)   sin x  cos x    sin  x   1  4  Vậy      x  arcsin     k 2 2         x    arcsin     k 2 2        x   arcsin     k 2     5    x   arcsin     k 2 2   Thử lại thấy nghiệm thỏa mãn   5      k 2 x   arcsin   x   k 2 x   arcsin      k 2 4 2     Đáp số , , 4x 2x + cos - m=0 x +1 b) Tìm m để phương trình cos x + có nghiệm 2x 4x t cos 2t  t   cos  1 ,1  cos x  x  Đặt   Phương trình ban đầu trở thành: t  2t   m 0  m 2t  t  f t m 2t  t  t   cos  1 ,1 Đặt   , f '  t  4t   t   cos  1 ,1 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến ta suy cos  1  cos   m 2 Vậy giá tri m cầm tìm là: cos  1  cos   m 2 Câu 2: Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức : 8cosA sin B sinC + 3(sin A + cosB + cosC ) - 17 = Hãy tính góc tam giác Lời giải Ta có: 8cosA sin B sinC + 3(sin A + cosB + cosC ) - 17 =  cos  B  C   cos  B  C   cos  B  C    3(sin A  cos B  cos C )  17 0   cos  B  C   cos  B  C  cos  B  C    3(sin A  cos B  cos C )  17 0  cos A   cos B  cos 2C   3(sin A  cos B  cos C )  17 0   4sin A  cos B  cos C  3(sin A  cos B  cos C )  17 0 2  3  3  3   sin A     cos B     cos C   0        sin A    A 120    cosB    B 30  C 30   cos C      Vậy tam giác có góc A 120 , B 30 , C 30 Cách biến đổi khác: b  c  a sin B  sin C  sin A  2bc 2sin B sinC  8cos A sin B sin C 4  sin B  sin C  sin A  4   cos B  cos C  sin A  cos A  (… phần sau tương tự) Câu 3: a) Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển : (1 + 2x + 3x2)10 C n0 C n1 C n2 C nk C nn + + + + + + * C1 C n2+3 C n3+4 C nk++k1+2 C 2nn++12 b) Tính tổng : S = n+2 (với n Ỵ N ) Lời giải a) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển : (1 + 2x + 3x2)10 10 10 Ta có   x  3x   C10n  x  3x  n n 0 10 n i  C10n  Cni  3x   x  n 0 10 n n i i 0   C10n Cni 3i.2n  i.x i n n 0 i 0 i n 10  Theo i  n 4  Ta có bảng sau n i 2 10   x  3x  khai triển 2 là: C10 C2  C10 C3  C10 C4 615 C n0 C n1 C n2 C nk C nn + + + + k+1 + + n+1 * C n1+2 C n2+3 C n3+4 C n+k+2 C 2n+2 b) Tính tổng : S = (với n Ỵ N ) n n Cnk  k  1 ! n 1 !  Cnn n!   C k 1  k ! n  k  !  n  k   ! C n1 2n2 Ta có: k 0 n k 2 k 0  n k 1 n ! n  1 ! k 0  n  k  ! n  k   ! Vậy hệ số x   n  1 !2 n  1 n ! n  1 ! .    k 0   n  k  ! n  k  1 !  n  k  1 ! n  k   !   2n   !   n  1 !2  1 n ! n  1 !     n ! n  1 !  2n 1 !   2n   !  1 2( n  1)  n ! n  1 !      n ! n  1 !  2n 1 !  2n   !  1 n ! n  1 ! n ! n  1 !  2 Vậy ’ ’ ’ ’ Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a a) Tính góc hai đường thẳng AC’ A’B S b) Gọi M, N, P điểm thuộc cạnh A’B’, BC, DD’ cho A’M = BN = DP Chứng minh trọng tâm tam giác MNP thuộc đường thẳng cố định M, N, P thay đổi Câu 5: Lời giải Lấy K trung điểm A ' D ' Vẽ hình bình hành ABEA ' ( E đối xứng với B qua A’) A ' B, AC ' EAC Suy   A ' E C ' D '   A ' B '   A ' ED 'C'  A ' E C ' D '   Ta có hình bình hành  EK KC ' (do K trung điểm A’D’) (1)  a 2  AK  AA '  A ' K    AK KC '   KC '  KD '2  D ' C '2  a  Mặt khác :  (2) Từ (1) (2) suy KE KC KA  Tam giác EAC ' vuông A ( AK trung tuyến ) EAC 90   A ' B, AC '  90 Suy A 'D, AC ' 90 AC '   A ' BD  Tương tự  Suy Gọi I giao điểm A ' B AB ' G giao điểm AC ' DI ( AC ' DI thuộc mặt phẳng AB ' C ' D ) AC '   A ' BD  Ta có DI  AC ' ( ) DI  A ' B ( A ' BD ) IG d  A ' B, AC ' Do DI đường vng góc chung A ' B AC ' hay a a IG  DI  BD   d  A ' B, AC '   6 Lại có b) Đặt A ' M BN DP x 2 2 Khi ta có AN  AB  BN a  x AP  AD '2  D ' P a  x AM  AA '2  A ' M a  x Suy AM  AN  AP NP  NC  CD  DP  a  x   a  x Mặt khác NM  NB  BB '2  B ' M  a  x   a  x 2 PM PD '2  D ' A '2  A ' M  a  x   a  x Suy MN  NP PM Do A.MNP hình chóp đường thẳng nối A với trọng tâm MNP mp  MNP  vng góc với Tương tự ta có đường thẳng nối C ' với trọng mp  MNP  tâm MNP vng góc với Do trọng tâm MNP ln thuộc đường thẳng AC ' cố định (dpcm) Câu 6: Dãy số thực (an) thỏa mãn điều kiện : ìï ïï a = ïï í an2 ïï a = "n Ỵ N * ïï n+1 an - an + ỵï n Chứng minh với số nguyên dương n ta có : Lời giải an+1 = Ta có n a n a - an + Û an+1 = 1- 1 + an an u1 2  an Khi (*) trở thành un 1 1  un  un2 n  N * Đặt u Ta chứng minh dãy n tăng un 1  un 1  2un  un2 =  un  1 0 un  åa i =1 i