2 f (x )=x−2 √ x −2−m +2 m−3 Câu Cho hµm sè (m lµ tham sè) a Chøng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m b Tìm giá trị m ®Ó f(m) < -1 Lời giải f ( x ) x x m 2m a, Điều kiện x 2 + Đặt t x ( t 0 ) x t phương trình f ( x ) 0 trở thành t 2t m 2m 0 (1) +Ta cần chứng minh (1) có nghiệm khơng âm, ta có 1.( m 2m 1) (m 1) 0 Do (1) ln có nghiệm khơng âm, đpcm b, Ta có f ( x) x (m 1) + Điều kiện để f (m) 1; x [2; ) x (m 1) ; x [2; ) m min x 2 [2; ) hay m 0, (do [2; ) x 0 ) m 1 Vậy giá trị m cần tìm m 1 2 Cõu Giải hệ phơng trình: {2 y(x y )=3x ¿ ¿¿¿ Lời giải 2 2y(x y ) 3x 2 x(x y ) 10y +Với x 0 y 0 +Xét x 0, từ phương trình hệ dễ thấy xy Khi hệ phương trình tương đương với 3x 2 x y y x 10 y 2y x x y 10 y x y 15 2x 20 y x 23 y 15 , (do xy ) 20 15 20 15 x x 23 23 15 15 y y 23 23 20 15 15 20 15 15 ;( x, y ) ( x, y ) (0, 0); ( x, y ) , , 23 23 23 23 Đáp số: ( x + y )−( x2 + y ) ( x−1)( y−1 ) Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = víi x; y ¿ R vµ x > 1; y > Lời giải 3 2 (x y ) (x y ) ( x 1)( y 1) +Theo Bất đẳng thức AM-GM ta có P P x2 y2 x2 y2 2 y x ( x 1) ( y 1) (1) +Lại có ( x 2) 0 x2 4, x x (2) y 4 y Tương tự ta có P +Từ (1),(2) (3) suy (3) (x y ) (x y ) 8 ( x 1)( y 1) Khi x y 2 P 8 Vậy giá trị nhỏ P 8, đạt x y 2 Câu Cho tam gi¸c ABC không cân A có AH; AM; AP lần lợt đờng cao, trung tuyến phân giác kẻ từ A (H, P, M ¿ BC ) ⇔sin B sin C=sin2 Chøng minh r»ng: PH = PM A Lời giải BC a , CA b , AB c +Đặt Khơng tính tổng qt ta giả sử c b Khi a ac PM BM BP b c A B C R sin A sin sin a (b c) 2 A B C 2(b c) cos cos 2 A B C 2sin tan 2 +Lại có HP AH tan HAP AH tan B C 2 R sin B sin C tan PM PH sin A sin B.sin C , đpcm +Do vy Cõu Chứng minh bất đẳng thức sau víi ∀ a ∈R : B C 2 (a −a+2) >4 a (a +1)(a−2 ) Lời giải : 2 (a a 2) 4a (a 1)(a 2) 2 +Với a 2 4a (a 1)( a 2) 0 ( a a 2) , đpcm +Với a , theo bất đẳng thức quen thuộc xy ( x y ) , ta có 4a (a 1)( a 2) 4a (a 2a a 2) ( a a a 2) (1) a a a a a -Ta chứng minh Thật vậy, ta có (2) (a 1) 0, với a a (a 1) , a -Lại có (do a ) a a a Từ (1), (2) (3) ta thu (a a 2) 4a (a 1)(a 2), đpcm (2) (3)